基于哈特曼探测器的光波相位三维显示方法

徐 雷， 陆欣怡， 李静妮， 孙会娟， 樊丽娜， 陆焕钧， 毛红敏*， 曹召良*

（1. 苏州科技大学 物理科学与技术学院 江苏省微纳热流技术与能源应用重点实验室，江苏 苏州 215009；2. 北京联合大学 数理部， 北京 100101）

1 引言

夏克-哈特曼波前探测器是一种由微透镜阵列和CCD 相机组成的光学测量设备［1］，具有结构简单、操作简便、抗干扰能力强等优点，在自适应光学领域有广泛应用［2-8］。近年来，哈特曼探测器还广泛应用于大气湍流测量、眼科应用和光学检测等领域。在大气湍流测量方面，哈特曼探测器用于测量大气湍流的大气相干长度、格林伍德频率等参数，为大气湍流强度的评估提供支撑数据［9-13］。在眼科应用中，哈特曼波前探测器能够实时探测人眼像差，进而通过波前校正器进行像差校正，以实现高分辨率视网膜成像［14-15］。其还用于人眼像差的测量，通过求解Zernike 多项式以探测人眼高阶像差［16-17］。在光学检测领域，哈特曼探测器可以用于大口径平面镜面形的高精度检测［18］，还广泛应用于光学元件的像差检测，能测量同一镜片不同区域的波前像差以及相同区域不同镜片的波前像差［19-20］。

综上所述，目前哈特曼探测器主要应用在不同领域实现像差探测和大气湍流参数测量。为此，本文拟进一步拓宽其应用领域，以期利用哈特曼探测器的波前探测功能，实现光的相位的三维立体显示。光是一种电磁波，具有振幅和相位。一般而言，其振幅比较容易测量和观测，因为人眼和各种探测器都是振幅敏感型器件。但是，光的相位却无法直接观测，这极大地影响了人们对光的全面认识和理解。迈克尔逊干涉仪等基于双光束干涉的方法，虽然可以采用干涉条纹展示光的相位分布，但是极易受到振动等环境的干扰，对实验条件要求苛刻，且成本较高。

本文基于哈特曼探测器可以对光束进行相位测量且对振动环境不敏感的特点，研究实现光波相位的三维显示方法并研制出相位三维显示系统，实现光的相位的三维显示，便于研究者直观观测光的相位分布。

2 哈特曼探测器的相位探测能力

2.1 哈特曼探测器的工作原理

图 1 单个子孔径光斑的质心计算示意图Fig.1 Schematic diagram of single subaperture spot centroid calculation

哈特曼探测器是由CCD 相机和微透镜阵列组成的光学测量设备。微透镜阵列由N×N个大小相同的微透镜构成。每个微透镜把不同区域光波会聚在焦平面上，形成光斑阵列，由CCD 相机进行探测。平面波入射时，在焦平面上形成分布均匀的光斑；当波面发生畸变时，焦平面上的光斑会偏离中心位置，如图1 所示。假设平行光入射时，参考质心的坐标为（Xc0，Yc0）；待测波面入射时，根据单个微透镜光斑质心位置（Xc，Yc）可以计算出光斑质心在X和Y方向上的偏移：

ΔX=Xc-Xc0，ΔY=Yc-Yc0。

单个微透镜子孔径对应局部波前X方向和Y方向上的斜率分别为SX和SY：

其中：Φ为波前相位，f0为微透镜焦距。因此，根据质心偏移量便可以求出入射到各个微透镜的波前斜率。

根据测量得到的波前斜率，可以利用Zernike多项式的模式法重构波前［21］。此时，其波前如式（3）所示：

其中：ak是Zernike 多项式系数，Zk（x，y）为第k项Zernike。Zernike多项式的系数可由式（4）求解［21］：

Q中的元素为Zernike 在波前探测器子孔径位置上的导数。把求得的Zernike 多项式系数ak代入公式（3）即可获得被测光束的相位分布。此外，Zernike 多项式每一项的系数都代表一种像差，如a3为离焦量系数，a4为X向初级像散项系数，a5为Y向初级像散项系数。

2.2 屈光不正探测能力

为了便于理解，本文采用生活中常见的屈光不正矫正眼镜来改变光束的相位分布并进行三维显示。屈光不正眼镜有近视镜、远视镜和散光镜，下边分别分析哈特曼探测器针对屈光不正的探测能力。

动态范围θmax是指微透镜作为波前传感器时，能够测量的最大角度偏移量：

其中，d是微透镜的直径。θmax对应微透镜焦平面上光斑的最大偏移量δymax。哈特曼探测器能够测量的最大倾斜量δz为：

其中，D为微透镜阵列的口径，由哈特曼探测器的孔径所决定。能够测量的最大球冠高度hmax近似等于最大倾斜量δz的1/2。

2.3 球面波屈光度的测量方法

为了更加深刻地认识和理解光的相位特性，在进行相位三维显示的同时，给出被测镜的屈光不正度数。

根据离焦量系数计算哈特曼探测器探测到的波前球冠高度h：

则光波的曲率半径R为：

经过近视镜形成的球面波在传播过程中会不断扩散，a3为正数；而经过远视镜形成的球面波在传播过程中会不断收缩，a3为负数。

如图2 所示，若测量镜片为近视镜，哈特曼波前探测器探测到的球面波和平行光束经过近视镜产生的球面波的曲率半径不同，二者相差S，即哈特曼探测器的微透镜阵列到眼镜之间的距离。因此，眼镜的焦距计算公式如式（9）所示：

则眼镜的屈光度为：

2.4 柱面波屈光度的测量方法

当使用散光镜演示像散的三维显示时，通过Zernike 多项式系数中获得的离焦量以及X和Y两个方向的像散量，哈特曼探测器处探测到的屈光度为JX' 和JY'［22-23］：

考虑到柱面波在传播过程中也会出现扩散或收缩，计算曲率半径：

结合距离进行修正：

结合微透镜阵列的口径得到相应的X和Y两个方向的屈光度JX和JY：

柱面波屈光度φ2为：

则眼镜的屈光度为：

3 相位三维显示系统光路设计

为了实现光波相位的三维立体显示，整体光路结构如图3 所示，主要包括点光源、准直系统、屈光矫正镜、哈特曼探测器和控制计算机。半导体激光器波长为635 nm，连接到发散角度为12.7°的光纤，作为点光源。点光源发出球面波，经准直透镜形成平行光束，通过孔径光阑改变光束直径；该有效光束经过镜片后光波相位发生改变，然后入射到哈特曼探测器上；经哈特曼探测器进行波前探测，并在计算机上显示镜片的屈光不正程度以及光波相位的三维显示图和二维干涉图。

基于该设计光路，利用Zemax 光学设计软件，进行具体元件设计及整体光路仿真，如图4 所示。在未加屈光矫正镜的情况下，仿真结果如图5（a）所示，可以看出波前为平面波。近视镜对波前相位分布的改变如图5（b）所示，波前为内凹的球面波。远视镜对波前相位分布的改变如图5（c）所示，波前为外凸的球面波。不同波面对应不同的相位显示状态。

图4 光波相位三维显示系统仿真示意图Fig.4 Simulation of the three-dimensional display system of optical phase

图5 相位三维显示仿真结果。（a）原始光路；（b）近视镜；（c）远视镜。Fig.5 Results of the three-dimensional phase display system. （a） Original phase distribution （b） Myopic glasses and（c） Presbyopic glasses.

4 相位三维显示实验

4.1 实验系统

本实验使用的哈特曼探测器的主要技术参数如表1 所示。选择使用近视镜、远视镜和散光镜作为屈光矫正镜，改变光波的波前相位。哈特曼探测器微透镜直径d=0.4 mm，根据式（5）可得θmax=0.033 rad。已知微透镜阵列口径D=6.8 mm，带入公式（6）可得δz=227 μm，则hmax=114 μm。最后，根据式（7）～式（8），在未考虑距离影响的情况下，可以计算出哈特曼探测器的球面镜测量范围为0.00～4.90 D。眼镜与哈特曼探测器的距离为S=10 cm，考虑到距离的影响，根据式（9）～式（10），经过近视镜后球面波会扩散，近视镜的测量范围为0.00～9.61 D。光波经过远视镜后球面波会收缩，远视镜的测量范围为0.00～3.29 D。实验中，我们选用-2.00 D 的近视镜和1.00 D 远视镜进行测量。

表1 哈特曼探测器主要参数Tab.1 Main parameters of Hartmann detector

根据式（11）～式（19）和表1 中的数据可以计算出哈特曼探测器的柱面镜测量范围为0.00～5.40 D，本文选用0.50 D 的散光镜进行测量。

搭建的实验光路如图6 所示。激光经光纤形成点光源，通过准直透镜形成平面波，可调光阑限制平行光束直径，去掉外围杂散程度较高的部分。最后，经过屈光矫正镜，入射到哈特曼探测器。

图6 屈光镜测量实验图Fig.6 Experimental diagram of measuring lens

为了抑制杂光及灰尘的影响，保证系统密闭性，同时为了在不同地方测量并演示，设计了光波相位实验系统的外壳，如图7 所示。为方便被测镜片的更换，在光波相位实验系统外壳的中心处设计通光孔和干板夹固定装置的开孔。光源和图7 显示的系统连接显示器可以实现相位的三维显示和测量。

图7 光路及外壳系统图Fig.7 System diagram for optical path and outer cover

4.2 实验结果

准直系统发出的平行光束受到系统装调精度、环境扰动以及哈特曼探测器对准精度的影响，光束会产生倾斜、离焦和像散等像差。为了消除像差的影响，首先在不放置矫正镜片时，利用哈特曼探测器测量系统像差，如图8（a）所示。利用哈特曼探测器的相对测量功能进行系统像差的修正。此时，波前近似为理想的平面波，如图8（b）所示。在系统光路中放入不同类型的镜片，利用控制软件测量波前相位分布并实现三维显示。

图8 相对测量前后的二维干涉图。（a）未修正；（b）已修正。Fig.8 Two dimensional interferogram before and after relative measurement. （a） Uncorrected； （b） Corrected.

首先放入近视镜片，测量结果如图9所示。为了更直观地显示光波的相位分布，通过程序实现二维干涉条纹图和三维立体显示图，展现光波的波前相位。可以看出，利用控制软件可以形象直观地显示光的相位分布，且可以通过控制鼠标实现不同角度的光波相位展示。平面波经过近视镜后被发散成球面波，因此立体显示的波前相位分布呈凹陷的半球形。

图9 近视镜测量结果。（a）二维干涉图；（b）视角1；（c）视角2；（d）视角3。Fig.9 Myopic lens measurement results.（a） Two-dimensional pattern； （b） Perspective 1； （c） Perspective 2； （d） Perspective 3.

其次，放入远视镜片，测量结果如图10 所示。平面波经过远视镜后被会聚，因此立体显示的波前相位分布呈突起的半球形。

图10 远视镜测量结果。（a）二维干涉条纹图；（b）三维显示图。Fig.10 Results of hyperscopic measurements. （a） Twodimensional diagram； （b） Three-dimensional pattern.

最后，放入散光镜片，测量结果如图11 所示。平面波经过散光镜后像散量发生改变，立体显示的波前相位分布呈马鞍形。

图11 散光镜测量结果。（a）二维干涉条纹图；（b）三维显示图。Fig.11 Results of the astigmatic measurements. （a） Twodimensional diagram； （b） Three-dimensional pattern.

根据球面镜和柱面镜的屈光不正测量方法对不同屈光镜进行测量，测量结果如图12 所示。可以看出，测量结果和镜片本身的度数基本一致，说明本文的测量方法有效。测量度数的误差是由于哈特曼探测器和屈光矫正镜的距离S不精确引起的，进行更为精确的测量可以减小误差。

图12 屈光矫正镜测量结果Fig.12 Dioptric measurements

5 结论

本文基于哈特曼探测器的波前探测功能，实现了光波相位的三维立体显示。首先，分析哈特曼探测器的相位测量能力，并通过求解Zernike多项式系数的方式设计屈光不正计算方法。然后，选取合适的光源，进行实验系统的整体设计，并使用Zemax 软件进行测量系统性能仿真。根据使用的哈特曼探测器参数，获得此系统球面波测量范围为0.00～4.90 D，柱面波测量范围为0.00～5.40 D。通过程序控制进行系统像差的扣除，实现相对测量，进一步提高哈特曼探测器对环境的适应能力。通过对已知屈光度的3 种矫正镜：近视镜、远视镜和散光镜进行测量，显示出不同的二维图和三维图，同时测量出屈光不正度。此方法能快速测量并显示三维光波相位，方便研究者直观观测光波相位分布。基于哈特曼探测器设计的相位三维实验系统，拓宽了哈特曼探测器的应用范围，具有更好的环境适应能力。