由一道双曲线问题引发的思考

2023-10-31韩萍

语数外学习·高中版下旬 2023年8期

韩萍

双曲线是三大圆锥曲线之一.双曲线问题侧重于考查双曲线的定义、几何性质、方程.这类问题对同学们的分析和运算能力有较高的要求.下面就一道双曲线问题，探讨一下求解此类问题的常用方法.

例题：已知双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左右焦点分别为[F1，F2]，如图所示.过[F1]的直线与双曲线的两条渐近线分别交于[A，B]两点.若[F1A=AB]，[F1B?F2B=0]，则双曲线的离心率为______.

一、参数法

参数法是解答圆锥曲线问题的常用方法，即引入参数，将问题中的直线、点、曲线等用参数表示出来，根据题意建立关系式，通过消参求得问题的答案.在解答双曲线问题时，要根据题意引入合适的参数，可将点的坐标，直线的倾斜角、截距，双曲线的半焦距、虚轴、实轴等设为参数，并将其代入题设中进行求解.

解法1.因为[F1A=AB]，所以[A是F1B]的中点，

所以[OA]为[ΔF1F2B]的中位线，

由[F1B?F2B=0]可得[F1B⊥F2B]，[OA⊥F1A]，

所以在[ΔF1BF2]中，[OA]垂直平分[F1B]，

则[OB=OF1=OF2=c]，

设直线OB的倾斜角为[θ]，点[B（ccosθ，csinθ）]，

则[A（ccosθ-c2，csinθ2）]，

將其代入到双曲线的一条渐近线方程[y=-bax]中，

得[csinθ2=-ba?ccosθ-c2]，[sinθ=ba?（1-cosθ）]，

所以[sinθ=tanθ（1-cosθ）]，

即[cosθ=1-cosθ]，解得[cosθ=12，θ=π3].

则[ba=3]，即[e=ca=1+（ba）2=2]，

即双曲线的离心率为2.

我们引入参数[θ]，将其看作直线OB的倾斜角，并用其表示A、B两点的坐标，即可根据题意建立关于[θ]的方程，通过解方程求得[θ]的值，从而求得a、b、c之间的关系，进而求得双曲线的离心率.

解法2.设点[A]的坐标为[（x0，y0）]，因为[F1A=AB]，

则点[B]的坐标为[（2x0+c，2y0）].

因为[F1B?F2B=0]，所以[（2x0+c，2y0）?（2x0，2y0）=0]，

即[x02+cx0+y02=0]①.

因为[A，B]两点分别在两条渐近线上，

所以[y0=-bax0]②，[2y0=ba（2x0+c）]③，

联立①②③三式，消去[x0，y0]可得[c=2a]，

所以双曲线的离心率为[e=ca=2].

这里引入参数[x0、y0]，设出A、B的坐标，并将其代入题设中，建立方程①②③，通过恒等变换进行消元，即可求得双曲线的离心率.运用参数法解题的关键在于根据解题需求选取合适的量设参，该设哪个点，如何设点，需慎重考虑.

二、几何性质法

双曲线的几何性质较多，若双曲线的方程为[x2a2-y2b2]＝1（a＞0，b＞0），则其范围为x≥a或x≤-a，y∈R；对称轴为坐标轴，对称中心为（0，0）；两支无限趋近于渐近线y＝±x.在解答双曲线问题时，可先根据题意和双曲线的方程画出图形；然后将题目中的代数条件转化为几何条件，添加合适的辅助线，构造三角形、梯形、矩形等，以利用平面几何图形的性质解题.

解法3.因为[F1A=AB]，所以[A是F1B的中点]，

所以[OA]为[ΔF1F2B]的中位线，

由[F1B?F2B=0]可得[F1B⊥F2B]，[OA⊥F1A]，

所以在[ΔF1OB]中，[OA]垂直平分[F1B]，

所以[OB=OF1=OF2]，可知[∠AOB=∠AOF1].

由渐近线的性质可知[∠BOF2=∠AOF1]，

所以[∠BOF2=60°]，可得[ba=3]，

即[b=3a，c=2a]，所以[e=ca=2].

该解法主要运用了双曲线的渐近线的性质、三角形中位线的性质以及线段的垂直平分线的性质，从而建立了几何关系，据此建立a、b之间的关系式，求得双曲线的离心率.

解法4.因为[F1A=AB]，所以[A是F1B的中点]，

所以[OA]为[ΔF1F2B]的中位线，所以[OA//12BF2]，

由[F1B?F2B=0]可得[F1B⊥F2B]，[OA⊥F1A]，