初中数学课堂教学中解题策略探析

霍云

摘 要： 解题方法是解题教学的重要内容，其主要形式有直接转化、降次转化、换元转化和数形转化.在教学过程中，教师要注意转变的原则、提问的方法，并适时地将转换观念渗透到学生的思维中，使他们能够正确地使用转换方法.

關键词： 初中数学；解题思路；方法研究

初中数学学习的重点在于充分挖掘教材中的知识，缩短教材和中考的差距，搭建起二者的联系，所以，在教学中，教师要自觉地运用一题多解的方法，从教材的基础知识出发，从多个方面切入，真正做到横望成岭，侧望成峰.中考时经常会将二次函数的性质和定义结合起来，运用系数推理、性质判断等多种方法进行解题.掌握有关的解题方法和技术，可以让学生灵活地使用数学知识，提高他们的计算效率和精确度.

1 掌握解题方法和技巧的重要性

在初中数学教学中，教给学生方法和技术是提高学生数学成绩和提高数学水平的重要保证.二次函数在初中数学教学中是一个重要而又困难的问题，从它的定义可以看出，它是一个复杂多变的知识，需要学生在学习过程中多加思考，掌握二次函数的解法和技巧，提高解题的准确度和效率，避免陷入解题的误区.正确的解题方式和技巧可以提高学生的解题效率，提高答题的准确率，增强学生的自信心，为以后的数学学习打下坚实的基础.

2 初中数学解题中常见的转化思想

2.1 直接转化

直接转化就是通过运用相应的数学公式、理论，把那些看上去很难理解的问题，转换为自己所熟悉的数学公式，从而能够更好地解决问题.而对直接转化的高效教学，则要通过对数学公式、理论进行深入的讲解，使学生对数学公式、理论进行深入的理解和运用，进而了解这一部分的实质，使学生能够在面对问题时，将公式运用到解题中，以达到有效解题的目的.

比如，在计算圆的内接四边形角度时，教师要让学生注意到“圆的内接四边形对角和为180度”“同弧对应的圆周角相等”等定理，从而指导学生把角计算的方法转换为一种新的方法.通过对角线的多边形连接，构成四边形，把内角的计算问题转换为学生所熟悉的计算内容，从而得到正确的解答［1］.

2.2 降次转化

在初中数学方程教学中，学生常常会碰到解决高次方程的难题.高次方程的求解是一个很大的难题，而且一般不能直接求解.所以要运用降次转化的思想，对原来的方程进行变形，使之成为学生熟悉的、能够计算的形式.教师在讲解时，要围绕题目的类型，和学生一起讨论，让学生充分运用所学到的知识，把现有的算式进行降次转化，加深对问题的认识，从而让学生在遇到同一类问题时，能主动地进行降次转换.

比如，“已知b是方程x2-x-1=0的根，计算b3-2b2+2 021的值”这一问题.因为x2-x-1=0的根数比较复杂，所以求解起来很困难，而这道题的目的在于对多项式进行变形和转换，教师可以通过指导学生对问题的变化和降次来解决问题.例如：x2-x-1=0可以转换成x2-x=1；b3-2b2+2 021可转换为b3-b2-b2+2 021；b3-b2-b2+2 021再转换成b（b2-b）-b2+2 021；代入b2-b=1，得到b-b2+2 021;-b2+b+2 021可以转化成-（b2-b）+2 021，进而则得到b3-2b2+2 021=2 020.

教师要指导学生转变思维方法，通过降次变换达到求解题目的目的.

2.3 换元转化

在初中数学中，使用换元变换是很普遍的.在教学中，教师要使学生充分了解换元变化在解决问题时的作用.在进行换元的过程中，要注意换元的对等，保证换元后的公式是合理的，不能改变原有的数学定义.

2.4 数形转化

在初中数学教学中，函数是一个很大的难题，一般需要学生把代数、文字转换成图形，并通过图形来寻找解题的方法.在课堂上，教师要引导学生把数学问题转换成函数图形，并用交点法等方法来解决问题.同时为确保学生的学习效率，教师在安排习题时，还应注重练习的难度，以满足学生对数学的探究欲望，从而有助于学生理顺数形转化的细节，从而达到对数形转化的正确理解.

比如，图1中的△ABC和函数图象都是在第一象限，且函数图象和△ABC有一个重叠的区域，那么在这个重叠区域中，k的数值是什么？这类问题的解题比较困难，在解题时，要寻找一个切入点，以使问题得到更好的解决.在已知的条件下，利用学生所学的反比例函数，对其进行解析，当k大于0时，k的数值越大，则函数的曲线与y轴的偏差就越大.从曲线的运行来看，可以看到，在函数图形的左侧，A是一个临界值，而在右侧，当函数图形和BC边相交时，这个问题就得到了解决.利用该方法，可以把问题从平面的交叉问题转换成一个函数的交点问题，由A，B，C三点的坐标求出了三角形各边的函数.在获得BC边的函数解析式后，将两个函数结合起来，最后把它们转换成两个函数相交时有解的问题.

3  初中数学二次函数解析式的解题方法和技巧

3.1 基于根与系数的关系求解问题

根与系数的关系是求解一元二次方程问题的最常用的方法.例如，问题“存在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），满足a-b+c=0，请写出1个符合题目条件的方程”.由题意可得-1是方程的一个根，在根与系数的关系的基础上，可以迅速地解出- c a 是方程的另一根，可得出方程满足（x+1） x+ c a  =0，将a，c任意赋值便可得符合条件的方程.由此发现根与系数的关系的使用使得求解过程变得简单，大大提高了求解的精度和效率［2］.

很多学生在解答这道方程时，都会被它所包含的大量的信息所震惊.在这个时候，如果用传统的解法来解决问题，会让学生陷入一个困境中，从而影响到解题准确性和效率.但如果能在解题中灵活运用根与系数的关系，就能迅速地得出正确的结论.

与传统的公式解法相比，韦达定理的灵活运用，能迅速地简化问题的解法，并能得到正确的答案.所以在进行解题训练时，一定要把一元二次方程的解题方法和经验结合起来.

3.2 基于换元方法求解问题

在一元二次方程问题中，换元法也是一种常见的解法，它的优点在于它可以简化复杂的方程，让解题速度更快.换元就是把一个方程中的一些相同的代数式当作一个整体，用一个变量代替，让问题的解法变得简单，让学生在解决问题时，更容易找到突破口［3］.

比如：64（x+4）2+x2+8x=32.解析：如果让学生按照传统的解法，先求判别式，然后解，这就意味着计算的工作量很大，很可能会犯错误，但如果让他们仔细看题目的结构，在等号的两边各加16，就有x2+8x+16=（x+4）2.这样，可以将原方程对应地转化成64（x+4）2+（x+4）2=48.

换元法是一种高效的解决方程问题的方法，它的关键在于将对应的解法中的有关式子做等价代换，从而使解题速度更快，更容易找到解题的突破口.

3.3 系数推理法

二次函数的解析式有三个很重要的系数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.三个因子与二次函数关系密切，二次函数图的开口是由系数a确定的，而函数与y轴的交点是通过系数c来确定的.在二次函数知识点的考查中，通常会考查学生是否掌握了图形的特性，因此，在遇到此类问题时，可以采用系数推理法来进行运算.在解决问题时，从系数出发，利用系数公式解决问题，可以节省大量的时间.

二次函数问题的解答需要学生熟悉和理解相关的知识，熟悉二次函数的特性和公式，并在最后的分析中选出正确的答案.

3.4 性质判断法

性质判定方法也是解答二次函数问题的常用方法，它要求学生能够全面地掌握二次函数的公式、性质等，并利用二次函数的对称性质来解决问题.性质判定以选择题为主，需要将性质判定与图象相结合，选出正确的答案.例如，学生在判断函数的对称性和单调性时，可以采用定性判定的方法，迅速找到正确的答案.对学生来说，性质判定法是最基本的一种方法，它需要学生在学习二次函数理论知识的基础上，与实际相结合，从而加快解题的速度［4］.

3.5 数形结合

在众多的解题方法和技术中，数形结合是一种非常有效的解题方式，可以使学生把抽象的问题具体化，灵活地进行数字和图形之间的转化，使学生能够有效地解决二次函数的解析式问题，从而提高学生的逻辑能力和运算能力.

3.6 三种表达方式的解析

3.6.1 一般式的解法

在二次函数的三种表达式中，通用方程是最基本的.在解一般方程时，必须将三组对应的x，y代入解析公式，得到一个三元一次方程组，求解得到a，b，c的数值，尽管可以得到正确的答案，但计算的工作量很大，因此学生要找到更有效的解决办法.虽然一般方程是学生必须要掌握的知识，但此解法并不是最好的方法，需要学生加强对广义方程的理解，并将其融入解题中.

3.6.2 顶点式的解法

在二次函数的解题中，顶点方程也是很普遍的，它是由一个通用方程转换而来的.它的解法有一个前提，那就是二次函数的顶点是（h，k），图象经过点（m，n），这样学生就可以利用二次函数的顶点来解决问题了.首先，学生需要假设y=a（x-h）2+ k，再将另一个点的坐标代入所假设的表达式即可求解.采用顶点法进行解题，不仅可以节省运算时间，还可以简化解题过程.

3.6.3 交点式解法

y=a（x-x 1）（x-x 2）是一种常用的二次函数交点式，它不需要知道二次函数的顶点，只需要知道图象和x轴的交点，就能解决问题.二次函数图象和x轴相交是解决问题的必要条件.该方法的基本思想是一个通用的公式，即y=ax2+a（-x 1-x 2）x+ax 1x 2.例如，二次函数图象经过的三个点是（1，0）、（2，0）、（3，4），则所假设二次函数的表达式为y=a（x-x 1）（x-x 2），将（1，0），（2，0）点代入可得y=a（x-1）（x-2），再把另外一个坐标代入解析式，即可得到a和解析式.

4 灵活运用

学生在学习了多个二次函数的解法和技术后，要灵活运用，以便根據不同的问题，选择最简单有效的解法，提高解题的效率和精确度.为了避免在解题过程中出错，学生需要善于思考，能够举一反三.在实际操作中，教师首先要自己做一次示范，再让学生根据自己的问题进行小组讨论.而一些比较复杂的问题，既考查二次函数，又涉及其他的知识，这就需要学生将这些问题融会贯通，并掌握解题的基本原理，从而实现更复杂的综合运用［5］.

二次函数是初中数学的一个重要组成部分，它不但在初中阶段的考试中占有很大的比重，同时和许多学科有着密切的关系.近年来，从二次函数的考查倾向来看，主要以考查二次函数图象与系数之间的关系为主.

5 结 语

函数在初中数学教学中起着举足轻重的作用，它对学生的数学基础、综合运用能力、思维能力等起着举足轻重的作用.因此，在初中阶段，教师要让学生正确地理解和掌握二次函数的解法，并能选择和使用正确的解题方式，提高解题的准确度和效率.

参考文献：

［1］ 范小建.初中数学解题思路与方法应用探讨［J］.才智，2020（13）：193.

［2］ 熊朝顺.初中数学教学中注重培养学生解题思路的研究［J］.人文之友，2019（6）：177.

［3］ 张秀连.初中数学中的解题思路与方法探究［J］.魅力中国，2018（49）：127.

［4］ 李立丽.初中数学智慧课堂教学中注重培养学生解题思路的策略探讨［J］.考试周刊，2021（60）：79 80.

［5］ 戴德文.学以致用：初中数学教学中注重培养学生解题思路的研究［J］.科学咨询，2019（5）：134 135.

［6］ 单墫.解题研究［M］.上海：上海教育出版社，2013.

［7］ 史宁中.《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订与核心素养［J］.教师教育学报，2022（3）：92 46.