单边约束下受脉动内流激励作用简支输流管的碰振响应研究

2023-12-01王天林郭长青漆发辉卢小缅方孟孟

振动与冲击 2023年22期

王天林, 郭长青, 漆发辉, 许锋, 卢小缅,方孟孟

(1. 南华大学土木工程学院,湖南衡阳 421001;2. 南华大学数理学院,湖南衡阳 421001;3. 贵州师范大学大数据与计算机科学学院,贵阳 550025;4. 悉地国际设计顾问(深圳)有限公司,广东深圳 518000)

输流管在机械化工气力输送系统[1]、航空航天液压系统[2]、核工业冷却系统[3]以及石油与天然气的运输[4-5]等诸多领域中应用广泛。输流管系统的耦合振动(管道的结构振动、流体的压力脉动等)极易导致管道薄弱部位发生裂纹,继而破裂,造成严重的管道安全事故,导致巨大的经济损失,如11·22青岛输油管道爆炸事件。因此,国内外众多学者[6-9]对输流管的振动稳定性问题开展了持续性研究。输流管运用于实际工程中,管道内部会因动力装置(如,泵、压缩机等)的工作而产生脉动内流,导致输流管发生振动。输流管服役期间可能会遭遇约束松动、受工作环境限制而使输流管与障碍物相邻近等问题,导致输流管在振动过程中管道局部与约束发生碰撞,而碰撞振动可能会降低管道系统的稳定性、缩短管道的使用寿命。目前,输流管与对称约束的碰撞振动研究已较为成熟,单边约束碰撞振动研究也取得了丰厚的成果,但是单边约束与输流管的碰撞振动研究还较为少见,因此,很有必要针对该问题开展相应的研究工作。

输流管与对称约束的碰撞振动研究中,许多学者采用了立方非线性弹簧或修正的分段三线性弹簧模拟对称约束。Paidoussis等[10-12]先后采用立方非线性弹簧与修正的分段三线性弹簧模拟对称约束,分析了对称约束下悬臂输流管的碰撞振动特性,并通过试验对数值计算结果进行验证,其试验结果与理论预测具有较好的一致性。Wang等[13]研究了对称约束下悬臂输流立管的稳定性和混沌运动,并与Jin[14]开发的悬挂式系统进行比较,发现悬臂输流立管系统的动力学特性比悬挂式系统更为丰富。唐冶等[15]研究了对称约束下受多种激励作用悬臂输流管的非线性动力学行为。Wang等[16]使用立方非线性弹簧模拟对称约束,研究了受对称约束作用悬臂输流管的三维动力学行为。

单边约束由于约束的非对称性,吸引了众多学者对其开展研究。Zhang等[17]建立了单边约束非光滑系统的时间积分方法框架,并通过曲柄滑块机构的数值试验,验证了该方法比经典的Moreau-Jean时步法所提框架在精度和效率上更具优势。Peng等[18]提出了一种基于辛方法和线性互补法求解多体碰撞接触动力学问题的方法,并通过多个数值案例证明所提出的方法即使在较大的时间步长下也具有较高精度。Miao等[19]对单边约束下受简谐激励作用的单自由度冲击振子进行研究,从拓扑学的角度研究了Nordmark映射混沌吸引子的结构。Gritli等[20]基于OGY状态反馈控制律,研究了单边约束下单自由度冲击振子的非线性动力学行为。Reboucas等[21]采用点映射法、标准平均法和非光滑变换相结合的方法,分析了带恢复系数单自由度模型的振动冲击响应。Guo等[22]研究了单边刚性约束下受简谐激励作用的双摆模型。通过引入碰撞恢复矩阵、模态分析和矩阵理论,得到了高维非光滑非对称系统中单边双碰撞周期解的解析表达式。

目前,只有极少数的学者对单边约束与输流管的碰撞振动问题开展研究,王乙坤等[23]基于碰撞恢复系数构造了输流管与单边刚性约束碰撞前后管道各处状态向量的传递矩阵,分析了间隙值和碰撞恢复系数对输流管系统的影响。

本文对单边约束下受脉动内流激励作用简支输流管的碰振响应问题开展研究。首先,通过Hamilton原理推导出输流管系统的运动微分方程。其次,使用Galerkin法将偏微分方程离散为常微分方程组。最后,采用可变阶次的数值微分(numerical differentiation formulas,NFDs)算法[24-25]对离散后的常微分方程组进行求解。研究了脉动内流激励频率、平均流速、单边约束位置坐标与约束间隙等参数对输流管系统的影响规律,为输流管的碰撞振动控制提供理论基础。

1 求解方法

图1为简支输流管与单边约束的碰撞振动模型。当输流管与单边约束发生碰撞时,单边约束对输流管有约束反力;输流管与单边约束分离后,单边约束不再影响输流管的运动。目前,已有学者[26]采用碰撞恢复系数来处理单边约束,但使用该方法需满足两个条件:根据结构的特点和单边约束的位置坐标将管道划分为多个单元且单边约束处于某一单元节点上;实际发生振动的自由节点个数等于Galerkin模态截断数。因此,当单边约束位置坐标发生变化时,需重新划分单边、Galerkin离散与构造传递矩阵,极大地增加了工作量。本文新提出的非线性弹簧(受拉时刚度几乎为零、受压后刚度迅速增大)模型,可在不增加工作量的前提下分析单边约束任意位置坐标对输流管系统的影响规律。

图1 单边约束下简支输流管示意图Fig.1 Schematic diagram of simply supported fluid conveying pipe with unilateral constraints

考虑输流管运动过程中因轴线变形而导致的几何非线性因素,根据Hamilton原理,可将单边约束下受脉动内流激励作用简支输流管的运动微分方程写成[27-28]

(1)

式(1)中,脉动流的表达式[29]

U=U0[1+μsin(Ωt)]

(2)

式中:U为管内流体的流速;U0为管内流体的平均流速;Ω为脉动内流的脉动频率;μ为脉动内流的脉动幅值。

式(1)中,等效单边约束非线性弹簧恢复力Fb与变形量(w+H)的关系为

Fb=kb[e-s(w+H)+ζ](w+H)

(3)

式中:kb的作用是降低非线性弹簧受拉阶段产生的恢复力;s与非线性弹簧恢复力的变化速率相关,s越大则非线性弹簧受压阶段恢复力的增大速率越快;ζ的作用是确保非线性弹簧无负刚度情况;H为输流管与约束之间的间隙。

引入如下无量纲参数

可将式(1)～式(3)写成如下的无量纲形式

(4)

其中,

u=u0[1+μsin(ωτ)]

(5)

fb=κb[e-ν(η+h)+ζ](η+h)

(6)

使用Galerkin法对无量纲运动方程式(4)、式(6)进行离散,输流管的横向位移函数可表示为

(7)

式中:N为Galerkin截断数;φj(ξ)为简支输流管(简支梁)第j阶的振型函数;Tj(τ)为广义坐标,且有

φj=sin(λjξ)

(8)

λj满足特征方程

λj=jπ

(9)

φ={φ1,φ2,…,φN},T={T1,T2,…,TN}T

(10)

将式(7)代入式(4)和式(6),并在方程两边同时左乘φT,再对ξ从0～1积分,由模态函数的正交性,输流管的运动微分方程可离散成如下形式

(11)

其中,

(12)

(13)

(14)

pb=2κbφ(ξb)T{e-ν[φ(ξb)T+h]+ζ}[φ(ξb)T+h]

(15)

(16)

(17)

p=pb-pE-pα

(18)

为了方便后续的数值计算,引入状态向量

(19)

将式(11)写成如下形式的一阶状态方程

(20)

(21)

式中:I为N阶的单位矩阵;Ok为N阶的零矩阵;Op为向量分量为0的N维列向量。

式(20)为单边约束下受脉动内流激励作用简支输流管的非线性控制常微分方程组,求解该方程组可获得输流管在取定参数下的动力响应。

2 计算结果验证与分析

输流管单边约束处(ξ=ξb)分岔图的触发条件为该处的速度趋于零,即

(22)

同理,可得输流管中点处(ξ=0.5)分岔图的触发条件为

(23)

分别记录下满足式(21)与式(22)条件时,输流管单边约束处(ξ=ξb)的位移η(ξb,τ)与中点处(ξ=0.5)的位移η(0.5,τ)。

2.1 脉动激励频率的影响

为验证本文算法的正确性,在不考虑单边约束情况时,采用王乙坤等研究中的参数(N=5,u0=4.5,α=0.005,β=0.64,κ=5 000,μ=0.2),本文采用NFDs算法得到的以脉动激励频率ω为控制参数输流管中点处的分岔图(如图3(a)所示)与王乙坤采用四阶Runge-Kutta法所得图像(图3(b)所示)一致,表明本文算法是可靠的。

图3 以脉动激励频率ω为控制参数输流管中点处的分岔图Fig.3 With pulsating internal flow excitation frequency ω is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the midpoint of fluid conveying pipe

图4是以脉动激励频率为控制参数输流管单边约束处与中点处的分岔图,结合Poincare映射图(由于篇幅限制未绘制在文中)可得系统由稳定周期运动通向混沌窗口与由混沌窗口演化稳定周期运动的演化路径。当17.6≥ω≥7.7时,随着ω的不断增大,系统的运动形态由周期-2(本文周期-N1为不发生碰撞的周期N1运动,周期N1为发生碰撞的周期N1运动,周期N1运动为系统做稳态周期运动,且其运动周期为N1倍脉动激励周期)因发生碰撞振动而直接进入第一个混沌窗口,而后由混沌运动经倒倍周期分岔(周期2n、周期2n-1、…、周期8、周期4、周期2)演化为稳定的周期2。当25.4≥ω≥21.6时,系统由周期2直接通向第二个混沌窗口,而后由混沌运动经倒倍周期分岔(周期3×2n、周期3×2n-1、…、周期12、周期6、周期3)演化为稳定的周期3。当43.6≥ω≥43.5时,系统由周期3直接进入第三个混沌窗口。

图4 以脉动激励频率ω为控制参数输流管单边约束处和中点处的分岔图Fig.4 With pulsating internal flow excitation frequency ω is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the unilateral constraint and midpoint of fluid conveying pipe

当ω≥61时,系统将不再发生碰撞振动。若继续增大ω,当ω≥63.8时,脉动激励频率将不再影响系统的运动形态,系统将一直保持周期-1。

当ω处于系统发生碰撞振动的脉动激励频率范围时,系统可由稳定周期运动直接进入混沌窗口,而后又由混沌运动经倒倍周期分岔演化为稳定的周期运动。

2.2 平均流速的影响

图5是以平均流速为控制参数输流管单边约束处与中点处的分岔图,可以观察到当3.16≥u0时,系统不发生振动。当4.56>u0>3.16时,系统几乎处于非碰撞振动状态。

图5 以平均流速u0为控制参数输流管单边约束处和中点处的分岔图Fig.5 With the average flow velocity u0 is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the constraint and midpoint of fluid conveying pipe

当5.62≥u0≥4.5时,随着u0的增大,系统的运动形态由周期-1经稳定焦点、吸引圆、概周期运动,最后因发生碰撞振动而进入混沌窗口,此过程Poincare映射图的演化[30]如图6所示。图6(a)为随运动时间的增大Poincare映射图呈顺时针螺旋汇聚成稳定焦点的过程;继续增大u0,Poincare映射图将呈现先顺时针螺旋汇聚,到达转向点(顺时针螺旋汇聚与逆时针螺旋汇聚的分界点)后,逆时针螺旋汇聚成稳定焦点,如图6(b);若再继续增大u0,Poincare映射图将呈现先顺时针螺旋汇聚,到达转向点后逆时针螺旋汇聚成吸引圆,且吸引圆随着u0的增大而不断向外扩张,最终演变为一封闭曲线,此时系统的运动形态为概周期运动,该过程Poincare射图的演化如图6(c)～图6(e);当u0≥4.56时,输流管与约束发生碰撞振动导致封闭曲线崩溃,系统进入混沌窗口,其后系统直接由混沌运动跳跃为周期3而离开混沌窗口。

图6 输流管单边约束处与中点处的Poincare映射图Fig.6 Poincare map at unilateral constraint and midpoint of pipe conveying fluid

图7 输流管单边约束处的位移时程曲线与速度时程曲线(u0=7.2)Fig.7 Displacement time history curve and velocity time history curve at the unilateral constraint of the flow tube(u0=7.2)

从图7观察到系统出现周期性完全颤碰振动[31-32],单边约束下受脉动内流激励的简支输流管在此运动过程中经历三种运动状态:参数振动(本文参数振动状态只受脉动内流激励作用不碰撞振动)、颤碰振动和黏滞状态。系统处于颤碰振动时,输流管约束处的振动幅值与冲击速度(输流管撞击单边约束时管道单边约束处的速度)随着碰撞次数的增加而不断减小,但在减小为零之前,输流管约束处的合力方向发生改变,系统未能进入黏滞状态的颤碰振动称为周期性非完全颤碰振动;将冲击速度减小为零时,输流管约束处合力仍然指向单边约束,导致输流管与单边约束黏滞在一起,合力方向发生改变后,输流管与单边约束分离,黏滞状态结束的颤碰振动被称为周期性完全颤碰振动。

当8.05≥u0≥7.3时,系统由周期3经倍周期分岔(周期3、周期6、…、周期3×2n)通向混沌窗口,而后又由混沌运动跳跃为周期3离开混沌窗口。当8.95≥u0≥8.79时,系统由周期3经倍周期分岔(周期3、周期6、…、周期3×2n)通向混沌窗口。

通过对管内流体平均流速的研究,观察到了周期性完全颤碰振动;发现了输流管系统通向混沌的两种路径:由稳定周期运动经稳定焦点、吸引圆、概周期运动通向混沌窗口与由稳定周期运动经倍周期分岔通向混沌窗口。

2.3 单边约束位置坐标的影响

2.3.1 无约束间隙系统(h=0)

图8是以单边约束的位置坐标ξb为控制参数输流管单边约束处与中点处的分岔图,从该图可以清楚地观察到当单边约束处于始端支座附近(0.173≥ξb>0)时,输流管与单边约束一直处于黏滞状态。

图8 以约束的位置坐标ξb为控制参数输流管单边约束处和中点处的分岔图(h=0)Fig.8 The position coordinate of the constraint ξb is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the unilateral constraint and midpoint of fluid conveying pipe (h=0)

当0.829≥ξb≥0.775时,系统出现周期N1的一种特殊碰撞振动形态——N2/N1周期碰撞振动,即系统历经N1个脉动激励周期,输流管与约束发生的碰撞次数为N2次的现象。为了更清楚地观察输流管与约束的N2/N1周期碰撞振动现象,图9～图12绘制出了输流管单边约束处与中点处的相图以及Poincare映射图(输流管单边约束处相图中的虚线表示单边约束)。当ξb=0.775时,如图9所示,由Poincare映射图可知系统历经了3个脉动激励周期,相图显示输流管与约束发生了1次碰撞,为1/3周期碰撞振动。随着ξb的增大,系统由1/3周期碰撞振动经倍周期碰振响应(1/3周期碰撞振动(见图9所示)、2/6周期碰撞振动(如图10所示)、4/12周期碰撞振动(见图11所示)、…、2n/3×2n周期碰撞振动)通向混沌窗口(如图12所示),而后由混沌运动经倒倍周期碰振响应(2n/3×2n周期碰撞振动、2n-1/3×2n-1周期碰撞振动、…、4/12周期碰撞振动、2/6周期碰撞振动、1/3周期碰撞振动)演化为稳定的1/3周期碰撞振动。

图9 1/3周期碰撞振动(ξb=0.775)Fig.9 1/3 periodic impact vibration (ξb=0.775)

图10 2/6周期碰撞振动(ξb=0.785)Fig.10 2/6 periodic impact vibration (ξb=0.785)

图11 4/12周期碰撞振动(ξb=0.787)Fig.11 4/12 periodic impact vibration (ξb=0.787)

由此可知,对于无约束间隙输流管系统,当单边约束邻近始端支座时,输流管与单边约束会一直处于黏滞状态,即不发生振动。观察到了N2/N1周期碰撞振动现象与系统由稳定的N2/N1周期碰撞振动经倍周期碰振响应通向混沌窗口的现象。

2.3.2 具有约束间隙的输流管系统(h=0.03)

图13是以约束的位置坐标ξb为控制参数输流管单边约束处与中点处的分岔图,可以观察到当单边约束处于输流管中部(0.678>ξb>0.272)时,可使系统的最大响应幅值大幅度降低。结合图8与图13可以观察到,输流管单边约束处与中点处的运动形态基本一致,由此可知,整个输流管都处于同一运动形态。可能由于流体流速具有方向性,所以以约束的位置坐标ξb为控制参数的分岔图未关于管道中心点的垂线(ξb=0.5)对称。

图13 以约束的位置坐标ξb为控制参数输流管单边约束处与中点处的分岔图 (h=0.03)Fig.13 The position coordinate of the constraint ξb is used as the control parameter of the bifurcation diagram at the unilateral constraint and midpoint of fluid conveying pipe (h=0.03)

从图13可以观察到,ξb过小输流管会因始端支座的影响而无法与单边约束发生碰撞振动,但此约束间隙下,随着ξb的不断增大,系统终将由非碰撞振动经擦边运动[33-34]发生碰撞振动。通过分岔图结合相图与Poincare映射图(篇幅限制只绘制部分关键节点的图像)可观察到,当0.226≥ξb≥0.205时,随着ξb的增大,系统的运动形态由周期-4、周期-4擦边、1/4周期碰撞振动、倍周期碰撞振动响应(1/4周期碰撞振动、2/8周期碰撞振动、…、2n/4×2n周期碰撞振动)、概周期碰撞振动、周期-4、概周期碰撞振动,最后通向混沌窗口。

当0.4≥ξb≥0.34时,随着ξb的增大,系统先后发生两次擦边运动导致其运动形态由1/1周期碰撞振动经一系列运动形态的演变,最终演化为3/1周期碰撞振动。此过程系统运动形态的演化为:1/1周期碰撞振动(如图14所示)、1/1擦边周期碰撞运动(如图15所示)、概周期碰撞振动、3/2周期碰撞振动、2/1周期碰撞振动(如图16所示)、2/1擦边周期碰撞运动、6/2周期碰撞运动、最后演化为3/1周期碰撞振动(图17)。

图15 1/1擦边周期碰撞振动(ξb=0.345)Fig.15 1/1 grazing periodic impact vibration (ξb=0.345)

图16 2/1擦边周期碰撞振动(ξb=0.3907)Fig.16 2/1 grazing periodic impact vibration (ξb=0.3907)

当0.815>ξb≥0.786时,随着ξb的增大,输流管的运动受末端支座的影响越来越大,最终将导致系统由碰振运动演化为非碰振运动。此过程系统的运动形态的演化为:混沌运动、1/4周期碰撞振动、周期-4擦边、周期-4。虽然当ξb≥0.799,输流管已开始不与约束发生碰撞振动,但系统仍会出现间歇性的碰撞振动,直至ξb≥0.815,输流管才无法再与约束发生碰撞振动。此后,系统的运动形态将一直维持周期-4。

由此可见,对于具有约束间隙的输流管系统,当单边约束处于输流管中部时,可使系统的最大响应幅值大幅度降低。擦边运动可诱发系统发生倍周期碰振响应或使系统的碰振形态发生跳跃,系统可由碰振混沌运动经周期性碰撞振动、擦边运动演化为稳定的周期性非碰振运动。