100MHz光子数可分辨探测器量子层析标定

单晓 龙耀强 武文 梁焰

摘要：设计了基于雪崩光电二极管的光子数可分辨单光子探测器，采用短脉冲门控信号结合电容平衡噪声抑制方案实现了单通道100 MHz、探测效率40.5%的高性能探测，配合空间分束，有效分辨入射光子数目。为了更完整地描述探测器的量子特征，引入量子探测器层析技术，由单通道单光子探测器入手，到双通道光子数可分辨探测器，进行了量子层析标定，重新构建了其正值算符测度矩阵以及对应的 Wigner 函数。结果表明，双通道100 MHz光子数可分辨探测器可实现量子探测。

关键词：电容平衡；光子数可分辨探测；量子探测器层析；正值算符测度矩阵；Wigner 函数中图分类号： TN 215 文献标志码： A

Quantum tomography calibration of 100 MHz photon-number-resolving detector

SHAN Xiao，LONG Yaoqiang，WU Wen，LIANG Yan

（School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： In this paper， we designed a photon-number-resolving single-photon detector based on an avalanche photodiode， which used a short-pulse gated signal combining with a capacitive balanced noise suppression scheme to achieve a single-channel high-performance detection of 100 MHz with a detection efficiency of 40.5%， and effectively resolved the number of incident photons with spatial beam splitting. In order to more completely describe the quantum characteristics of the detector， we introduced the quantum detector tomography technology， starting from the single-channel single-photon detector to the dual-channel photon-number-resolving detector， performed quantum tomography calibration， reconstructed its positive-operator-valued measure matrix and the corresponding Wigner function， and established the corresponding theoretical model. The results show that the dual-channel 100 MHz photon-number-resolving detector can achieve quantum detection.

Keywords： capacitance balancing ； photon-number-resolving detection ； quantum detector tomography；positive-operator-valued measure matrix；Wigner function

引 言

傳统的单光子探测器是开关型单光子探测器，输出结果只有0和1，无法从这类探测器的输出中获得具体的光子数信息。近年来，光子数可分辨探测器（photon-number-resolving detector， PNRD）[1]因其可以探测光子数量信息，被应用于激光雷达[2]、量子成像[3]、超分辨率[4]等多个领域。迄今为止，高性能光子数可分辨探测技术包括基于光电倍增管（photomultiplier tube， PMT）阵列[5]的 PNRD，超导相变边缘传感器 （superconducting transition-edge sensor， TES）[6]，超导纳米线单光子探测器（superconducting nanowire single-photon detector， SNSPD）[7]，量子点场效应管（quantum dot field effect transistor， QDFET）[8]，基于雪崩光电二极管（ avalanche photodiode， APD）阵列[9]的 PNRD。基于 PMT 阵列的 PNRD 常使用多个 PMT 并联的形式实现 PNR 探测，但由于 PMT 需要上千伏的偏置电压，稳定性和实用性低，限制了其应用。 TES 利用超导薄膜吸收光子后的温度变化实现单光子探测，由输出信号的幅度与吸收的光子数成比例实现 PNR 探测，但是该探测器的工作速率不高，热效应导致时间抖动相对较大，并且需要0 K 左右的工作环境，限制了其应用。 SNSPD 利用超导材料吸收光子后电阻率的变化实现单光子探测，通过多个超导纳米线并联输出实现 PNR 探测。但是超导纳米线的工艺要求非常高，同时也需要苛刻的温度条件，不利于集成和便携。 QDFET 利用低温环境下半导体材料的量子点捕获光子信号产生载流子而产生的电导率变化不同实现 PNR 探测，需要4 K 左右的低温环境，实用性不高。基于 APD 的 PNRD 具有体积小、易集成、功耗低、探测效率高、暗计数低、时间抖动低等特点，越来越多地集成在应用系统中。 InGaAs/InP APD可以响应近红外波段的单光子，通常工作在门控盖革模式下[10]，只有光子到来时才开启探测，这样可以有效降低暗计数和后脉冲概率。由于 APD 具有电容特性，门控信号经过 APD 以及雪崩信号的提取电阻会产生尖峰噪声。为了抑制尖峰噪声，采用了短脉冲门控信号结合电容平衡噪声抑制方案，尖峰噪声抑制比为12.3 dB，信噪比为14.6 dB，实现了单通道100 MHz 、40.5%探测效率的高性能探测，暗计数率在探测效率10.3%时仅有2：4×10?7/门。通过空间复用形成双通道 PNRD 能够有效分辨入射光子数目。为了更完整地表征 PNRD，在测试单光子探测器传统性能参数的基础上，引入量子探测器层析（quantum detector tomography， QDT）[11]技术对单个100 MHz单光子探测器以及 PNRD 进行标定，重构了相应的正值算符测度（positive-operator-valued measure， POVM）矩阵和 Wigner函数，与建立的 POVM 理论模型相互验证，充分表征了探测器的量子特征。

1 100 MHz 单光子探测器探测方案

1.1 100 MHz 单光子探测器探测原理

APD 两端反向偏压加至雪崩电压之上，APD 处于盖革模式，利用其在盖革模式下的高增益输出来探测单光子信号。选择门控方案，将短脉冲门控信号叠加到反向偏压上，利用门控信号的高低电平分别进行探测和雪崩淬灭。通过调节光和门的延时，门控信号准确探测目标光子信号，该方式误计数低，并且可以提升探测器的工作速率。APD 的容性特征会引入尖峰噪声淹没微弱的雪崩信号。目前，门控方案下常用的尖峰噪声抑制方案有带通滤波、低通滤波、自差分平衡、等效电容平衡等方法[12]。本实验选择等效电容平衡法，使用与 APD 结电容相似的等效电容模拟 APD 产生的尖峰噪声，反相后进行差分抑制。常用二极管、可调电容、APD 作为等效电容，考虑到 APD 成本高昂，可调电容在特性上与 APD 存在差异，最终采用 PIN 管来模拟APD 的结电容从而实现差分抑制尖峰噪声，通过改变 PIN 管两端的直流偏置可以调整其等效电容，最大程度地模拟 APD 的容性特征。如图1所示， APD 的型号为 GD5522-SM-FC/UPC（中国电子科技集团公司四十四研究所），制冷温度为?50℃。门控信号频率为100 MHz，脉宽为1 ns ，经 APD 以及提取电阻 R2在 a 点产生尖峰噪声，将 PIN 与 APD并联，滑动变阻器 R2调节 PIN 两端的偏置电压，经提取电阻 R3在 b 点产生与 APD 相似的尖峰噪声， a 接 MTNT同相输入端， b 接其反相输入端，在 MTNT 的输出端 c 点得到差分抑制后的尖峰噪声以及 APD 的雪崩信号。由于 APD 的雪崩信号幅度较小，在c 點后加入了一个放大器 AMP，可以将信号放大10倍。在 d 点测得放大之后的尖峰噪声及雪崩信号如图2所示：图2（a）为 a 点放大后的尖峰噪声，幅度为192.8 mV；图2（b）为 PIN反相放大后的尖峰噪声，幅度为191.9 mV；图2（c）为放大抑制后的尖峰噪声，幅度为46.6 mV；图2（d）为放大后的雪崩信号，幅度为251.1 mV。尖峰噪声抑制比为12.3 dB，信噪比为14.6 dB，该方案很好地抑制了 APD 产生的尖峰噪声。

1.2 100 MHz 单光子探测器的性能参数测试

本实验中，基于后文研究的 POVM 理论模型主要对单光子探测器的探测效率、暗计数率、后脉冲概率进行测量。探测效率指的是探测器响应光子的概率[13]。实验中，使用的门控信号频率为100 MHz，将重复频率为10 MHz的1550 nm 皮秒激光器输出功率衰减到单光子级别，在一定直流偏置电压下，测得探测器开光时的计数率 Pphoton和关光时的计数率 Pdark ，则探测效率η可表示为

式中：μ为平均入射光子数；flaser为激光器重复频率。暗计数率为探测器关光时计数率与门控信号重复频率的比值。后脉冲计数是 APD 材料的晶格缺陷导致捕获的载流子在盖革模式下也会触发雪崩产生的误计数，使测得的光计数高于实际值。后脉冲概率 PA定义为光子计数后的总后脉冲计数与光子计数的比值，可表示为

式中： Cno一photon 为探测门内没有光子入射时的每门计数率；C photon为探测门内有光子入射时的每门计数率； C dark为没有光子入射时的每门暗计数率；flaser 为激光器重复频率；fgate 为门控信号重复频率。

调节加载在 APD1上的偏置电压，测得探测器不同工作点的各参数情况，如表1所示，随着探测效率不断升高，暗计数率与后脉冲概率也在逐渐增加，但暗计数仍处于百赫兹量级。在探测效率小于20%时，后脉冲概率增加较小，均小于5%，在探测效率为30%～40%时，增加较快，由42.2%升高至78.5%。APD 在盖革模式时，由于内部的材料生长缺陷等原因，入射光子在倍增区产生的大量电子空穴对在外加电场的作用下高速移动，一些载流子被缺陷捕获。雪崩抑制之后，被捕获的载流子被释放出来，并且在电场的作用下会再次触发雪崩产生后脉冲。随着偏压的增加，光生载流子无规则移动碰撞越激烈，产生更多的载流子，因此缺陷捕获的载流子的数量也随之增加，导致后脉冲计数也不断增加，后脉冲概率非线性增长。我们还测试了 PNRD 中APD2的性能参数，在高压63.64 V时，探测效率为10.2%，暗计数率为1：6x 10一7/门。

2 量子探测器层析

2.1 量子探测器层析原理

目前，量子探测器的特征主要通过探测效率、暗计数、后脉冲概率等参数来进行描述。虽然这些参数可以有效描述量子探测器的主要特征，但是如果想要全面表征一台量子探测器，这些参数还远远不够。 QDT 可以全面表征探测器，为表征量子探测器提供了新的方案。如图3所示，可以把一台探测器看作一个“黑盒”，通过准备好的入射态密度矩阵ρ ， 以及测得的探测器对应所有入射态的输出结果的输出计数并计算相应的概率分布，可以推算出探测器的 POVM矩阵。 POVM 矩阵将输入信号的量子态信息与探测器的经典输出联系起来。根据波恩定则，量子探测器输出结果 z 的概率 Pz 可以表示为[14]

式中：ρ为入射态密度矩阵； z 代表探测器输出结果有 z 种， z 为量子探测器的 POVM 矩阵。POVM 矩阵满足： Σz z =1， z ≥0。

2.2 开关型单光子探测器 POVM 理论模型建立

本文使用的单光子探测器属于开关型单光子探测器，为了研究探测器传统性能参数与基于QDT 重构的 POVM 矩阵表征探测器的区别，建立开关型单光子探测器 POVM 理论模型。由于理想型开关型单光子探测器探测效率为100%，暗噪声、后脉冲、时间抖动等参数都为零，则相应的 POVM 矩阵可表示为 off =|0〉〈0|， on =|1〉〈1|。当 n个光子输入时，只考虑探测效率η的单光子探测器对应 POVM 矩阵可以表示为

除了探测效率之外，单光子探测器还受暗计数的影响，假设暗计数符合泊松分布。ν表示每脉冲平均暗计数，所以探测器探测到 a个暗计数的概率为 e-ν [15]。则考虑探测效率和暗计数的开关型单光子探测器 POVM 矩阵可以表示为

为了简化计算过程， POVM 理论模型不考虑后脉冲概率的影响。

2.3 双通道光子数可分辨探测器的 POVM 理论模型建立

本文使用的双通道 PNRD 由 APD1和 APD2空间复用组成，如图4所示，每个探测器之前放置1∶1分束器。基于上述所提的开关型单光子探测器 POVM 理论模型，双通道 PNRD 的 POVM 矩阵通式为 0=∑0θ0;n|n〉〈n|， 1=∑1θ1;n|n〉〈n|， 2=1- 0- 1。假设 APD1和 APD2具有完全相同的探测效率η和暗计数率 v ，总探测效率仍是η ， 总的暗计数率为两个单光子探测器之和，为2v 。若 APD1和 APD2均不响应，那么 PNRD输出为0，对应的 POVM 矩阵为

由于每个探测器前面加了1∶1分束器，每个探测器探测效率为η ， 暗计数率为 v ，则任意一台探测器输出为0的概率为 e-v （1-η）n 。当只有 APD1或 APD2响应时， PNRD 输出为1，对应的 POVM 矩阵为

当两个探测器同时响应时，即 PNRD 输出为2时，则利用 POVM 矩阵的完备性，有 2=1- 0- 1。

2.4 Wigner 函数

在得到 POVM 矩阵的基础上，引入 Wigner函数，深入研究探测器的量子特性。 Wigner 函数是一种动量与位置的联合测量准概率分布，原点函数值为负值表示探测器具备量子特性[16]。对应于探测器 POVM 矩阵以表示为

式中： M 是截止光子数； Wn（x; p）是每个光子数态对应的 Wigner 函数，表示为

式中 Ln（p2+ x2）是拉盖尔多项式。对于相位无关的量子探测器， Wigner 函数围绕原点旋转对称。因此，基于开关型单光子探测器 POVM 理论模型的 Wigner 函数可以表示为

3 100 MHz 单光子探测器量子层析标定

图5是100 MHz 单光子探测器量子层析标定实验装置图，激光源为1550 nm脉冲激光器，Atten1为可调光纤衰减器，Atten2为固定光纤衰减器，BP 为1∶ 1光束分束器，在 APD1探测 效率为10.3%时进行标定。使用1550 nm 皮秒脉冲激光器作为光源，激光重复频率设置为10 MHz。通过可调光衰减器 Atten1，从0.1到60连续调节入射光每脉冲平均光子数μ。为了监测入射到探测器的激光功率，在 Atten1后面加入了一个1∶1光分束器，一端连到功率计，用于实时监控和记录激光功率；另一端通过一个50 dB 的固定衰减器 Atten2，将光衰减到单光子量级入射。

图6（a）中圆圈为层析扫描实验数据点，实线和虚线分别为 QDT 拟合和理论模型 POVM 拟合概率分布，横坐标指的是探测器的入射平均光子数，纵坐标指的是探测器在对应入射平均光子数下的输出结果（有 on 或者无 off）概率。在图中，可以看到探测器的入射平均光子数μ低于10时，探测器输出结果概率与平均入射光子数呈线性关系，而后继续增大平均入射光子数时，探测效率有所下降，探测器探测到光子的概率增长变慢，直至探测器达到饱和，并且基于理论模型 POVM 拟合的概率分布和 QDT 拟合的概率分布几乎重合。由于实际的探测器还受到后脉冲的影响，入射平均光子数μ高于10后，单光子探测器基于理论模型探测到光子的概率会略高于实际探测到光子的概率，由于该工作点APD1后脉冲概率只有0.7%，所以两者相差不大。由上述实验获得的层析扫描实验数据，基于最大似然估计的方法，将式（3）进行线性反演，编写 MATLAB 重构 POVM 矩阵的程序，得到探测器重构的 POVM 矩阵。图6（b）所示为光子数态0～25时 off 、 on 的概率分布，横坐标指的是光子数态，纵坐标指的是探测器在对应光子数态下的输出结果概率。随着光子数的增加， 率越来越高直至饱和光子数时概率为1，概率越来越低最后变为0。

为了研究重构的 POVM 矩阵与理论模型的POVM 矩阵的区别，将该工作点探测器10.3%的探测效率和2：4×10?7/門的暗计数率，代入式（6）和式（7），计算出该探测器基于理论模型的POVM 矩阵，并将两者进行对比，如图7（a）、（b）所示。部分光子数态时两者的 off 、 on 的概率分布，走势相同并且概率接近，表明使用传统性能参数描述探测器是可靠的，使用 QDT 更加全面表征了探测器。为了从量子力学的角度研究探测器的量子特性，将重构的 POVM 矩阵代入 Wigner 函数，图7（ c），（ d）分别为基于QDT 重构的 POVM 矩阵对应的 Wigner函数三维图和截面图，横坐标 x 和 p 分别是 Wigner 函数中的位置和动量变量，纵坐标指的是 Wigner 函数值。 Won 在坐标原点处的函数值为?0.35263，这标志着该探测器在此工作点上是真正的量子探测器。

为了研究不同探测效率下探测器的量子特性，对 APD1不同工作点都进行了 QDT 扫描，各工作点的性能参数如表2所示。随着探测效率增加，暗计数增加较少，处于百赫兹量级，后脉冲概率由0.7%增加到78.5%，基于 QDT 重构的 POVM 矩阵构成的 Won 在原点函数值均为负值，并且逐渐减小，表明探测器在40.5%探测效率时仍具有量子特性。

4 100 MHz 光子数可分辨探测器量子层析标定

在单光子探测器量子层析标定的基础上，进一步对空间复用型双通道 PNRD 进行量子层析标定。如图8所示，激光源为1550 nm脉冲激光器，Atten1为可调光纤衰减器，Atten2为固定光纤衰减器， BP 为光分束器， SC 为信号合束器， OSC 为数字示波器，实验中使用的 PNRD由性能接近的 APD1和 APD2空间复用组成，工作速率为100 MHz，依然使用1550 nm皮秒激光器作为光源。与前面不同的是，在固定衰减器 Atten2后又加了一个1∶1光分束器将光子平均分给两个单光子探测器。标定 APD1探测效率为10.3%，暗计数率为2：4×10?7/门，APD2探测效率为10.2%，暗计数率为1：6×10?7/门，则PNRD 总探测效率约为10%，总暗计数率为4：0×10?7/门。

APD1和 APD2空间合束后接入数字示波器，在1 s 内计数出现两个光子峰，记录合束计数 tall 。由于激光器重复频率为 10 MHz，则PNRD 能探测到的饱和计数為10 MHz。调节比较电平使其出现一个光子峰，记录为2光子输出计数 t2，则对应输入平均光子数μ的 PNRD 输出结果概率分别为 P2（μ）= ×100*， P1（μ）=层析扫描输出结果概率分布如图9（a）所示，圆圈代表 PNRD层析扫描实验数据点，实线和虚线分别为 QDT 拟合和理论模型 POVM 拟合概率分布，两者达到了高度吻合。随着平均入射光子数的增加，PNRD 探测到多光子的概率增加。在平均入射光子数约为13时，输出1光子的概率增加至最高；随着入射光子数继续增加，输出1光子概率降低，输出2光子的概率越来越高直至探测器饱和时为1，输出0光子的概率逐渐减少到0。

利用层析扫描的实验数据，以及对应的输入量子态集合，我们进行 QDT 重构了 PNRD 的 POVM 矩阵，如图9（b）所示。PNRD 有三种输出结果， 0 ， 1， 2。基于 PNRD 的 POVM 矩阵，我们计算了相应的 Wigner 函数，如图10所示，图中红色实线是基于理论模型 POVM 矩阵得到的 Wigner 函数截面图，蓝色实线是基于重新构建的 POVM 矩阵得到的 Wigner 函数截面图。对于 1的 Wigner 函数 W1，理论模拟与重新构建的曲线基本一致，在原点位置， W1（0;0）值为?0.0067，且 W1过零点后先增加后逐渐减小到0，这是因为 PNRD 输出1光子的概率逐渐降低，转变为输出2光子的概率。 W2也是基本一致的，基于重新构建的 2得到的 W2（0;0）为?0.3032， W2整体以理论模拟得到的 Wigner 函数为中心出现了锯齿抖动。由 QDT 重新构建的POVM 矩阵得到的 Wigner 函数在原点的负值表明此双通道 PNRD 可实现量子探测。

5 结 论

本文采用了短脉冲门控和电容平衡相结合的探测方案，有效抑制了尖峰噪声，基于雪崩光电二极管和空间复用技术设计了双通道 PNRD，有效分辨光子数目，并且测试了单光子探测器的各项性能参数。为了更完整地表征单光子探测器，从量子学角度介绍了单光子探测器的一般描述方法，即通过 QDT 全面表征单光子探测器。基于 QDT 重构了单通道单光子探测器和双通道 PNRD 的 POVM 矩阵，引入 Wigner 函数验证了其量子特性，单通道单光子探测器在40.5%探测效率时仍可实现量子探测。本文对探测器的标定方法，是对未知探测器的全面表征，为其他光子探测器的性能表征提供了参考。目前，门控探测与平衡抑制相结合方案的工作速率在百兆赫兹左右[17]，后续可以通过正弦门控低通滤波方案将探测器工作速率提升至吉赫兹以上。本方案在温度、偏压、计数统计等方面为多通道的集成奠定了基础。

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（编辑：张磊）