一类p-Laplace方程束缚态解的存在性与集中性

石 影，曾德华

(浙江师范大学 数学与计算机科学学院，浙江金华 321004)

0 引言

Δpu=div(|∇u|p-2∇u)， ∀u∈C2(Ω).

形式上，当p=2 时，p-Laplace 算子变为 Laplace 算子，即Δp=Δ. 因此，p-Laplace 算子是Laplace 算子的推广.而且，当p=2 时，算子Δp(Δ) 是线性的；当p≠2时，算子Δp则是拟线性的. 一般地，称带 p-Laplace 算子的方程为 p-Laplace 方程，而 Laplace方程则是p-Laplace 方程的特例.

p-Laplacian方程用来描述扩散现象的一类拟线性椭圆方程，在牛顿流体、膨胀流体、渗流、反应-扩散问题、非线性光学、等离子物理和非线性弹性力学等很多领域都有广泛的应用. 在流体力学中，p-Laplacian 方程可以用来模型化牛顿流体或非牛顿流体. 当p=2时，它表示纯线性的牛顿流体；当p>2时，它表示粘性流体；当1

在数学中，通常把偏微分方程在 Sobolev 空间中的解称为束缚态解，而把Sobolev 空间中具有最小正能量的解称为基态解.对于带连续位势的奇异摄动非线性 Laplace 方程，若位势为正且无穷远处极限为零，基态解和束缚态解的存在性和集中性都得到了证明；[2-3]若位势非负且零点集非空，则基态解和局部束缚态解的存在性可证.[4-5]对于带连续位势的奇异摄动非线性 p-Laplace 方程，若位势为正且无穷远处的下极限大于最小值，文献[6]证明了p-Laplace 方程正解的存在性、多重性和集中性.其他研究结果可参考文献 [7-11].

本文考虑 p-Laplace 方程：

-Δpu+|u|p-2u=Qn(x)|u|q-2u，x∈N，

(εn)

(q2)

注1 我们称{x| Qn(x)>0}和{x| Qn(x)<0}中的点分别为自聚焦和去聚焦.

对于带变号权函数的非线性偏微分方程的相关结果，可参考文献 [13-16].

令开集

表示支集包含于Ω的无穷可微函数的全体，Lp(Ω)表示p次可积函数的全体. 定义 Sobolev 空间为W1，p(Ω)：={u|∇u∈Lp(Ω)，u∈Lp(Ω)}，

进一步，定义 Sobolev 空间为D1，p(N)：={u|∇u∈Lp(N)，u∈Lp*(N)}，

特别地，D1，2(N)为 Hilbert 空间.

当p=2 时，方程(εn)可化为：

(1)

其中：Qn(x) 变号，且当n→∞时，集合{x∈Ω| Qn(x)>0} 收缩到两个不同的点x1≠x2. 文献[17]采用约束极小和截断函数方法证明了“当n充分大时方程(1)存在基态解，且基态解在x1或x2处关于H1范数集中. 其中：基态解不能同时在x1和x2处关于H1范数集中”.文献 [18]采用惩罚函数(参考文献 [5])和山路引理方法证明了关于H1范数集中的束缚态解的存在性.

受文献 [18]的启发，本文拟研究方程(εn)束缚态解的存在性和集中性.

(i)方程(εn)至少存在一个正束缚态解，不妨记为un；

-Δpφ+εp|φ|p-2φ=Qε(x)|φ|q-2φ，x∈N，

(2)

(3)

首先，采用经典的山路引理证明修正方程(3)至少存在一个正解uε.再采用截断函数技巧、Morese 迭代方法和最大值原理分析uε的有界性和衰减性. 最后，证明修正方程(3)的解满足方程(2)，进而得到方程(εn)束缚态解的存在性，而方程(εn)的束缚态解关于H1范数的集中性可由uε的性质得到.

符号说明：C，C1，C2，… 代表正常数；Br(y)：={x∈N||x-y|

1 修正方程解的存在性

本节应用山路引理证明修正方程(3)束缚态解的存在性.

易知，修正方程(3)对应的能量泛函为

首先，验证能量泛函 Γε满足山路引理的几何结构.

引理1 固定ε>0，Γε满足山路引理的几何结构.

于是，Γε满足山路引理的几何结构.

然后，验证能量泛函Γε的(PS)序列的紧性.

引理2 固定ε>0，Γε满足(PS)条件.

证明：令{un}⊂W1，p(N)为Γε的(PS)序列，则由p0，使

因此，{un}在W1，p(N)中有界. 在子列的意义下，当n→∞时，有

un⇀uε于W1，p(N)，un→uε于N)，un→uεa.e.N.

(4)

因此，对任意的ψ∈W1，p(N)，由可得

(5)

令0≤φR≤1为光滑的截断函数且满足如下条件：

当|x|≤R时，φR=1；当|x|≥2R时，φR=0.

注意到φR有紧支集，χε，Qε，φR和 |∇φR|均有界，则由 Hölder 不等式可得，当n→∞ 时，有

因为

于是，式(4)得证.

接着证明：对任意的δ>0，存在足够大的R>0使

(6)

取光滑的截断函数0≤ηR≤1满足下式：

当|x|≤R时，ηR=0；当|x|≥2R时，ηR=1.

注意到

利用 Hölder 不等式，可得

其中，当R→∞时，oR(1)→0. 所以，当R→∞时，有

综合以上估计可知，对任意的δ>0，存在足够大的R0>0，使得

因此，式(6)成立.

由式(5)和式(6)可知，un→uε于W1，p(N).所以，Γε满足(PS)条件.证毕.

最后，定义山路水平值和路径集.

由引理1、引理2和山路引理(参考文献 [19])，不难得到下述命题.

命题1：对任意的ε>0，cε是Γε的一个临界值. 因此，修正方程(2)存在非平凡解uε≥0使得 Γε(uε)=cε.

2 定理 1 的证明

由前面山路引理得到的修正方程(3)的解满足方程(2)，可以完成定理 1 的证明.

考虑约束极小问题：

不难证明：K0>0且存在正达到函数u0∈D1，p(N).

首先，通过下述引理给出山路水平值cε的上界.

证明：设光滑的截断函数0≤χ(x)≤1满足

Γε(t0χnu0)<0.

令p(t)=t·t0χnu0∈ε.由此可得，

当n→∞时，有

类似于引理 2 的讨论，由引理 3 可得下列引理.

引理4：对任意小的ε>0，‖uε‖ε和Gε(uε)有界.

接下来，采用 Morse 迭代和最大值原理证明uε的衰减性.

引理5：存在与ε无关的M>0以及0

证明：利用 Morse 迭代证明存在与ε无关的常数C>0，使得uε≤C.

事实上，由方程(3)可知：

-Δpuε+εp|uε|p-2uε+λεχε|uε|p-2uε=Qε(x)|uε|q-2uε，x∈N，

(7)

经过简单计算，易知：

由此可知，

(8)

根据引理 4 可知，uε在W1，p(N)中有界，这推出uε也在Lp*(N)中有界. 令K>0，则存在与ε无关的常数C>0，使得

利用 Hölder 不等式，可得

令式(8)中的l趋于无穷，通过 Sobolev 不等式可得

这意味着，当n→∞时，存在与ε无关的常数C>0使得|uε|L∞(N)≤C.

接下来，通过比较原理来完成此引理5的证明.

因为Gε(uε)有界，所以存在与ε无关的常数C>0，使得

uε≤Cεμ/p.

(9)

因此，对任意小ε>0，有Gε(uε)=0.所以，当ε>0足够小时，uε为方程

-Δpuε+εp|uε|p-2uε=Qε(x)|uε|q-2uε，x∈N

(10)

的非负解.由椭圆方程的正则性理论和强极大值原理可得，uε>0.

由式(9)可知，当ε→0时，有

(11)

由式(10)可得

其中：常数σ1>0.

由于{uε} 在D1，p(N)中有界，则在子列意义下，当ε→0时，有

uε⇀φ0于D1，p(N)，uε→φ0于N)，uε→φ0a.e.N.

显然，非负函数φ0≠0满足方程-Δpφ=K1(x)φq-1.

由椭圆方程的正则性理论和强极大值原理可知φ0>0. 由范数的弱下半连续性和 Fatou 引理，可得：

因此，取其子列，当ε→0时，有

于是，uε→φ0于D1，p(N).此外，对任意的δ>0，当ε→0时，有