一个Lebesgue稠密定理在动力系统中的推广

张俊杰，孙浩宇，王 威①

（1.苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009；2.南通理工学院 基础教学学院，江苏 南通 226002）

0 引言

Lebesgue微分定理是实变函数论［1-3］中的一个经典结论，该定理指出：对于几乎处处的点x∈Rn，有

其中f为Rn上的Lebesgue 可积函数，m为Rn上的Lebesgue 测度。称满足上述等式的点为Lebesgue稠密点［4］。该定理表明，对于几乎处处的点，局部可积函数取值等于围绕该点小球上的平均值在球半径趋近于0 时的极限。Lebesgue 稠密定理是Lebesgue 微分定理的一种特殊情况。Lebesgue稠密定理指出，对Rn中任意具有正Lebesgue测度可测集E，对几乎所有的点x∈E，有

作为现代数学经典分析工具，Lebesgue稠密定理在测度论、实分析、动力系统和调和分析等数学领域起到关键作用。在过去的几十年，有学者［5-10］做关于Lebesgue 稠密定理的拓展研究。Khan［11］研究发现，勒贝格稠密定理在算法随机性的最新发展中发挥至关重要作用，例如解决ML-covering和ML-cupping问题。随后，Bingham 等［12］在拓扑群上研究稠密拓扑相关性质，研究发现可以同时处理（Bair）类别情况和（Lebesgue 或Haar）测量情况，即在原始拓扑和合适加细（稠密拓扑）之间切换。Andretta 等［13］在N2空间上研究测度代数，总结在此条件下稠密函数与Lebesgue稠密定理的基本结果。糜泽亚［4］证明在固定的收缩集下，离散动力系统生成的动力系统球族条件下勒贝格稠密定理的准确性。Bienias 等［14］稠密点概念对理想收敛的推广框架，并证明在此定义下关于稠密点的经典性质依然成立。此外，还构造一族Cantor集合，证明Lebesgue稠密定理不能在此方向上成立。

若用其他收缩集族来代替Lebesgue稠密定理中经典的欧几里得球族，那么与该收缩集族对应的Lebesgue稠密定理是否依然成立？因此，文章主要研究在一般收缩集下，通过动力系统迭代而得到的球族，并验证它们对应的Lebesgue稠密定理准确性。

1 预备知识与主要结论

设f:Rn→Rn为微分同胚，d为Rn上的欧氏度量，m为Rn上的Lebesgue 测度。记Bn(x,r)=f-n(B(fn(x),r))，n∈N，称Bn(x,r)为在x处半径为r的动力系统球。糜泽亚［4］给出固定收缩集下的扩张集定义，文章在此基础上，给出其他一般收缩集族下的扩张集定义。

定义2［4］设x∈Rn，称一族可测集{ }Ui是关于点x是良收缩的，如果点x满足存在常数c ＞0，数列ri→0，使得对任意i∈N 和Ui⊆B(x,ri)，都有m(Ui)≥cm(B(x,ri))。本文主要结论如下。

设可测集A为Rn中的n≥1扩张集，其中f:Rn→Rn为C2微分同胚。有如下引理和命题。

引理1 对任意x∈A和n∈N，有Bn(x,r)⊆B(x,λnr)。

证明 对任意n∈N，任取点y∈Bn(x,r)，根据扩张集，可得

因此y∈B(x,λnr)，即Bn(x,r)⊆B(x,λnr)。

下面均假设存在常数c ＞0，使得对任意成立。

引理2 对任意k,n∈N 和x∈A，存在常数Tk，有m(B(fn(x),r))≤Tkm(f-kB(fn+k(x),r))。

又因为f:Rn→Rn为C2的微分同胚，所以对任意i∈N，有λni为λn的子序列。因此，存在常数c0＞0，使得

当α=exp(λ2rc0)，引理3即可得证。

命题1 对任意k,n∈N，x∈A，存在常数ck ＞0，满足m(Bn(x,r))≤ckm(Bn+k(x,r))。

2 主要结果证明

基于上述讨论，下面完成定理的证明。

证明 首先对任意θ∈(0,1)，令

事实上，只需证明对任意θ∈(0,1)，有m(Aθ)=0 即可。

对任意ε ＞0，不妨取开集U，使得Aθ⊆U，并满足。定义Aθ的一个覆盖

在W中取出一列不相交的集合。考虑子族Wi1={Bi1(x,r)|Bi1(x,r)∈W,且对任意Bn(x,r)∈W,i1≤n}。任意

3 结语

Lebesgue稠密定理在实变函数论中扮演着重要角色，其推广和应用成为众多学者研究焦点。对于经典的Lebesgue微分定理和Lebesgue稠密定理，都是考察在规则的欧几里得球条件下，研究欧几里得球半径趋向于0时的积分或者测度。本文首先给出扩张集和良收缩的定义，然后给出在一般收缩集下，通过动力系统迭代球族相关性质，最后验证这些球族所对应的Lebesgue稠密定理仍然成立。这对Lebesgue稠密定理的拓展研究具有重要的影响。同时，它也在处理涉及测度迭代估计的动力学问题上具有重要理论意义。