感受“圆”的魅力

2023-11-05许燕

初中生世界 2023年39期

关键词：顺时针对称性中点

文／许燕

圆是一种“完美”的图形，其完美性不仅体现在它既是轴对称图形，又是中心对称图形，还体现在它的旋转不变性。由圆的对称性引出了许多重要的定理，为本章的计算与证明提供了依据。下面，我们将通过一组典型例题，和大家共同探讨圆中有关问题的解题策略。

一、理解记忆，掌握基本结论

例1如图1，在Rt△ACB中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△AED，则BC扫过的面积为_____。

图1

【解析】∵在Rt△ACB中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，∴AB=4，AC=。

∴BC扫过的面积：

【策略方法】我们要理解弧长、扇形面积、圆柱面积、圆锥面积的推导过程，并学会从实际问题中抽象出数学问题，通过转化思想，将复杂图形进行分解转化。

二、巧妙“添线”，熟悉基本性质

例2把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图2，已知EF=CD=8cm，则球的半径长是（）。

图2

A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm

【解析】设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO，交CB于点M，连接OF，如图3。

图3

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°。

∴四边形CDNM是矩形。

∴MN=CD=8。

设OF=x，则OM=OF，

∴ON=MN-OM=8-x，NF=EN=4。

在Rt△ONF中，ON2+NF2=OF2，即（8-x）2+42=x2，解得x=5。故选B。

【策略方法】由圆的对称性能引出许多重要的定理和推论，这些性质在计算和证明等方面有广泛的应用。一般来说，我们可以通过添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题。

三、动中求静，探寻本质规律

例3如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，AB=13cm，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得△DEC，直线AD、EB相交于点F。取BC的中点G，连接GF，则GF的最大值为_____cm。

图4

【解析】本题中因点D和点E的位置不确定，故直线AD、EB的交点F的位置也不确定。但经分析可知，直线AD、EB相交所形成的∠AFB为定值90°（证明略）。如图5，在Rt△AFB中，取斜边AB的中点O，则。由圆的概念可知，到定点的距离为定长的点在圆上，从而可得出动点F的轨迹为以AB为直径的圆。当O、G、F三点共线时，GF可取最值。如图5，点F′即为GF取最大值时点F的位置，最大值为9。