基于模拟退火算法的公路隧道内轮廓优化设计

张庆嵬

（中交基础设施养护集团有限公司，北京市 100011）

0 引言

公路隧道内轮廓尺寸的拟定受控因素较多，除了要满足建筑限界的要求，还要为通风、照明、排水、路面、内装等设备设施预留空间，并储备富余量。圆形内轮廓在围岩稳定及结构受力方面具有优势，目前中国公路隧道内轮廓多由组合圆构成。当前工程实践中，内轮廓尺寸的拟定大多采用类比法，由于内轮廓尺寸直接影响了工程规模及投资预算，在满足限定条件的情况下，搜寻内轮廓的最小面积具有探讨价值［1-4］。

实际上，此问题可归结为最优化问题。工程最优化问题即工程问题中取得的一组参数解，使得由这组设计参数确定的设计方案，既满足各种规范、标准，又达到较好的技术经济指标［5-7］。最优化问题由来已久，解决此类问题的有效手段是采用智能优化算法［8-12］，如模拟退火算法、遗传算法、蚁群算法等。模拟退火算法的计算过程简单通用，它能够避免陷入局部最优陷阱，可用于求解复杂的非线性优化问题，因此应用广泛。

本文在工程实践的基础上，以面积最优为目标，建立单心圆有仰拱内轮廓分析模型，探讨采用模拟退火算法确定公路隧道内轮廓最优方案的可行性。

1 公路隧道内轮廓

根据《公路隧道设计规范》（JTG 3370.1—2018）［5］，建筑限界基本形式见图1。

图1 公路隧道建筑限界（单位：cm）

在满足建筑限界以及其他必需的空间条件下，结合结构受力以及断面空间利用率等方面的考虑，工程实践中认为拱部为单心圆或三心圆，侧墙为大半径圆弧，仰拱与侧墙间用小半径圆弧连接较好［14］。设计速度为80 km/h 的两车道高速公路隧道多采用单心圆方案，某高速公路隧道项目采用的单心圆有仰拱内轮廓方案如图2 所示。

2 模拟退火算法

模拟退火算法的思想来源于物理中固体物质的退火过程与数学中组合优化问题之间的类比。退火过程使得分子最终落入能量最低状态，而优化过程则是不断向目标函数解空间中的最值靠近。选取任意一组解作为初始解，即模拟物理退火过程中的初始粒子状态。设定初温，即模拟熔解过程中达到的最高温度，随后在不同的温度下借助与温度相关的概率参数来判定新解的接受度，不断降温使得这个概率越来越小，直到达到最优解或者达到了终止条件。算法的常见执行步骤如下［15］：

（1）设定初值：x0以及F(x0)；配置冷却进度表参数：初始温度T( 0 )、衰减函 数、Mapkob 链长度Lk以及终止条件。

（2）温度控制参数t=T(k)时（k为降温进程中的某一个状态参数），按照以下步骤作变换：

①产生新解。用系统随机函数产生偏移量m，从而在当前解xp的基础上得到一新解xp+1=xp+m，p为等温进程中的某一个状态参数；

②计算目标函数的增量。∆f=F(xp+1)-F(xp)；

③ 更 新 准 则。 产 生 随 机 数θ∈(0，1)，根 据Metropolis 准则，当p>θ时接受新解：

（3）遵循温度衰减函数，产生新的温度控制参数t=T(k+1)，转入步骤（2）。直到达到终止条件。

模拟退火算法独特的新解接受准则可以使其避免陷入局部极值。作为一种全局寻优算法，其对初始值的选取不敏感，但冷却进度表在算法控制中的作用至关重要［16］。

3 优化过程

现以两车道高速公路（80 km/h）隧道通常采用的单心圆有仰拱内轮廓方案为例，验证模拟退火算法在内轮廓优化设计中的可行性。单心圆有仰拱内轮廓的基本组成如图3 所示，解决此问题可分3 个阶段进行：第一阶段是最优确定单心圆无仰拱内轮廓，此圆记为O1；第二阶段是在O1基础上最优确定单心圆有仰拱内轮廓，此圆记为O2；第三阶段在O1、O2的基础上确定过渡圆，此圆记为O3与O4。

3.1 变量分析

对于第一阶段，变量为O1圆心坐标及半径r1，第二阶段则是O2圆心坐标及半径r2，其中O1、O2圆心的横坐标相同。而第三阶段中O3则分别与O1、O2内切，根据几何关系，可以得到O3圆心坐标和半径r3之间的约束关系，另外建筑限界到O3的最小距离则会根据实际需求进行指定，可认为不具备优化余地，在本优化过程中不考虑O3的影响，O4同理。至此，该优化问题转换为求解在满足约束条件下使得内轮廓面积最小的O1和O2圆心坐标及半径。

3.2 约束条件及目标函数

隧道内轮廓拟定时通常会提出隧道内轮廓线与建筑限界最小距离要求，这里用余量δ来表示。由于路面横坡的存在，建筑限界会按照不同角度进行旋转，余量大小也会受到影响。对于第一阶段，必须满足各路面坡度条件下建筑限界位于O1内部且O1上各点与建筑限界的距离均要大于余量δ1，也可根据实际需求对限界上的各点独立设定余量，而目标函数则为O1的面积。对于第二阶段，O2与O1圆心横坐标相同，O2除了要满足O1的约束条件，还需保证两圆心距离do1o2∈（|r2-r1|，r2+r1）。隧道路面以下需设置路面结构层及中央排水沟等，要求的余量更大，故引入余量δ2值，其为O2上各点到建筑限界最小距离要求。此外为了使仰拱具有一定的曲率以保证受力更合理，引入变量矢高γ，其为O1与O2的交点与仰拱最低点的高差。此时目标函数为O1与O2重叠部分的面积。

3.3 模型求解

以测设点为原点，建立直角坐标系，将建筑限界各点位置用坐标表示，并计算处于正向最大路面坡度、负向最大路面坡度时建筑限界各点所对应的坐标值，根据工程实际需求指定δ1、δ2及γ值。现讨论本问题中模拟退火算法冷却进度表相关参数的设定。

（1）初始温度T( 0 )。T( 0 )应使得算法一开始的接受率尽可能高，即exp( -∆f/T( 0 ))≈1，则可令T( 0 )=μ∆fmax，μ为常数，通常视问题规模而定，本问题取μ=1。

（2）温度衰减函数。根据经验法则，选取模拟退火算法常用的衰减函数Tk+1=αTk，α取值范围一般为0.50～0.99，为适当延缓退火速度，取α=0.98。此形式衰减函数对温度的衰减量随算法进程而减小。

（3）终止准则。终止准则需要考虑两方面，第一方面是等温过程中产生扰动的次数，第二方面是温度下降到能量较低状态的值。本问题中对于等温过程的终止准则定为连续n个Mapkob 链中新解没有被接受，或者达到指定的链长。降温过程的终止准则设定为相邻温度的温度差∆t小于指定值。

（4）Mapkob 链长度Lk、温差∆t及n。这3 个参数的确定可以根据问题规模在试算基础上兼顾搜索速度与解的质量采用指定的方式进行。

4 实例验证

根据上述计算模型，编制程序进行验证分析。程序设置交互界面，将各细部尺寸及算法控制数据作为输入量，以提高普适性，提供接口将计算结果导入制图软件中生成图件。设计速度为80 km/h 的某两车道高速公路隧道建筑限界各组成部分的详细尺寸如图4 所示，图中尺寸要求适用于路面坡度+3%～-3%范围。参考工程实际内轮廓方案，设定约束条件中的参数δ1=12 cm、δ2=83 cm、γ=85 cm、过渡圆半径r3=r4=100 cm。

图4 建筑限界尺寸（单位：cm）

对于控制算法进程的参数，T( 0 )可根据上述方法确定，不同次数的随机抽样所确定的目标函数最大值与最小值的差值列于表1，令T( 0 )=1 500 ≥∆fmax；温度衰减函数Tk+1=0.98Tk；由于问题规模较小，耗费的计算资源不明显，可优先保障解的质量，经过试算令Lk=1 000，∆t=0.1，n=20 可得到较高质量终解。

表1 初始温度的测试数据

相关参数设定好以后，程序按照上述计算模型计算输出结果。采用模拟退火算法计算后得到的隧道内轮廓参数①（方案①）和工程实际采用的内轮廓参数②（方案②）分别列于表2。约束条件以方案②为参考设定，两者均满足工程要求的最小余量，从结果对比来看：利用上述计算模型得到的数据与工程实际采用的基本一致，两种方案的内轮廓面积相差约216.2 cm2，工程实际方案本就为优选方案，可以看出该算法模型具有可行性。

表2 计算结果对比

图5 为程序利用接口调用软件绘制的建筑限界及内轮廓图。

图5 程序绘制的隧道内轮廓

5 结论

（1）以面积最优为目标，建立计算模型，编写程序，验证了模拟退火算法可以应用于公路隧道内轮廓的优化设计。

（2）公路隧道内轮廓根据公路等级、设计速度、围岩情况、路面坡度等条件的不同，拱部有单心圆与三心圆的基本区分。虽然本文针对单心圆有仰拱内轮廓建立了计算模型，但各类型内轮廓的优化思路是通用的，下一步可以继续完善。