从算盘到三角形数

文／万广磊

我国的珠算是世界文明的瑰宝。明清时期，能够到店铺站柜台的人，都要有打算盘的童子功——算百子，也就是能用算盘快速计算1+2+3+4+…+100+…的结果。

我在童年时学打算盘，会经常练习1+2+3+…+36。为什么只加到36呢？因为它的结果是666，我很喜欢这个数字。据说，数学家高斯8 岁时就能很快计算出1+2+3+4+…+100 的结果。同学们，如果你不会算盘，也没关系，我们现在可以直接用等差数列的计算公式得到它的结果。1+2+3+4+…+100=×100×（100+1）=5050。5050 这个数字也很特殊，因为5050其实是一个“三角形数”。

什么是“三角形数”呢？古希腊的大数学家毕达哥拉斯喜欢用“小石子图形”研究数列。他把一定数目的点或圆，进行等距离的排列，如果能得到一个等边三角形，那么这样的数就被称为“三角形数”。如图1 所示，1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91……这些数量的石子都可以排成等边三角形，所以这些数都是“三角形数”。

图1

从“三角形数”的构成方法中，我们可以发现它有以下特点：

1.第n个“三角形数”是从1开始的n个自然数的和。

举例：第5 个“三角形数”是15，15=1+2+3+4+5。

2.所有大于3 的“三角形数”都不是质数。

举例：6=2×3，28=4×7。

3.从1开始的n个立方数的和是第n个“三角形数”的平方。

举例：1+8+27+64=100=102=（1+2+3+4）2。

4.任何“三角形数”乘8，再加1，结果是一个平方数。

举例：10×8+1=81=92。

5.两个连续的“三角形数”之和是平方数。

举例：1+3=4，3+6=9，21+28=49。

6.一部分“三角形数”（3、10、21、36、55、78……）可以用n2n+1表示；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用n2n-1表示。

7.所有“三角形数”的倒数之和是2。

8.所有偶完美数都是“三角形数”。

完美数又称完全数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身。第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6 外，其余3 个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28 外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496 外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。

9.大数学家高斯发现：任何自然数是最多三个“三角形数”的和。

对于以上特点，同学们可以自由选几个数，动手算算看。当我们学习了用字母表示数之后，我们可对“三角形数”的以上特点进行说理。后面4 个特点的说理比较有难度，尤其是第9 个，如果你感兴趣，说不定可以自主解决哦。