一道模考题的解法探究与推广

盖传敏 姜建元

1 试题呈现

（2023届安徽省“江南十校”联考21题）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲線的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆C1：x24+y2b2=1（0＜b＜2），双曲线C2是椭圆C1的“姊妹”圆锥曲线，e1，e2分别为C1，C2的离心率，且e1e2=[KF（]15[KF）]4，点M，N分别为椭圆C1的左、右顶点.（Ⅰ）求双曲线C2的方程；（Ⅱ）设过点G（4，0）的动直线l交双曲线C2右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为kAM，kBN.试探究kBM与kBN的比值kAMkBN是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.