二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法

2023-11-28陈霖

语数外学习·初中版 2023年9期

陈霖

纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知識，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.

一、割补法

在平面直痛坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解;补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过 “转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.

例1 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y = x2+2x-3交x轴于点A，B，在y轴上有一点E（0，1），连接AE.

（1）求直线AE的解析式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值.

解：（1）∵y=x²+ 2x- 3 =（x + 3）（x-1），∴当 y = 0 时，x1=-3，x2=1，

∴点A的坐标为（-3，0），

设直线AE的解析式为y = kx + b，

二、铅垂法

如图2，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h）.我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.

例2已知：如图3，抛物线：y = ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点尸运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

解：

三、切线法

切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值. 将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求川最值.

例3 如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B. 抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E 的坐标，及△ABE面积的最大值S.

解：⑴在y =-x-4中分别令x = 0，y = 0，可得点 A（-4，0），B（0，-4），

根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，

可得方程组

解方程组可得：

∴抛物线的函数表达式为;

（2）设点E的坐标为（m，+ m - 4），

当△ABE的面积最大时，点E在抛物线

上且距AB最远，

此时E点所在直线与AB平行，且与抛物线相切，只有一个交点，