基于计算高度修正方法的圆柱螺旋弹簧横向刚度研究

高云锋, 岳柯町, 岳渠德,3

(1.中科泰岳(青岛)轨道交通科技有限公司,山东 青岛 266106;2.苏交科集团股份有限公司,江苏 南京 210018;3.青岛理工大学土木工程学院,山东 青岛 266520)

螺旋弹簧作为通用减(隔)振元件已广泛应用于机械制造、工业设备、船舶、建筑、桥梁、铁路、航空航天等领域。螺旋弹簧天然具有优良的三维隔振性能,随着近年来螺旋弹簧隔振器的广泛应用,其水平方向的隔振性能(与横向刚度有关)也越来越得到人们的关注。螺旋弹簧的横向刚度不仅与几何尺寸(如弹簧有效圈数、弹簧高度、弹簧中径、簧丝直径等)有关,还与垂向载荷、横向载荷及弹簧端部的固定方式等有关,所以要精确确定螺旋弹簧的横向刚度是很困难的。目前计算螺旋弹簧横向刚度的方法有很多[1-4],但基本方法均是基于等截面弹性直杆理论推导的弹簧横向刚度计算公式,用这些方法计算的螺旋弹簧的横向刚度与实测值相差较大,尚不能满足工程应用的需要。因此,本文在标准BSEN13906-1推荐的横向刚度计算公式[3]基础上,通过引入计算高度及其修正条件,提出圆柱螺旋弹簧横向刚度计算的一种比较精确的方法。

1 螺旋弹簧横向刚度理论

螺旋弹簧横向刚度解析公式是基于等截面弹性直杆理论进行推导的,即将弹簧等效为当量等截面悬臂梁,计算模型[1-2]如图1(a)所示。基本假定:①弹簧的上下端面在受力过程中始终保持平行(图1(b)和图1(c)),则弹簧的中间截面处弯矩为零,因此可取1/2弹簧作为研究对象(图1(d)),将所得横向变形乘以2倍即为所求结果。②弹簧底端固定约束,不发生转动。由此建立弹簧变形的微分方程:

图1 螺旋弹簧横向刚度计算模型

(1)

(2)

(3)

(4)

H=H0-S

(5)

(6)

式中:F为垂向载荷;FQ为横向载荷;B为弹簧等效弯曲刚度;J为弹簧等效剪切刚度;R为弹簧垂向刚度;H0为弹簧自由高;S为弹簧垂向变形;SQ为弹簧横向变形;D为弹簧中径;E为弹簧材料弹性模量;G为弹簧材料剪切模量;d为弹簧丝径;n为弹簧有效圈数。

计算模型(图1(d))的边界条件为:x=0时dy/dx=0,同时y(0)=SQ/2;x=H/2时y=0。对式(1)进行积分并代入边界条件,可得弹簧横向变形与载荷之间的关系为:

(7)

进一步地,可得到弹簧的横向刚度表达式为:

(8)

将式(3)和式(4)代入式(2),可得:

(9)

将式(4)和式(9)代入式(8),可得:

(10)

其中:

(11)

(12)

(13)

从式(13)可以看出:通常螺旋弹簧的材料参数(如G、E)是确定的,则螺旋弹簧的横向刚度主要与其垂向刚度、长细比和压缩比有关;而弹簧的长细比和压缩比均与弹簧的高度相关,因此,当采用此公式计算时,弹簧的高度是影响其横向刚度的关键因素。图2显示了螺旋弹簧的横垂向刚度比与其垂向压缩比之间的关系,从图中可以看出:

(1)不同长细比λ的螺旋弹簧,其横垂向刚度比η是变化的,且当λ>2.0时,η随着弹簧垂向压缩比ξ的增大而减小;当λ<2.0时,则相反。特别注意,当λ=2.0时,弹簧的横垂向刚度比变化不大,接近于一个常数(ξ≈0.635),这使得这一附近的弹簧可以被用来设计成横向刚度相对稳定的状态。

(2)从整体上看,横垂向刚度比随着长细比的增大而降低,且当λ≤2.0时,横垂向刚度比随长细比的增加变化较大。长细比越大,表明弹簧越柔,其横向刚度则越小。

进一步地,本文将长细比λ<2.0的弹簧类型称之为ST型(Short-and-Thick type);相反,则称之为LT型(Long-and-Thin type)。

图2 弹簧横垂向刚度比与垂向压缩比关系曲线

2 计算高度的确定及其修正方法

(14)

考虑到螺旋弹簧的曲屈变形长度,给出工程上常见的垂向压缩比及其高度修正系数一般取值,如表1所示。

表1 高度修正系数取值

3 计算方法验证及算例分析

3.1 计算方法验证

3.1.1 验证方法

现选取ST型和LT型这两类在工程上具有代表性的螺旋弹簧,分别采用有限元方法(FEM)和试验方法进行对比分析,相关计算参数如表2所示。

采用通用有限元软件对这两个弹簧建模如图3所示,弹簧上、下两端的限位座简化为刚体,弹簧采用C3D10单元;弹簧自身及弹簧与限位座之间采用“硬接触”,摩擦系数为0.3;加载时,先对弹簧上端的限位座施加垂向位移载荷,再施加水平位移载荷,其中:ST01弹簧垂向加载7 mm,水平向加载3.5 mm;LT01弹簧垂向加载15 mm,水平向加载15 mm。

表2 螺旋弹簧计算参数

图3 弹簧有限元计算模型

采用的试验加载装置如图4所示,在弹簧顶端施加垂向位移载荷,并在试验过程中保持弹簧的垂向位移不变;弹簧底端通过水平作动器施加带有滑轨的支承底座水平位移载荷,加载工况与有限元计算加载工况相同。注意,在测试LT01弹簧时,为安全起见,采用4个LT01弹簧并联的方式进行测试,并将测试结果除以4,得到最终试验结果。

3.1.2 结果分析

对ST01弹簧和LT01弹簧分别采用解析公式方法和有限元方法进行计算,计算结果如表3 所示。

图4 弹簧横向刚度试验

从表3可以看出:

(1)FEM方法计算准确度优于解析公式法,同时,计算高度修正方法优于未经修正的解析公式方法。从工程应用角度出发,采用经高度修正后的解析公式方法,其计算精度已可满足工程需要,且其计算速度要优于FEM方法。

相比LT01螺旋弹簧,利用公式(13)方法计算的ST01弹簧的横向刚度大很多,偏差高达66.9%。这是由于对ST型螺旋弹簧而言,更像是一个“短柱”而非“悬臂梁”,抗剪和抗弯刚度均较大,与公式(13)的基本原理假定存在较大的偏差导致的。

3.2 算例分析

文献[5]提供了4组螺旋弹簧,其几何参数、横向刚度试验结果如表4所示,根据长细比分类,可知该4组弹簧均属LT型。分别采用文献[5]提供的计算方法、公式(13)方法、修正后的公式(13)方法计算各弹簧的横向刚度值及其偏差如表5所示。

从表5可以看出,螺旋弹簧在较小垂向压缩比(3#:ξ=14.1%,4#:ξ=10.2%)时,采用公式(13)方法计算较为精确,而在较大垂向压缩比(1#:ξ=21.4%,2#:ξ=21.7%)时,计算精度较差;文献[5]推荐方法的计算精度则相反。采用本文推荐的修正公式(13)方法时,可以在较宽垂向压缩比范围内具有较高的精度,最大偏差不超过15%,可满足工程理论分析的要求。

表3 弹簧横向刚度计算及测试结果

表4 弹簧几何参数及试验结果

表5 横向刚度计算结果及偏差

4 横向刚度的垂向压缩比相关性

由前分析可知,针对某一具体的螺旋弹簧(垂向刚度为常量),其横向刚度RQ尚与垂向压缩比ξ有关,并非是一个常量。以LT01弹簧为例,对其分别在垂向位移10 mm (ξ=3.4%)、15 mm (ξ=5.1%)、20 mm (ξ=6.8%)、25 mm (ξ=8.5%)、30 mm (ξ=10.2%)和35 mm (ξ=11.9%)下,测试其横向刚度,并与采用修正公式(13)方法的理论计算值进行比较,如图5所示。

图5 横向刚度RQ的垂向压缩比ξ的相关性曲线

从图5可知,随着垂向压缩比的增大,该型弹簧的横向刚度有微幅下降的趋势,理论预测与试验基本相同,且计算值与试验值较为接近,最大偏差为15.6% (ξ=8.5%时),可以满足工程应用的需要。因此,采用修正后的公式(13)方法可有效预测螺旋弹簧横向刚度的垂向压缩比相关性。

5 结论

(1)螺旋弹簧在长细比λ>2.0时,其横垂向刚度比随着垂向压缩比的增大而减小;反之,则得到相反的结论。当λ=2.0时,其横垂向刚度比可以得到一个相对比较稳定的数值,此时,若针对某具体弹簧,其横向刚度值则接近于一个常量,即使得横垂向刚度比ξ≈0.635。

(2)对于ST型螺旋弹簧,其受力特点与横向刚度理论的基本假定(等效等截面悬臂梁)差异较大,这导致其理论计算值与试验值差别较大,在具体工程应用时应当引起足够的重视。

(3)弹簧的计算高度对其横向刚度的计算值影响较大,通过引入计算高度并给出其在不同压缩比下的修正系数,采用有限元仿真计算和试验验证,表明该修正方法的理论计算具有较高的计算精度,最大偏差不超过15%,可满足实际工程的需要。