打造技术创新课堂培养直观想象素养

2023-12-10王西辞

数学之友 2023年16期

王西辞

摘要：培养直观想象素养教师应做到：创设适合学生能力的教学情境，激发学生思维的火花，给学生留白的时间；善于捕捉学生思维的闪光点，鼓励学生展示自己的想法；在必要的时候，让学生恰当地借助电脑或图形计算器等现代信息技术发现或验证猜想，建立模型思想，培养数形结合能力，进而提高直观想象素养.

关键词：数学教学；初中生；现代信息技术；直观想象素养1问题的提出“Math education for all”，数学教育为人人，通常译为“大众数学教育”.这是大家熟知并接受的数学教育改革的标志性理念.［2］［3］在有一些学生和家长反映出数学素养发展存在困难的情况下，如何从教师的课堂教学入手，在培养直观想象方面做到大众数学则成为突出的现实问题.以计算机、智能设备、互联网和通用技术等为代表的现代信息技术带给了我们新的希望.近几来年，我们看到北京、上海、广东一些中学老师在培养直观想象中大胆的尝试，教学效果显著.但是这些尝试，更多是关于现代信息技术与高中数学课程的整合.在初中，我们也需要有成功的范例，需要有基于现代信息技术的反映数学新课程的资源，需要有能够整体把握基于现代信息技术的数学课程的专业教师团队，需要有成功应用现代信息技术支持学生数学学习的案例.

利用现代信息技术对初中生直观想象素养的培养是一个全新的挑战性课题，且该过程是一个循序渐进的过程，无法一蹴而就，需要在实践中不断地寻求解决路径.

2国内外研究现状述评以“直观想象”为关键词在中国知网上检索，共找到806篇结果，其中期刊、学位论文共119篇；其中，以“初中、直观想象”为篇名共检索到22篇，以“初中、直观想象培養”为篇名共检索到10篇.以“信息技术、直观素养”或以“信息技术、几何直观”或以“信息技术、空间想象”一起为关键词搜索，结果均为0.说明在这一领域需要进行深入、系统的研究.结合已有文献并参考相关专著，综述文献如下：

2.1直观想象作为数学核心素养的内涵直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.［4］董林伟和喻平将直观想象核心素养划分为3个维度：空间想象，几何直观，数形结合.［5］吴立宝，刘哲雨，康玥在分析直观想象素养形成过程的基础上，提出直观想象素养历经了原型直观、表象直观和想象直观三个阶段.［6］史宁中认为直观想象在义务教育阶段体现的就是几何直观和空间观念.［7］

有关几何直观的内涵，孔凡哲，史宁中认为几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力.几何直观具体表现为实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观四种表现形式.［8］几何直观包括以下三个方面：（1）利用图形描述、分析数学问题；（2）建立形与数的联系；（3）建构数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.［9］

有关空间观念的内涵，空间观念是我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十大核心概念之一，具体表现为根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描绘的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化；根据语言的描述画出图形等.［10］全美数学教师理事会（NCTM）指出，空间观念是对一个人周围环境和实物的直接感知：对于2或3维图形及其性质的领会和感知，图形之间的相互关系和变换图形的效果是空间观念的重要方面.［11］孔凡哲，史宁中认为空间观念（空间想象能力）倾向于即使脱离了背景也能想象出图形的形状、关系的能力，而几何直观更强调借助一定的直观背景条件而进行整体把握能力.［12］

根据以上综述，对于直观想象，我们不能认为它是几何直观和空间想象的结合.二者既各自有侧重点也有更多的交融点.这就要求我们从核心素养的整体性、综合性出发，重视几何直观和空间想象体现在学生身上的整体效应.在实际教学中，抓住“空间认识”“图形描述”“构建直观模型”“数形结合”几个关键词，逐步培养学生的直观想象素养.

2.2初中生直观想象素养的培养关于数学核心素养的培养，史宁中谈到两个原则：“一个原则是把握数学知识的本质，另一个原则是设计并且实施合理的教学活动”.具体而言，在教学设计中，首先，应当把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计，其次，教学的设计与实施，要特别重视情境与问题，数学核心素养在学生与情境、问题的有效互动中得到提升.［13］钟启泉指出，“核心素养”不是直接由教师教出来的，而是在问题情境中借助问题解决的实践培育起来的.［14］在“图形与几何”的编排中，要尽可能地为学生提供观察、操作、归纳、类比、猜测、证明的时机.［15］图形语言是培养直观想象的优良载体.小平邦彦提出，初中平面几何（欧氏几何）需要看图形，并对其进行验证，特别是画辅助线需要观察图形整体后做出综合判断，因此也是训练右脑（负责几何等）的最好方法.［16］他认为初中平面几何是帮助学生培养创造力、空间想象能力、用图形语言思考问题能力、直观洞察能力的最好教材.

2.3数学直观想象素养的测评问卷新课标强调数学学习评价关注学生知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成和发展.［17］

几何直观的测评问卷更多倾向于方法而非能力.以“几何直观”或“数形结合”为主题的研究多以理论思辨为主，且更多是关注教学或解题方面，围绕视觉表象进行研究.从题目的设计看出，研究者的目的并不在于学生的答案是否正确，而在于判断学生在多大程度上倾向于使用视觉化的方法.［18］

空间观察的测评问卷主要来自心理学领域.数学教育领域同心理学领域中用于评价空间想象的任务类型很大程度上是重合的，例如图形旋转、图形折叠、图形展开、图形识别等.针对初中生的主要有杨孟萍、石德澄编制的初中生空间认知能力的测试.［19］

2.4现代信息技术与课程整合的意义教师的信息技术与教学方法、教学内容的整合能力以及课堂教学中信息技术的充分使用有利于学生代数、几何成绩提高.［20］同时，借助信息技术手段，变革教学（学习）方式，学生将手机、平板、电脑不再用作娱乐工具，而是可以用作学习的设备，有助于提升学生数学学习兴趣.一个重大的发展是，2010年教育部发布的JY/T 04062010《高中理科教学仪器配备标准》（教基二［2010］1号）中，将数学教学辅助软件（具有几何作图、图形变换、函数图象绘制、度量、动作控制等方面的功能，并以中文菜单显示配备目录）加入配备目录，并提出了新的要求.这将极大的推动现代信息技术在中学数学课堂教学中的科学应用.国际数学教育界也有共识，特别是美国著名的国家数学教师协会（NCTM）关于技术标准更是明确的强调“要确保（ensure）”所有学生都能使用技术.在初中，人民教育出版社八下数学教科书在勾股定理这一章中多次允许学生使用计算器.

3研究设计

3.1研究内容我们重点从初中“数与代数”“图形与几何”两个内容进行初中生的直观想象培养.如下表：（具体授课可能会根据实际研究情况作调整）

3.2培养方式以上内容分三个时间段实施（其中带“*”是考试重点研究对象）

*课上团体培养的行动研究

課间答疑个体培养行动研究

*课后服务团体培养的行动研究

4实证研究

4.1渗透数形结合能力培养直观想象素养4.1.1班级介绍V1班和V3班均是2021年初二A层的学生； V2班是2018（三年前）年初二A层的学生.这三个班从成绩和能力来说水平相当，适合作对比研究.

4.1.2授课内容路径最值问题，选自八年级上《轴对称》.通过该内容的教学，培养学生的数与形结合能力.进而培养学生的直观想象素养.

4.1.3授课方式（1） V1班：传统板书教学，不采用任何信息技术手段.从两点、一点一线到两点一线到两线一点，从锐角内一点到钝角内一点，通过不停地变式研究路径最短问题.

（2） V2班：几何画板+板书授课.只讲两点一线，把这个问题的四种图形及涉及到的和最小、和最大、差最小、差最大四类问题讲透.

（3） V3班：现代信息技术+板书授课.预设学生可能发生的所有情况，以学生为主体，让学生建立在自己考虑的根底上，获得新知.

4.1.4教学效果分析（1）使用现代信息技术比不使用现代信息技术效果更好，学生亲自操作现代信息技术比看老师操作现代信息技术效果更好，更有利于直观想象素养的培养.

〖XB，HT6H，J2mm;Y0<续表>〗题号12345V197.50%7.50%70.00%16.25%13.75%V295%28%78%17%13%V3100%41.46%90.24%47.56%43.90%（2）学生亲自操作现代信息技术比看老师操作现代信息技术更有利于创造思维的培养.

教师利用TI—nspire软件发布的了一道学生未曾见过的测试题，学生现场接收并完成测试题，共用时2分钟.

已知∠AOB（钝角）内一点M，OM=4cm，点M到射线OA的距离为3，点M到射线OB的距离为2.若在射线OA上有一点P，射线OB上有一点Q，使得MP+PQ+QM最小，则此时MP+PQ+QM的最小值.

A. 6B. 4C. 8D. 10

测试结果如下（正确答案为C）：

A层同学正确率为96.77%，该结果比三年前同等水平的学生正确率高.

许多同学虽然结果分析得不准确，但是，他们的测试中体现出了直观想象的意识.

4.2构造直观模型培养直观想象素养4.2.1班级介绍培养对象：22名初二学生，他们在每周五下午有一个小时左右团体培养时间，虽然他们的数学学业水平参差不齐，但是他们均是本着对数学的热爱自愿报名参加的.

教师在教学中有意识地培养学生的几何模型.数学教与学的过程，启发学生自己发现和提出问题；鼓励学生独立思考、学会思考；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证.

4.2.2模型思想的渗透案例：两个共顶点不全等的等腰三角形产生的几何模型

（1）动手画图，推理猜想，直观想象：请同学们在纸上绘制一个等腰三角形ABC，在BC上选取一点D，作等腰三角形DAE，使得∠DAE=∠BAC.学生看到图形作出如下推理：可以产生两个全等的等腰三角形：△ABD≌△ACE（SAS）.

直观想象：随着点D的运动，这两个三角形永远全等吗？

（2）借助现代信息技术亲自验证猜想.

（3）由△ABD≌△ADE可以得到什么？

可以得到：∠B=∠ACE，

又因为：AB=AC，可得∠B=∠ACB，

从而，∠ACE=∠ACB，

可得，CA平分∠BCE.

（4）由角平分线，想到什么？想到角平分线性质定理.

（5）动手画出角平分线，你发现了什么？过点A作AF⊥CE于点F，过点A作AH⊥BC于点H.

（6）学生猜想：△ADH≌△AEF（HL）.

（7）直观想象：随着点D的运动，这两个三角形永远全等吗？学生猜想：永远全等.

（8）学生利用现代信息技术验证猜想：△ADH≌△AEF永远成立.然后你可以得到什么？得到DH=EF.

（9）引导借助现代信息技术探究：CD，BD，EF存在怎样的数量关系.

此时，CD-BD=2DH.

此时，BD-CD=2DH.

（10）学生反思：点D不同的位置，三者之间的关系有何区别，有何联系？借助几何直观，可以更清晰地想象.

4.2.3教学效果分析课后服务团体培养.2021年9月—2022年2月，课后服务时间，开设了数学直观想象素养社团，采用现代信息技术授课，22名数学薄弱的学生参与了进来.经过一学期的教学实践，他们中有17名同学数学成绩提升.

他们反馈道：“这样的课堂运用了电子设备，更加生动具体，且自己能操作，很有意思.”“这个数学社团别具一格，颠覆了我对数学的认知，非常形象有趣，在欢乐中探索知识，每节课总是很快就过去了，这是我在平时数学课上没感受过的.”、“能听到平时课上听不到的题，开拓了思维.”、“使我对复杂的题目有了思路，更加直观.”……

5研究启示针对初中生直观想象素养培养困难的问题，教师在教学过程中，以学生为主体，让学生在自己原有的基础之上自主发现问题、提出问题、解决问题.首先创设适合学生能力的教学情境，激发学生思维的火花，舍得给学生留白的时间；在课堂教学中善于捕捉学生思维的闪光点，鼓励学生展示自己的想法；在必要的时候，恰当借助现代信息技术帮助初中生构造几何直观模型、培养数形结合能力，从而培养学生的直观想象素养.

5.1渗透数形结合能力、构造直观模型有助于培养学生的直观想象素养很多数学家对数字的痴迷源于对数学本身的热爱.对于初学几何的学生，数形结合能力的渗透、数学直观模型的构造有助于学生更快地建立几何直观，把握整体思路，进而培养学生的直观想象素养.

5.2学生亲自操作现代信息技术还有利于提高学生的数学兴趣，增强学习数学的信心每次下课，总有学生给老师分享他们利用现代信息技术编的新题或探究出的新成果.他们在学习感悟中写到的关键词：“很有趣”“巧妙”“受益良多”“生动有趣”“使思路更清晰”“现代信息技术提高了我的数学思维能力”“更直观”“使我的猜想得到了验证”“让我对数学增加了兴趣”等等.纷纷表达了自主探索解决问题的快乐.

5.3现代信息技术不能完全替代原有的教学手段现代信息技术的真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果.例如动态图形的演示，计算器准确的度量功能.但是在应用现代信息技术的同时，教师不能摒弃传统教学模式中好的做法，例如课堂教学的板书设计.必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络［15］.我们到底该怎么用它？我认为可以用它进行一些基础计算，或用于开拓思路.但核心思路不要用计算器一带而过.两个“课标”均指出教学中要尽可能地使用计算器、计算机以及有关软件；课堂教学、课外作业、实践活动中，应当根据课程内容的要求，允许学生使用计算器，还应当鼓励学生用计算器进行探索规律等活动.但是现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果.例如，利用计算机展示函数图象、几何图形的运动变化过程；从数据库中获得数据，绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果，引导学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的概率.在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课堂教学的板书设计.必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络［15］.

5.4时代的进步，需要教师与时俱进，不断地学习新的知识和技能守着一成不变的教学模式无法适应新时代的学生.在利用现代信息技术授课中，学生不断地产生新的想法，教师及时地回应，需要教师更多地知识储备和灵活应变能力，在这样的授课方式中，促使教师更用心地备课，教师的教学水平也得到了提高，实现了教学相长.参考文献：

［1］史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例［J］.中小学管理，2017（1）：3537.

［2］ Peter Damerow，Mervyn E. Dunkley，Bienvenido F. Nebres and Bevan Werry， Mathematics for All， Problems of cultural selectivity and unequal distribution of mathematical education and future perspectives on mathematics teaching for the majority Reprt and papers presented in theme group I，‘Mahtematics for allat the 5th International Congress on Mathmatical Education，Adelaide，August 2429，1984.

［3］刘坚.“21世纪中国数学教育发展——大众数学的理论与实践”.人民教育出版.

［4］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2017.

［5］董林伟，喻平.基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查［J］.数学教育学报，2017，26（1）：713.

［6］吴立宝，刘哲雨，康玥.直观想象素养的内涵与结构探究［J］.现代基础教育研究，2018，31（3）：109113.

［7］史宁中.学科核心素养的培养与教学——以数学学科核心素养的培养为例［J］.中小学管理，2017（1）：3537.

［8］孔凡哲，史宁中. 关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识［J］.课程·教材·教法，2012，32（7）：9297.

［9］徐德同，钱云祥.基于质量监测的初中学生直观想象发展状况的调查研究［J］.数学教育学报，2017，26（1）：2224.

［10］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标标准（2021年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2021.

［11］全美数学教师理事会.美国学校数学课程与评价标准［S］.北京：人民教育出版社，1994.

［12］孔凡哲，史宁中. 关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识［J］.课程·教材·教法，2012，32（7）：9297.

［13］史宁中，林玉慈，陶剑，郭民.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七［J］.课程.教材.教法，2017，37（4）：814.

［14］钟启泉.基于核心素养的课程发展：挑战与课题，全球教育展望［J］.全球教育展望，2016，45（1）：325.