转化“二倍角”关系破解中考压轴题

柏新峰

摘要：“二倍角”的转化通常有四种方法：一是直接构造等腰三角形、转化“二倍角”关系；二是利用对称法构造等腰三角形，转化“二倍角”关系；三是借助“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”转化“二倍角”关系；四是利用角平分线转化“二倍角”关系.通过从不同角度求解，有利于提高学生的几何推理能力，提升学生的数学核心素养.

关键词：二倍角；构造；转化；等腰三角形在几何问题中，如果有一个角等于另一个角的二倍，则称其为“二倍角”问题.这类问题求解方法灵活，具有一定的难度.解决这类问题的关键是将“二倍角”关系转化为等角关系，然后利用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、平行四边形等基本图形的性质解决问题.本文以2023年山西省中考数学第15题为例，从不同角度呈现如何将“二倍角”关系转化为等角关系，供读者参考.

1试题呈现

题目：（2023年山西省中考数学第15题）如图1，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O，若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为_________.

2试题分析

根据已知条件可知△ABC是等腰三角形，△BCD是直角三角形，这是本题涉及的两个基本图形，且这两个三角形有一条公共边.由“∠ADB=2∠CBD”可知本题是一道“二倍角”几何问题，这类问题对学生而言有一定的难度，本题是填空题中的一道压轴题.其实，这类问题的处理是有方向可循的，通常需要构造等腰三角形，将“二倍角”关系转化为等角关系，由此实现未知量与已知条件之间的逻辑关系外显化，为问题解决创造条件.

3解法探究

点评：这种解法利用对称法得到∠CBD的二倍角∠GBH，从而根据已知条件“∠ADB=2∠CBD”得到∠GBH=∠ADB，实现了将“二倍角”关系转化为等角关系，然后利用三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理解决问题.由此可以看出，利用对称法构造等腰三角形，是将“二倍角”关系转化为等角关系的基本方法.

点评：这种解法利用“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”将“二倍角”关系转化为等角关系，然后利用等腰三角形性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理解决问题.由此可以看出，利用“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”可将“二倍角”关系转化为等角关系，然后利用基本图形的性质解决问题.

点评：这种解法通过构造角平分线将“二倍角”关系转化为等角关系，然后利用等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识求解，求解过程通俗易懂，是一种较为简捷的求解方法.由此可以看出，通过构造角平分线可将“二倍角”关系转化为等角关系，然后利用基本图形的性质解决问题.

“二倍角”几何问题求解方法灵活多样，对学生而言具有一定的难度.解决这类问题的关键是将“二倍角”关系转化为等角关系，然后利用等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、平行四邊形等基本图形的性质解决问题.在解决问题的过程中，可通过直接构造等腰三角形、利用对称法构造等腰三角形、借助直角三角形斜边中线的性质或构造角平分线等手段转化“二倍角”关系.通过从不同角度求解，有利于提高学生的几何推理能力，提升学生的数学核心素养.参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2017.

［2］ 华志远.高品质课堂：重在优化数学任务的设计——“二倍角三角函数（2）”同课异构的设计、实录与评析［J］.数学通报，2021，60（8）：3942.