空间机械臂面向太阳能帆板在轨清洁任务的擦抹力/位阻抗控制1)

2023-12-16朱安陈力

力学学报 2023年11期

朱安陈力

* (江西理工大学能源与机械工程学院,南昌 330013)

† (福州大学机械工程及自动化学院,福州 350108)

引言

为了持续、深入地探索太空,人类向太空发射了大量携带有各类电子设备的探测卫星.太阳能帆板是卫星系统的电能收集装置,若其供电不足以支持系统内电子设备的正常运行,卫星的大部分功能将被限制,这是影响卫星寿命的重要因素之一[1-3].卫星一般通过燃烧携带的燃料对位姿进行调节,但燃烧形成的烟雾容易附着在太阳能帆板上;另外,超高速碎片撞击产生的分子态污染物也容易附着在太阳能帆板上,这些污染物将极大地降低帆板的工作效率,严重时甚至会导致卫星失效[4-6].参考文献[6]的数据,美国在1996 年的统计中发现卫星因受污染发生失效的有25 颗.因此,对卫星的太阳能帆板进行定期清洁具有重要的研究意义.

目前对地面太阳能电池板的清洁方式主要有:雨水和风自然清洁、空气调节系统清洁、喷水设备清洁、人工清洁、机器人清洁等[7-9].但卫星工作在微重力、高真空和大温差的太空环境中,采用空间机械臂对其太阳能帆板进行清洁是一种合适且有效的方法.值得注意的是,与地面太阳能电池板的安装方式不同,卫星的太阳能帆板一般以悬臂的形式安装[10],在清洁时为了保护太阳能帆板不被破坏,需对卫星姿态、清洁装置位姿与输出力进行非常精细的控制.另外,由于太阳能帆板存在一定的柔性,清洁操作中引起的帆板柔性振动将很难被抑制,故对空间机械臂清洁操作的研究有一定的难度.

针对机械臂与外界环境的接触、碰撞问题,Hogan[11]提出的阻抗控制可通过调整阻抗参数,构建机械臂末端位姿与输出力之间的动态关系,实现接触与碰撞的柔顺化.在Hogan 研究的基础上,曾晨东等[12]针对空间机械臂在轨插拔孔操作的控制问题,设计了一种事件触发滑模阻抗控制策略.Kang 等[13]为提高空间机械臂捕获航天器的效率和安全性,提出一种基于阻抗控制的PD 组合控制策略.Liu 等[14]为保持机器人与非合作卫星之间的接触以降低卫星的旋转速度,提出了一种避免中心碰撞后分离的阻抗控制方案.考虑到空间机械臂对太阳能帆板进行清洁操作时,需同时实现卫星位姿、清洁装置位姿与输出力的精确控制,因此本文结合阻抗控制原理,并参考文献[15]的力/位伺服系统,设计了一种力加载随动控制系统.其可根据清洁装置输出力与接触力的误差,在线修正清洁装置的位姿与输出力.

针对空间系统的控制问题,宋新宇等[16]研究了挠性航天器动力学模型的非约束模态.郭闻昊等[17]基于粒子群算法对空间机器人抓捕卫星碰撞前构型进行优化,减小了碰撞对机器人系统角动量的影响.范纪华等[18]针对多杆空间链式柔性机器人系统,采用假设模态法、有限元法、Bezier 插值法和B 样条插值法对变形场进行描述.机械臂在清洁操作的各阶段切换时会因系统状态变化导致清洁装置输出力突变,过大的输出力将造成太阳能帆板的损坏.近年来,障碍Lyapunov 函数(barrier Lyapunov functions,BLFs)在求解时变约束问题上取得了较好的效果[19-22],为了尽量减小输出力突变造成的影响,本文针对机械臂清洁太阳能帆板的控制特点,设计了一种对数型的BLFs 约束系统状态,且基于此提出了一种全状态约束控制(full state constraint control,FSCC)策略.该策略将BLFs 运用在控制器的每一步反演设计中,有效地防止了设置的约束被突破.

一般情况下,由于携带的燃料消耗、机械臂质心偏移等原因,卫星系统的参数难以精确获得,而RBF 神经网络(RBF neural networks,RBFNN) 对非线性不确定系统具有很好的拟合效果[23-26],考虑到学者对RBFNN 的研究已相对成熟,因此本文采用Huang 等[27]提出的RBFNN 对卫星系统的不确定参数进行拟合.另外,考虑到太阳能帆板的柔性及卫星与机械臂系统存在的动力学耦合问题,在清洁操作中微小的振动将可能引起帆板的激振,严重时可能导致设备的损坏.即使未产生激振,由于清洁操作对位姿与输出力均有较高的要求,从此方面考虑也有必要对帆板的柔性振动进行抑制.为此本文参考文献[28],运用虚拟力的概念,采用混合轨迹法对帆板的柔性振动进行抑制.

本文对机械臂擦抹清洁卫星太阳能帆板操作进行了研究,导出了卫星姿态受控形式的系统动力学模型.结合阻抗控制原理,设计一种力加载随动控制系统在线修正清洁装置的位姿与输出力.提出一种基于BLFs 的FSCC 策略,且通过RBFNN 拟合系统不确定参数提高了控制的精度.

1 动力学建模

机械臂清洁卫星太阳能帆板操作如图1 所示.图1 中O0,Oci和Oi(i=1,2,3) 分别为卫星载体质心、机械臂质心和各关节铰中心,Os为帆板的起始点,P为清洁装置的末端点;XOY为系统随轨道平动的惯性参考坐标系;x0O0y0为固定在卫星载体质心上的坐标系,xiOiyi为固定在关节铰中心的坐标系.文中所用部分符号定义如表1 所示.

表1 部分符号定义Table 1 Definition of some Symbols

图1 卫星太阳能帆板清洁机械臂Fig.1 Satellite solar panel cleaning manipulator

清洁操作中卫星太阳能帆板的弯曲如图2 所示,通过参考文献[29]可将太阳能帆板等效为简支梁.为方便后续建模分析,选取太阳能帆板轴线方向与直线O0Os重合,取其抗弯刚度EI与线密度 ρs均为定值.

图2 太阳能帆板的弯曲Fig.2 Bending of solar panel

图2 中xs(0 ≤xs≤Ls) 为太阳能帆板与Os的轴向距离,为t时刻太阳能帆板在xs处的径向柔性位移,ϕg(xs),δg(t) 分别表示帆板的第g阶模态函数与模态坐标,这里取n=2.

通过图1 和图2 可知,在惯性参考坐标系XOY下各分体质心的位置矢径为

由于在清洁操作中系统未受外力影响,且卫星的位置不受控,因此整个系统满足动量守恒关系.若令系统的初始动量为零,则通过系统动量守恒关系可得

式中,Nυ,k,Nυ,s,Ns,k和Ns,s均为包含系统参数的常量.

通过式(2)可得系统的动能为

式中,ωk为系统第k个分体的角速度.

若忽略太空的微重力影响,则系统的势能来源于太阳能帆板,因此系统势能为

将T与U的表达式代入如下形式的Lagrange方程

式中,L=T-U为Lagrange 函数,Q∈R6×1为系统的广义力,q=[θ0,θ1,θ2,θ3,δ1,δ2]T为系统的广义坐标.

通过式(5)可得系统动力学模型为

式中,Mr11∈R4×4,Mr12∈R4×2,Mr21∈R2×4,Mr22∈R2×2为系统的惯量矩阵Mr的分块矩阵,Hr11∈R4×4,Hr12∈R4×2,Hr21∈R2×4,Hr22∈R2×2为包含科氏力、离心力矩阵Hr的分块矩阵;qr=[θ0,θ1,θ2,θ3]T,δ=[δ1,δ2]T,Kδ∈R2×2为帆板的等效刚度矩阵,τr=[τ0,τ1,τ2,τ3]T为载体姿态、关节的控制力矩.

通过式(6)对系统进行刚柔性分解,得系统的刚性动力学模型为

由于清洁操作考虑的是清洁装置相对卫星载体的运动情况,故将P点在x0O0y0上投影可得

式中,xO1和yO1为O1在x0O0y0下的位置坐标,θP=θ1+θ2+θ3.

通过式(8)可得P点相对载体的运动学关系为

通过式(9)可将式(7)所示的关节空间动力学模型转换为基于末端位置的惯性空间动力学模型

2 阻抗模型

阻抗控制可通过设置合适的阻抗参数调节机械臂位姿和接触力之间的关系,考虑到擦抹清洁操作中为了防止发生剧烈的接触、碰撞,需精确控制机械臂末端输出力与位姿,故将阻抗控制应用于擦抹清洁操作.

参考文献[30],机械臂的阻抗关系可描述为

式中,Xd为期望位姿,X为实际位姿;MP∈R4×4,BP∈R4×4,KP∈R4×4分别为惯量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵;Fd∈R4×1,Fe∈R4×1分别为清洁装置的期望输出力与实际接触力.

根据是否需要控制清洁装置的输出力,清洁操作过程可分为自由和接触两个阶段.在自由阶段,清洁装置末端的接触力为零;在接触阶段,清洁装置末端受到环境力的作用,其运动状态受到限制.因此擦抹清洁操作中阻抗关系可描述为

3 控制器设计

3.1 预备知识

定理1对于大于零的常数ka与任意的变量x,若满足条件 |x|

这里称ka为x的约束值.

在定义域y∈(0,+∞) 内,有不等式y-1 ≥lny成立,则可知定理1 成立.

式中,Γj>0 为增益系数,ψj(y) 为神经网络的基函数,且 ‖ψ(y)‖≤ψN;y为神经网络的输入,εj>0 为很小的正数,用于提高控制器的鲁棒性.

假设1神经网络对不确定项的逼近误差 ς 有界,即 ‖ς‖≤ςN,ςN>0.

3.2 FSCC 控制器设计

将式(10)的动力学模型改为状态空间表达式

定义如下形式的位置与速度误差

式中,zd=Xd为清洁装置的期望位姿.

设计如下形式的虚拟变量

基于式(17)设计如下参考速度误差

通过式(16)～式(18)可得

对式(18)求导且结合式(15)可得

为防止机械臂在运动过程中突破设置的状态约束,采用反演算法设计控制力矩.首先选取如下形式的Lyapunov 函数

对式(21)求导且结合式(17)和式(19)可得

式中,e2j为e2中的元素.

基于式(21)和式(22)选取新的Lyapunov 函数

对式(23)求导可得

结合特性1 与式(20),式(24)可化简为

根据Moore-Penrose 伪逆矩阵有

式(27)设计的控制率需精确知道系统的参数,然而其一般难以精确获得,由此导致 ρ(t) 的不确定.ρ(t)的不确定将严重降低系统的位姿与输出力控制精度,考虑到RBFNN 可较好地对非线性项进行拟合,故采用RBFNN 对 ρ(t) 进行拟合.

假设存在理想的权值矩阵W*使得 ρ (t) 可以被拟合为

式中,νn和 ϖn分别为高斯基函数的中心和宽度.

由于W*为理想值,其存在但不可知,因此在控制中对不确定项 ρ(t) 拟合的实际值为

通过式(30),控制率式(27)被改写为

参考文献[27]设计如下形式的RBFNN 学习率

定理2对于式(10)所示的系统,若满足假设1,且采用式(31) 所示的控制力矩,式(32) 所示的RBFNN 学习率,则可保证系统全状态收敛.

证明选取如下的Lyapunov 函数

对式(33)求导可得

将式(31)和式(32)代入式(34)可得

结合定理1、引理1 与式(36),式(35)可被化简为

基于以上分析,只要满足 λminK2-3E/4>0 即可保证系统收敛.进一步,对式(37)积分可得

式中,D1=V3(0)-C2/C1.

结合式(33)可知系统各状态量的收敛域为

3.3 太阳能帆板振动抑制

上节设计的控制器仅考虑了系统的刚性,未将帆板的柔性考虑在内.由于清洁操作对系统的控制精度有较高的要求,而太阳能帆板的柔性振动会对清洁操作的控制产生干扰,故本节采用虚拟控制力原理对设计的期望轨迹进行修正,使得太阳能帆板的柔性振动能被抑制.

引入虚拟力Fh∈R4×1,期望轨迹与混合轨迹误差eh=zh-zd由如下二阶指令发生器生成

式中,µ和η∈R4×4为正定常数矩阵.

将式(40)代入式(15)可得

结合式(39)和式(41)可得

将式(42)代入式(6)可得系统的柔性部分为

参考文献[28] 可知,当取Fh=时可保证S收敛,即控制器可同时保证轨迹的高精度控制与帆板的振动抑制.

3.4 结合阻抗模型的FSCC

为了同时控制清洁装置的位姿与输出力,参考文献[15]的力/位伺服系统,设计了一种力加载随动控制系统,其控制框图如图3 所示.

图3 力加载随动系统控制框图Fig.3 Control diagram of force load servo system

图3 所示的控制系统可根据机械臂清洁装置输出力与接触力的误差,在线修正清洁装置的位姿,并实现对输出力的跟踪.

4 仿真模拟

4.1 摩擦力未突变下的擦抹清洁操作

采用图1 所示的系统进行仿真分析,系统参数如下:m0=200 kg,m1=m2=10 kg,m3=5 kg,L0=0.5 m,L1=L2=2 m,L3=0.5 m,Ls=3 m,d1=d2=1 m,d3=0.25 m,Los=1.2 m,I0=128 kg·m2,I1=I2=15 kg·m2,I3=2 kg·m2,ρs=45 kg/m,EI=1000 N·m2.

控制参数如下:k1j=20,k2j=50,ka1=ka2=π/1800,ka3=ka4=10-3,Γj=40,εj=0.5,Mp=diag(100,100,100,100),Bp=diag(200,200,200,200),Kp=diag(500,500,500,500),µ=η=diag(5,5,5,5).

为保证清洁过程中对清洁装置位姿与输出力的精确控制,将整个过程划分为3 个阶段:预备阶段、靠近阶段和擦抹清洁阶段.假设清洁装置与帆板的摩擦系数为0.2,为防止自锁,在清洁过程中清洁装置与太阳能帆板的夹角应始终大于11.31o,系统的初始状态为qr=[12o,20o,130o,-20o]T.

(1) 预备阶段:关闭阻抗控制,调整卫星的姿态与清洁装置的位姿,使清洁装置移动到太阳能帆板起始点Os的正上方,且调整清洁装置与太阳能帆板的夹角.此过程中,卫星与清洁装置的期望位姿、期望输出力为

(2) 靠近阶段:在5～10 s 调整清洁装置位置,使其缓慢地靠近太阳能帆板;为防止清洁装置与太阳能帆板在刚接触时因输出力太小而达不到预期的清洁效果,在10～15 s 开启阻抗控制进行输出力的预加载,且将清洁装置移动到与太阳能帆板刚接触.假设摩擦力为1 N,则卫星与清洁装置的期望位姿、期望输出力为

(3) 擦抹清洁阶段:开启阻抗控制,使清洁装置沿期望轨迹克服太阳能帆板的摩擦阻力进行清洁操作,卫星与清洁装置的期望位姿、期望输出力为

首先分析清洁操作中太阳能帆板的柔性振动,及所采用的混合轨迹抑振方法对振动的抑制效果.仿真结果如图4 和图5 所示,其中图4 为未采用抑振算法的帆板模态变化情况,图5 为采用了抑振算法的能帆板模态变化情况.

图4 未采用抑振算法的太阳能帆板模态Fig.4 Modal of solar panels without vibration suppression

图5 采用抑振算法的太阳能帆板模态Fig.5 Modal of solar panels with vibration suppression

从图4 可知,在未对帆板的柔性振动进行抑制的情况下,由于存在系统动力学耦合,帆板的振动幅度会越来越大,导致清洁操作无法完成.通过图5 可知,所采用的抑振算法可有效抑制帆板的柔性振动,保证了清洁操作中对清洁装置轨迹和输出力的高精度控制.

接下来将在帆板柔性振动抑制的前提下,对所提控制策略的性能进行分析,且将其与文献[33]中的滑模控制(sliding mode control,SMC)策略进行对比分析,SMC 中同样采用RBFNN 拟合系统的不确定项,仿真结果如图6～图11 所示.

图6 卫星载体姿态角轨迹Fig.6 Trajectory of satellite base attitude angle

图6 为卫星载体的姿态角,图7 为机械臂关节角,图8 和图9 为清洁装置的位姿,图10 为清洁装置的输出力,图11 为载体与清洁装置的位姿误差(e11和e12为载体与清洁装置姿态角误差,e13和e14为清洁装置x和y方向的位置误差).由图6 可知在清洁操作过程中,载体姿态角虽然在各阶段的切换过程中产生了波动,但随后迅速平稳.由图7～图9可知,清洁装置的位姿可较好地跟踪上期望值,且具有较快的响应速度.结合图10 和图11 可知FSCC策略下,BLFs 可在清洁操作的各阶段切换中有效地避免系统状态发生突变,从而防止清洁装置输出力发生突变,这是保证清洁操作安全执行的重要条件.

图7 机械臂关节角轨迹Fig.7 Trajectory of the manipulator joint angles

图8 清洁装置姿态角轨迹Fig.8 Trajectory of the cleaning device attitude angle

图9 清洁装置位置轨迹Fig.9 Trajectory of the cleaning device position

图10 清洁装置输出力Fig.10 Output force of the cleaning device

图11 卫星与清洁装置位姿误差Fig.11 Position and attitude angle error of the satellite base and cleaning device

4.2 摩擦力突变下的擦抹清洁操作

在擦抹清洁过程中可能会出现太阳能帆板结构变化导致局部摩擦力突变的情况,为保证在此情况下仍能顺利地完成清洁任务,采取在摩擦力突变时保持载体与清洁装置姿态不变,将清洁装置输出力缓慢增加至最大静摩擦,待清洁装置与帆板相对滑动后再将输出力恢复至原值.假设在25 s 时候摩擦力突变至2 N,因此保持4.1 中的预备、靠近阶段不变,将擦抹清洁阶段调整为

仿真结果如图12～图14 所示,其中图12 为清洁装置的位置,图13 为清洁装置的输出力,图14 为卫星与清洁装置位姿误差.

图12 清洁装置位置轨迹Fig.12 Trajectory of the cleaning device position

图13 清洁装置输出力Fig.13 Output force of the cleaning device

图14 卫星与清洁装置位姿误差Fig.14 Position and attitude angle error of the satellite base and cleaning device

结合图12 和图13 可知,在25 s 摩擦力突变时清洁装置保持末端位置不变,其输出力缓慢增加,到28 s 时克服静摩擦继续执行清洁操作;且通过图13 可知在各阶段的切换中FSCC 的清洁装置输出力相较于SMC 更加平稳.通过图14 可知,在清洁操作的各阶段切换中,BLFs 可有效地将系统状态限制在约束范围内,保证了任务的安全、顺利执行.