横看成岭侧成峰

华小青

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.”苏轼的这首诗告诉我们：从不同的角度看同一个物体，看到的图形往往是不同的.同样的，对于同一个几何模型，我们从不同的角度去看，往往可以得到不同的结论，进而运用它们去解决不同的问题.下面我们用同学们十分熟悉的一个几何模型来说明.

模型解读

如图1，OC是∠AOB内部的一条射线，点P是∠AOB内部的一点.

视角1 若OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD = PE. （这就是角平分线的性质定理.）

视角2若点P在射线OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD = PE，则OC平分∠AOB. （这就是角平分线的判定定理.）

视角3 若OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则OD = OE. （这是角平分线的性质定理的推论.）

事实上，由OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，得∠OPD = ∠OPE，即PO也是∠DPE的平分线，由角平分线的性质定理得OD = OE. 这样就避免了通过证明全等三角形来证明OD = OE的复杂过程.

模型应用

例1 如图2，在△ABC中，AB = AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（）.

A. DE = DF    B. AE = AF

C. AD = BC    D. BE = CF

解析：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE = DF，则选项A正确；∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DA是∠EDF的平分线，∴AE = AF，则选项B正确；∵AB = AC，∴BE = CF，则选项D正确. 故应选C．

反思：这里运用角平分线的性质定理及其推论，简捷地解决了问题.

例2 如图3所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC = 30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM = ON，则∠ABO =___________．

解析：根据OM⊥AB，ON⊥BC，OM = ON，可知BO平分∠ABC，∴∠OBM = ∠OBN.∵∠ABC = 30°，∴∠ABO = 15°. 故应填15°.

反思：这里运用角平分线的判定定理得到∠OBM = ∠OBN，避免了用“HL”判定直角三角形全等的复杂过程．

例3 如图4，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC = 40°，则∠CAP 等于（）．

A. 40°    B. 45°    C. 50°    D. 60°

解析：如图5，延长BA，作PF⊥BA，PN⊥BD，PM⊥AC，垂足分别为点F，N，M.

设∠PCD = x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP = ∠PCD = x°，PM = PN.

∵BP平分∠ABC，∴∠ABP = ∠PBC，PF = PN，

∴PF = PM，∴∠FAP = ∠PAC.

∵∠BPC = 40°，∴∠ABP = ∠PBC = ∠PCD - ∠BPC = x° - 40°，

∴∠BAC = ∠ACD - ∠ABC = 2x° - （x° - 40°） - （x° - 40°） = 80°，

∴∠CAF = 100°，∴∠FAP = ∠PAC = 50°. 故選C．

反思：根据角平分线的性质和判定分别得出PM = PN = PF和∠FAP = ∠PAC是解题的关键．

分层作业

难度系数：★★★解题时间：5分钟

1.如图6， 在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB. 若AC = 2，DE = 1，则S△ACD = ___________．

2.如图7，在△OAB和△OCD中，OA = OB，OC = OD，OA > OC，∠AOB = ∠COD = 40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC = BD；②∠AMB = 40°；③MO平分∠BMC；④OM平分∠BOC.其中正确的个数为（）．

A. 4      B. 3      C. 2      D. 1

（作者单位：江苏省兴化市戴泽初级中学）