稳定映射芽的分类

张晓雪

(吉林师范大学 数学与计算机学院, 吉林 长春 130000)

0 引言

奇点理论在分析学科中是一个新的分支学科.20世纪30年代,莫尔斯发表了临界点理论;20世纪40年代,惠特尼(H.Whitney)发表了微分流形嵌入、浸入的奇点有关的研究等.奇点理论的研究目前已有大量的成果,光滑函数芽是奇点理论需要研究的重要问题,Whitney已经证明:Rn中的任意闭子集都可以为C∞函数Rn→R的零点集.如果Rn映入Rp的C∞的映射等价,则微分同胚的奇点集一定是存在的.根据前面提到的Whitney定理证明Rn中的任意闭子集都可以是某种C∞映射的奇点集,因此C∞映射的分类比起所有闭集的分类范围更广.显然这样的分类难以解决,所以研究中重要的是稳定的映射以及稳定的映射芽.近年来,已经有许多数学工作者对其进行了深入的研究,如玛瑟在稳定性方面的研究,阿诺尔德在奇点分类方面的研究.李养成[1]313、梁琼初等[2]、刘海明等[3]和孙伟志等[4]对稳定映射芽的分类和相对映射芽的通用形变做了一定的探讨和总结.郭瑞芝等[5-6]对相对稳定映射芽的性质做了一定的研究,讨论了映射芽开折相对稳定的各种定义和结论.石昌梅等[7-8]论述了映射芽开折相对无穷小稳定性相关的概念,得到了开折与相对无穷小稳定的若干等价条件.何伟[9]和岳大川[10]对相对映射芽的有限决定性和稳定性做了简单研究.张国滨、余建明[11]和甘文良[12]对光滑函数芽开折和高余维光滑函数芽的稳定性进行分类,探讨了稳定性和无穷小稳定之间的重要联系.这说明映射芽的稳定性尤其重要,因此,以下主要针对稳定映射芽的分类问题进行研究.

1 预备知识

定义2 设φ∈K,f∈ε0(n,p),则φ·f∈ε0(n,p),依下列公式给出:

(1)

其中,1:(Rn,0)→(Rp,0)为恒同映射芽,则有

φ(graphf)=graphf(φ·f).

(2)

若φ(x,y)=(h(x),φ(x,y)),并且令g=φ·f,则由(1)可得

(3)

式(1)～(3)描述了群K在ε0(n,p)上的作用,式(3)说明集{f∈0}⊂Rn经微分同胚h变换为集{g∈0}⊂Rn,因此graphf与graphh同Rn×{0}有相同的接触.不仅如此,式(2)说明φ将Rn×Rp的n维子流形graphf变换为另一子流形,该子流形是令g=φ·f的图.所以,把群K叫做接触等价群,K·f叫做ε0(n,p)中经过f的接触轨道或K-轨道.属于同一K轨道的二映射芽称为K-等价的.

定义3[1]287C∞映射芽f:(Rn,0)→(Rp,0)是稳定的,则它是无穷小稳定的,反之也成立,即TεA(f)=ε0(n,p),其中TεA(f)表示ε0(n,p)在群A作用下于f处的切空间.

定义4[1]281设C∞映射芽f:(Rn,0)→(Rp,0)属于∑n=r,0

定义6 若f∈ε0(n,p),TA(f)=ε0(n,p),则f为无穷小稳定芽.

定义8 设f:(Rn,0)→(Rp,0)为C∞映射芽.f的符号Boardman定义为理想I(f)的Boardman符号,其中f的分量f1,…,fp生成εn的理想I(f).

定义9 如果二映射芽是K-等价的,则它们具有相同的Boardman符号.

定理1 无穷小稳定映射芽一定是稳定芽.

证明设f∈ε0(n,p)为无穷小稳定芽,则TtA(f0)=ε(n,p).所以f是它自身的万有开折,因此f的任意开折必A-同构于f的常值开折,f是A-稳定的.

2 稳定函数芽的分类

奇点理论的一个基本问题就是光滑函数的稳定性,基本分类定理在稳定映射芽的分类研究中是一个很重要的理论基础, 通常是利用映射芽的稳定开折来论述,所以,稳定映射芽的分类在各种研究中起到非常重要的作用.

2.1 稳定映射芽的几何特征

证明由定理2,Codim∑n-r≤n,即(n-r)(p-r)≤n.

例1 若稳定芽f∈ε0(n,p)的秩r=0,则由上式不等式知,p=1.此时f必为Morse芽.

例2 上式不等式对稳定芽f的秩r给出了较强的限制,如:

1)若n=p=2,则r≥n.

2)若n=p=3或n=p=4,则r≥2.

3)若n=2,p=3则r≥1.

证明由定理3知,F是稳定芽当且仅当

而

其中括号内的所有导数均在点(0,0)∈Rr×Rn取值,又因为

所以

即

结论得证.

2.2 稳定映射芽的判别

由定义4可知,秩为r的映射芽F:(Rn,0)→(Rp,0)可看作是秩为0的映射芽f0:(Rn-r,0)→(Rp-r,0)的r-参数开折,因此F的稳定性能用f0以及F的初始速度具有的性质来进行描述和判别.

定理5 设F:(Rr×Rn,0)→(Rr×Rp,0),(u,x)|→(u,f(u,y))是芽

f0:(Rn,0)→(Rp,0),f(0,x)=f0(x)

的r-参数开折,若F为稳定芽,则满足

证明由定理4 知

TtA(F)=(εu·x)×(r+p).

式中εu·x(及εu·v)表示(Rr×Rn,0)(及(Rr×Rp,0))上的函数芽环.

将(Rr×Rn,0)上的向量场芽X记为

或

即

式中ζ=(ζ1,…,ζr)∈(εu·x)×r,η=(η1,…,ηr)∈(εu·v)×r,X=(X1,…,Xn)∈(εu,x)×n.

对任意Z(εu,x)×r有解(X,Y,η).而集为

M0=M/μn≌(εx)×p/TtA(f0)

例3 设f0:(R2,0)→(R2,0)定义为f0(x,y)=(x2,y2),

TtA(f0)+ε2{h1,h2}=ε(2,2),

F:(R2×R2,0)→(R2×R2,0),

(u,v,x,y)|→(u,v,x2+uy,y2+vx)

是稳定芽.

(i)F是稳定芽,

定理7 设稳定芽F在点0∈Rr×Rn的秩为r,则满足jr+2G=jr+2F的每一芽G都是稳定的.

2.3 基本分类定理

设F,G:(Rr×n,0)→(Rr×p,0)是稳定芽,若F,G在原点的秩不相等,则不是A-等价,因此利用秩可以区分稳定芽.假定稳定芽F,G∈ε0(r+n,r+p)在原点具有相同的秩r≥0,

F(u,x)=(u,f(u,x)),fu(x)=f(u,x),
G(u,x)=(u,g(u,x)),gu(x)=g(u,x).

S(r,n,p)={F:(Rr×Rn,0)→(Rr×Rp,0)为稳定芽,并且rk0F=r}.

对于F∈S(r,n,p),据定理6,由f(0,x)=f0(x)定义的f∈ε0(n,p)满足

或

因此TtK(f0)在ε0(n,p)中的余维数不大于n+r.令ε0(n,p)中的子集

K(r,n,p)={f∈ε0(n,p)|rk0F=r,
dimRε0(n,p)/TK(f0)≤r+n}.

定理8 稳定映射芽F和G是A-等价的,则f0和g0是K-等价的,反之也成立.

该定理表明,对应S(r,n,p)→K(r,n,p),F|→f0,诱导出S(r,n,p)中成员的A-等价类所成之集到K(r,n,p)中成员的K-等价类所成之集的双射.

定理9S(r,n,p)中的每一芽F和它在点0∈Rr+n的(r+2)阶Taylor多项式芽是A-等价的.

定理10 设F,G∈S(r,n,p),若F与G是A-等价的,则实代数Qr+2(F)与Qr+2(G)是同构的,反之也成立.

2.4 稳定映射芽的简单分类

稳定映射芽分类的基本理论说明稳定芽按A-等价分类可相当于映射芽按K-等价进行分类.如果对稳定映射芽的维数及Boardman符号作适当限制,并应用映射芽K-等价的结论,则可以对稳定映射芽分类的结果进行一些简单情形的讨论.

设f:(Rn,0)→(Rp,0)为C∞映射芽,n≤p.若f是非奇异芽因而是浸入芽,则f必属于∑0类,并且明显是稳定芽.

下面研究具有∑1类奇点的稳定芽.

定理11 设n≤p,若F:(Rn,0)→(Rp,0)为属于∑1类的稳定芽,则f必为∑1k,0类奇点,其中整数k合于1≤k≤n/q(q=p-n+1)．进而可得到f必A-等价于芽G:(Rn,0)→(Rp,0),其分量为:

这里u1,…,un-1,x为Rn的坐标.

定理12 设F:(Rn,0)→(Rp,0)为属于∑1类的稳定芽,则它是∑1k,0类奇点(1≤k≤n)．并且A-等价于芽G:(Rn,0)→(Rp,0),分量为

即广义Whitney映射.则当n=2,k=2时便是Whitney尖点映射.

在n≥p的情形下讨论稳定芽(Rn,0)→(Rp,0).首先是非奇异芽,非奇异芽必属于∑n-p类,所以是稳定的,其标准形为投影(x1,…,xn)|→(x1,…,xp).然后讨论具有∑n-p+1类奇点的稳定芽,由稳定芽分类的基本理论推出这样的芽A等价于某一芽f:(Rm,0)→(R,0)的(p-1)-参数开折,这里m=n-p+1.又因为芽f也属于∑n-p+1类并且具有有限K-余维.通过对函数芽分类的讨论,了解到f的余秩c和二阶Boardman符号都依赖于f的2-导网,所以它们之间有一定关系.

定理13 设芽f:(Rn,0)→(Rp,0)是∑m类奇点,若f属于∑m,c类,则f有余秩c,反之也成立.

特别当f的余秩为0或1时,有以下情况.

定理15 设n≥p．若稳定芽F:(Rn,0)→(Rp,0)属于∑n-p+1,0类,则FA-等价于芽G:(Rn,0)→(Rp,0),其分量为:

定理16 设n≥p.如果F:(Rn,0)→(Rp,0)为属于∑n-p+1,1类的稳定芽,那么F必属于∑n-p+1,…,1,0类,其中1重复出现k次,1≤k≤p-1.并且在这一情形下,FA等价于G:(Rn,0)→(Rp,p),定义为:

特别地,上述两个定理在等维数n=p情形下即为定理9,因此对等维数情形,接下来简单介绍属于∑2类的稳定芽.

定理17 设稳定芽F:(Rn,0)→(Rp,0)属于∑2,0类,则它A-等价于下列芽G:(Rn,0)→(Rp,0)之一:

型Ia,b和

这里a+b≤n.

这里2a≤n.

2.5 稳定映射芽的奇点分类

通过先前对稳定映射芽特征、分类的描述,对光滑映射芽稳定性与无穷小稳定性之间关系的讨论,接下来对光滑映射引入稳定性概念,并且简单讨论稳定映射的奇点分类.

定义10C∞映射f:Rn→Rp叫做稳定映射,如果存在f在C∞(Rn,Rp)中的邻域U,使得对任意g∈U,gA-等价于f.

从定义10可知,所有稳定映射在C∞(Rn,Rp)中形成一个开集.所有稳定映射在映射空间C∞(Rn,Rp)中能构成一个稠密子集.

定义11 在映射空间C∞(Rn,Rp)中,所有常态稳定映射组成稠密子集的充要条件是维数对(n,p)满足下列条件之一:

(a)p<7s+8,当s≥4;

(b)p<7s+9,当3≥s≥0;

(c)p<8,当s=-1;

(d)p<6,当s=-2;

(e)p<7,当s≤-3.

其中s=p-n.f:Rn→Rp为常态映射是指f为连续映射,并且对于Rp中的任意紧致子集C,它在f下的原像f-1(C)为Rn中的紧致子集．

定理18 在Boardman意义下,光滑映射的稳定性是通有性质.

定理19 设f:Rn→Rp为稳定映射,则f在任意点x∈Rn的芽都是稳定映射芽．

接下来讨论等维数n=p情形的奇点类型,对稳定映射f:Rn→Rn,由定理15,f必须横截于一阶Boardman子流形∑i.设n≤3,因一阶奇点集∑i(f)的余维数为i2,当i≥2时,∑i(f)=Ø,因此只需考虑属于∑1类的奇点.而在等维数情形下,奇点集∑ik,0(f)具有余维k,所以在k≤n时才不为空.于是由定理15和定理9有以下结论:

定理20 设n≤3,f:Rn→Rp为稳定映射,则

(i)当n=1时,f在任意点的芽等价于下列芽之一:

∑0:y1=x1(正常点),

(ii)当n=2时,f在任意点的芽等价于下列芽之一:

(iii)当n=3时,f在任意点的芽等价于下列芽中的一个:

当n=4时,稳定映射f:R4→R4不仅有∑1类奇点,还有∑2类奇点,但无∑3类奇点(i≥3).现在∑2(f)可分解为∑2,0(f)和∑2,1(f)及∑2,2(f),其余维数分别为4,7和10,因此只能出现∑2,0类奇点.应用定理15和定理9及定理14得到下面的结论:

定理21 设f:R4→R4为稳定映射,则它在任意点的芽等价于下列芽之一:

3 结论

研究光滑映射的奇点的基本几何思想其实类似于函数的情形,但两者也有重要的差别.如在对余维数很小的光滑映射芽进行简单分类时,应限制为具有最低余维数的映射芽,即笔者研究的稳定映射芽.对于函数芽来说,这一概念指的是非奇异芽,并且当考虑位势芽时为Morse芽.然而对一般的映射芽而言,存在许多种稳定芽,因此稳定映射芽的分类有很大难度,需要具体问题具体分析,所以,在今后的研究中需要关注一些具体的稳定映射芽的分类.