基于不动点映射的多微网与配电网主从博弈定价策略及均衡求解方法

郝元钊,吴豫,苗福丰,刘一欣

(1.国网河南省电力公司,郑州 450052; 2.天津大学 智能电网教育部重点实验室,天津 300072)

0 引 言

微电网作为新型电力系统的重要组成部分,在促进分布式能源就近消纳、提高系统运行可靠性和经济性等方面发挥重要作用[1-3]。与此同时,随着电力市场机制的不断完善,未来微电网将作为新兴的市场主体,广泛参与到配电侧电力市场的竞争中。因此,建立含多微网的配电侧市场机制已成为未来新型电力系统的一大发展趋势[4]。

针对该背景,许多研究开始关注微电网与配电网的联合优化问题。文献[5]针对含多微网的主动配电网优化运行问题进行建模和分析,采用双层决策模型描述主动配电网与微电网的互动作用。文献[6]引入基于交替方向乘子法的微网群双层分布式调度方法,并验证了所提方法能够在电网和微电网联合运行过程中起到保护微网群数据隐私的作用。文献[7]提出基于模型预测控制的微电网多目标协调优化方法,并验证了所提控制策略能够在微电网日内调度中快速平抑能源和负荷的波动,降低对配电网的影响。文献[8]提出考虑微电网灵活性的配电网络规划方法,建立微电网与配电网的联合优化模型,并采用遗传算法求解复杂非线性规划问题。

然而,现实中微电网往往以独立主体的形式存在,通过市场机制与配电网建立联系,故上述联合运行的模式并不适用。为此,有必要引入博弈论的思想[9-10],讨论含多微网的配电系统定价策略。文献[11]研究多微网与负荷聚合商之间的博弈问题,提出迭代机制求解双方的最优策略,实现微网群整体的经济性。文献[12]引入微网群运营商的概念来管理不同微电网的运行和能量交易策略,并建立不同运营商之间的博弈模型。然而,上述文献均基于微网群接入配电网相同节点的假设,所研究的方法仅适用于多微网彼此相邻的情形;而实际工程中,微电网较多分布在电网的不同节点。近年来,有文献开始考虑微电网接入多个配电网节点的情形,分析微电网对配电网潮流约束的影响,以确保电力交易策略的可行性。例如,文献[13]考虑了配电网潮流约束,提出多微网集中式交易定价策略;文献[14]对配电侧多微网交易机制展开研究,采用双层框架描述其动态博弈问题。然而,上述研究均以智能算法来解决多主体博弈问题,可能导致陷入局部最优解。此外,电力市场中常常采用边际电价作为交易的重要信息,其等价于电力有功平衡约束的对偶变量。为了获得准确的电价信息,需研究网络潮流优化问题的对偶模型。然而,配电网潮流问题通常属于非线性规划问题,通过其对偶变量获取节点边际电价的过程较为复杂,故当前与微电网博弈相关的多主体博弈均衡收敛问题鲜有讨论。

为此,文章引入不动点定理对多微网与配电网的协同定价策略展开研究。首先,建立含多微网的配电网二阶锥最优潮流模型,并推导得到二阶锥规划问题的对偶模型,进而得到配电网节点边际电价。其次,建立含储能、分布式光伏和弹性负荷的微网群优化模型,并提出受价格引导的需求响应模型。最后,基于不动点理论描述含多微网的配电系统定价策略,在此基础上提出基于外推改进的最佳响应算法求解系统的均衡状态,并利用压缩映射定理证明所提算法的收敛性。

1 配电网与多微网的主从博弈关系

在市场环境下,微电网根据所接入配电网公布的交易价格进行需求决策,而配电网则根据微网群上报的策略进行定价决策,该价格-需求闭环本质上构成了Stackelberg博弈问题,其整体框架如图1所示。具体而言,配电网为博弈中的领导者,其根据当前用电需求情况制定电价策略,并传递给微网群;考虑市场中具有M个微电网,共同作为博弈中的跟随者,依照交易价格进行各自的优化运行决策,并将交易策略调整反馈给上级配电网。需指出,为聚焦配电网与微电网之间的互动关系,文中未考虑微电网之间的互动。

图1 配电网与多微网的主从博弈关系

2 配电网优化运行建模

配电网作为博弈的领导者,其主要目标是优化运行成本,同时制定交易价格。考虑辐射状配电网络,采用如下distflow模型对其进行建模:

(1)

(2)

∀mn∈L,∀n∈N,∀t∈T(μn,t)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

上述模型中,目标函数包含了发电机运行成本、上级电网购电成本以及负荷削减惩罚费用。约束条件中,式(2)～(3)为节点潮流平衡约束,式(4)为线路电压降等式约束,式(5)为功率等式对应的二阶锥松弛约束,式(6)～(7)为平衡节点功率平衡约束,式(8)～(9)为线路电流和节点电压幅值约束,式(10)定义了平衡节点的电压幅值,式(11)～(12)为线路功率限制约束,式(13)～(14)为发电机有功和无功出力约束,式(15)～(16)定义线路功率的范围。

(17)

上述变换将模型由二次规划问题转换为二阶锥规划问题。根据凸优化理论,该变换不引入松弛,属于紧的[9]。特别地,本文采用节点边际电价(locational marginal price,LMP)作为售电价格。根据电力市场相关知识可知,LMP等价于有功功率平衡约束的拉格朗日乘子[15],即λn,t。

3 含储能及弹性需求的微电网群建模

微电网群作为跟随者,根据配电网给定的价格进行独立优化。本文考虑微电网由燃气轮机、光伏发电单元、储能单元及弹性负荷组成。假设配电网中接入M个微电网,对于任意微电网i(i=1,2,…,M),其优化运行模型可表示如下:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Emin≤Ei,t≤Emax, ∀i∈NMG

(25)

微电网运行的目标函数中包含向上级电网的购电成本、燃气机组发电成本、储能充放电成本以及光伏削减惩罚费用。值得注意的是,目标函数中包含了节点电价变量λi,t,需由配电网给定。可行域中,约束式(19)为微电网i的功率平衡约束;约束式(20)限制了光伏输出功率范围;式(21)定义了燃气机组发电功率的范围;式(22)～(23)为储能单元的充放电功率约束,式(24)定义了储能电量时序约束,式(25)定义了储能荷电状态的限制范围。

图2 微网弹性需求模型

(26)

4 多微网系统定价策略及求解方法

4.1 定价策略的不动点映射描述

图3描述了LMP与微电网的互动关系,配电网通过定价策略影响用电情况,而微电网的交易计划也会反作用于电价策略,构成一个有向闭环调节。

图3 双层博弈框架

为此,本文引入不动点映射来描述上述过程:首先,电价到需求的映射可表示为:

(27)

(28)

{λi,t}=MB[MA({λi,t})]

(29)

综上,本文研究的定价策略可描述为上述不动点映射问题。根据文献[16],由式(26)定义的弹性需求为有界闭区间,且电价到需求的映射为连续,当需求到电价的映射亦满足连续性假设时,则主从博弈最终将达到均衡状态。有关不动点存在性分析见文献[15-17],限于篇幅不再赘述。

4.2 含二阶锥约束的配电市场出清价格计算方法

在图3所示的双层主从博弈框架中,配电网需根据响应情况对所有微电网接入节点制定价格策略。由第2节所建立的最优潮流模型为二阶锥规划问题,获得边际价格需要求解原二阶锥优化的对偶模型,具有一定复杂性。为此,本文给出配电网优化问题的对偶问题如下:

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

当求解上层配电网主导者的定价策略时,需由下层微网群跟随者给定需求策略后进行对偶并求解。观察上述表达式可知,配电网distflow模型的对偶模型仍是二阶锥凸优化模型,采用mosek等商业求解器等可直接有效进行求解,即获得电网的边际电价。研究表明,当且仅当配电网二阶锥问题(1)～(16)满足强对偶性质,方能通过求解上述对偶模型获得准确的LMP电价。需指出,本文所建立的模型符合文献[18]中引理1所要求的基本条件;根据文中定理可知,本文模型满足二阶锥的强对偶性质,故可通过求解如上对偶问题获得准确的边际电价成本。

4.3 主从博弈均衡状态的求解方法

本节介绍求解配电网与微网群主从博弈均衡的改进最佳响应方法。为了方便算法描述,首先定义如下变量的向量形式为:

λ={λi,t,∀i∈NMG,∀t∈T}

(44)

(45)

(46)

所提改进最佳响应算法的具体步骤如下所示:

1)步骤一:设置不动点迭代次数k=0和收敛允许误差ξ。在可行域内给定一组配电网的价格变量初值λ0并开始算法迭代;

4)步骤四:判断如下收敛性条件:

①若上述条件满足则算法迭代终止,得到主从博弈的均衡解并输出;

②若上述条件不满足,则引入外推技术对当前迭代的价格变量进行更新:

λ(k+1)←τ(k)·λ(k)+(1-τ(k))·λ(k+1)

并令k=k+1,返回步骤二,迭代直至算法收敛。

需要说明的是,与常规最佳响应算法相比,所提改进算法增加了步骤四中的外推更新技术。根据文献[19],上述策略能够促进算法收敛,且当问题满足压缩映射时,算法具有强收敛性。为了说明所提算法的收敛性,首先给出压缩映射定理。

1)定理1:当映射函数F(x)在其可行域内连续且可微,且其一阶导数满足|F′(x)|<1,则F(x)属于压缩映射。

2)证明:对于任意可行域内x1和x2,x1≠x2,由微分中值定理可知,存在ψ0使得:

|F(x1)-F(x2)|=|F′(ψ0)(x1-x2)|<

1·|x1-x2|

(47)

因此,F(x)属于压缩映射函数。

(48)

则所提算法具有收敛性。不失一般性,假设负荷的增量完全由发电机所承担[16],则根据边际节点电价的定义,其等价于该节点单位负荷增加所引起的电源边际成本增加量,具体如下:

(49)

因此,映射关系MA的偏导为:

(50)

由式(26)易知,映射关系MB的导数为:

(51)

5 算例分析

5.1 测试系统参数设置

仿真采用改进的IEEE-33节点配电网进行测试[20],其拓扑如图4所示。

图4 含多微网的改进IEEE-33节点配电系统

配电网中负荷预测系数如图5所示,微电网中光伏出力和弹性需求基准值分别如图6和图7所示。算法参数中,迭代允许误差设置为ξ=10-5。根据文献[19],算法外推步中更新系数取值应随迭代次数增加而递减,故本文取τ(k)=1/(1+k)0.8。

图5 配电网负荷系数预测

图6 微电网中光伏出力预测值

5.2 测试结果分析

为验证所提算法的优越性,对比常规最佳响应算法和本文所提改进最佳响应算法求解同一博弈问题的性能。为方便对比,首先定义每次迭代的最大误差系数:

图8给出使用常规最佳响应算法和改进最佳响应算法求解相同博弈问题的最大误差迭代曲线。如图8所示,在相同允许误差的前提下,改进最佳响应算法仅经历7次迭代即可收敛,算法的求解时间为105.936 s;而使用常规最佳响应算法求解相同问题则需11次迭代,算法总计算时间为146.220 s。上述结果表明,所提出改进最佳响应算法针对本例具有更高的求解效率。

为了说明迭代过程中关键信息变量的变化情况,图9以微电网2、3和4为例,分别给出在时刻t=6、t=12和t=18时弹性负荷随迭代的动态变化过程。由图9可知,随着迭代次数的增加,弹性负荷快速进行调整,微电网在不同时刻的需求曲线均经历5次迭代以后逐渐趋向平稳,最终经历7次迭代后达到博弈均衡状态。

图9 需求响应迭代过程

作为对照,图10给出对应时刻微电网2、3和4节点边际电价随迭代的变化曲线。显然,节点电价同样经历几次迭代后快速趋于平稳直至收敛,也说明了算法求解的有效性。通过对比图9和图10还可以发现,相同微电网节点的需求响应负荷与节点边际电价随着迭代大致呈现相反的变化趋势,经历几次博弈后最终两者均不再变化(达到博弈均衡状态),符合配电网与微电网的主从博弈过程。

图10 边际电价迭代过程

为进一步分析主从博弈的均衡状态,以微电网3为例给出节点22的电价和需求分布,具体如图11所示。

图11 均衡状态下节点边际电价与需求分布(微网3)

需指出,图11中左侧纵轴为弹性负荷和微电网购电功率的坐标值范围,右侧纵轴为节点边际价格的坐标值范围。根据图11中均衡状态下的结果可知:1)在1—6及18—24时段,由于微电网光伏就地供应能力不足,微电网需从配电网购电,故传输功率为正,节点电价处于较高水平;2)在7—17时段,微电网光伏出力充足,向配电网输送电能,故传输功率为负,节点电价相对而言较低;3)由弹性负荷的分布曲线可知,其在1—6及18—24时段较低,在7—17时段处于较高水平,即在均衡状态下与电价的趋势相反。此外,弹性负荷随电价的变化受到弹性函数斜率影响,图11中变化的最大幅度约为0.1 MW,基本符合实际情况。

最后,表1中给出配电网和微网群主体的成本变化规律,其中微电网2和3向配电网售电产生收益,故运行成本为负数。表1中结果表明,随着迭代次数的增加,各个主体的成本不断增加(或收益不断减少),当迭代次数为5之后成本变化不显著,直至迭代7次后达到博弈均衡状态。该结果同时也表明,主从博弈过程使得各主体成本增加,故达到的均衡状态并非全局最优解,而是各主体博弈的稳定状态。

表1 配电网与微电网均衡状态运行成本

6 结束语

本文提出了配电网与多微网主从博弈均衡状态的双层框架和求解算法。配电网作为上层领导者,根据微电网响应制定节点边际电价;微电网作为下层跟随者,根据电价信息调整自身交易方案,最终构成主从博弈问题。为了求解所提主从博弈的均衡状态,本文提出了改进最佳响应算法。仿真算例表明所提算法相比于常规算法具有更快的收敛速率,在达到相同精度前提下,所需迭代次数和计算时间更短。此外,本文方法所求得的解满足主从博弈的均衡状态,符合实际博弈结果,验证了方法的有效性。

此外,微电网与微电网之间的互动使得多主体博弈模型更加复杂,相关博弈均衡机理和收敛性证明值得继续深入开展研究。