“动”与“静”比翼，“数”与“形”双飞

龙祁林

摘要：平面解析几何中的最值问题往往可以很好地融入“动”与“静”，而解决问题时又可以体现“数”与“形”，成为高考命题的一个重要场景.本文结合一道高考模拟题，并结合“动”与“静”的场景，从“数”与“形”两个视角切入，展示不同的解题思维与技巧方法，指导教师的数学教学与学生的学习以及数学解题研究.

关键词：椭圆；最值；函数；几何；变式涉及平面解析几何中参数、代数式等的最值问题，一直是高考数学试卷中的一个熟悉“面孔”，难度中等及以上.此类问题可以有效综合点、直线、圆、圆锥曲线等相关元素，合理交汇其他相关知识，题目新颖，背景生动，“动”“静”结合，融合度高，变化多端，形式各样.而解决问题时又可以“数”“形”转化，给考生以更多的视角与机会，充分体现试题的选拔性与区分度，备受各级各类考试的命题者青睐.

1问题呈现

2问题破解

2.1思维视角一：函数视角

2.2思维视角二：几何视角

解后反思：几何思维解法是处理此类问题的“巧技妙法”，展现的就是“米勒定理”问题，通过几何图形的直观视角，结合正弦定理以及圆的几何性质等加以逻辑推理与数形结合，这里合理构建对应的圆是解决问题的过渡点与“桥梁”，进而确定对应张角的最大位置与三角函数值的最值.几何思维法的关键在于构建相应的几何直观图形，“形”看最值条件，结合几何图形的基本性质加以分析与应用.

3教学启示

3.1“动”与“静”结合，“数”与“形”转化破解平面解析几何中的代数关系式、三角函数值等的定值、最值（或取值范围等）相关问题时，基于动点、动直线等要素对应的题设中点、直线、圆等相关元素的变化运动规律，“动”中取“静”，确定相关定值、最值（或取值范围等）的位置点.解决问题时，可以从“数”的视角通过相关几何元素中抽象數学关系，结合关系式或不等式的建立，以代数方式来处理；或从“形”的视角通过平面几何图形中归纳运动规律，结合几何特征来分析，以几何方式来处理.

3.2开展“一题多解”，实现“一题多得”

2019年发行的《中国高考评价体系》为今后的高考试题改革指明方向，其中包括“高考试题要体现基础性、综合性、应用性和创新性”等，为高考命题与高中教学提供更加直接有效的方向.

这就要求教师在平时的教学与解题研究中，在强化学生对数学基本概念、基础知识、基本方法与基本技能等方面训练的基础上，以习题的“一题多解”探究为载体，开阔学生解题视野，使他们熟练掌握更多解题方法；并在此基础上做到深度学习，进行合理的“一题多变”，达到“一题多得”等目的，总结解题规律，有效避免题海战术，真正有效培养学生的逻辑思维能力、数学运算能力和创新应用能力等.