MATLAB在高等数学实验中的应用

刘美琪 马勇 高俊勇

摘 要：MATLAB作为一套传播性很广的数学编程类软件， 深受高校高等数学实验课的青睐， 本文运用MATLAB软件解决几个高等数学经典问题， 为课程内容提供思路， 以此来辅助理论课的教学， 并提升高等数学课程的活跃性和丰富程度。

关键词：MATLAB；数学实验

中图分类号：TB     文献标识码：A      doi：10.19311/j.cnki.16723198.2023.21.088

1 研究背景

高等數学作为高校公共课的重要组成部分，其目的是培养具备逻辑思维能力和专业能力的应用型人才，但很多高校老师在讲授课程的时候，往往只注重公式的运用而忽视对学生数据图像处理、分析能力的培养，出现学生对这类知识产生接受慢、理解差等知识断层现象。MATLAB是一门专业型信息技术软件，能丰富数学课程的理论层次，为理论课的开展提供便利，在一定程度上还可以增强学生的动手操作和创新能力，是提升高等数学课程质量的重要手段。

对此，笔者利用MATLAB进行实操，望对此方面研究者以及一线教师能够提供一些思路。

2 MATLAB简介

MATLAB是矩阵和实验室的结合，即矩阵工厂（matrix laboratory），是美国mathworks公司在互联网快速发展的时代下开发的，它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，将原本极其复杂的问题简单化，代表了当今国际科学计算软件的先进水平，可以说是从巨人肩膀上看问题。

3 MATLAB在高等数学实验课程中的部分应用案例

3.1 MATLAB在极限中的应用

一方面可以用MATLAB去计算极限，另一方面，在讲解公式的过程中，可以利用软件先去画图，再去计算，学生会更容易理解。

3.1.1 数列极限

计算极限 limn→SymboleB@

3n4+55n4+6

>> syms n

>> limit（（3*n^4+5）/（5*n^4+6），n，inf）

结果ans =3/5

3.1.2 函数极限（两个重要极限）

（1）第一个重要极限： limx→0sin（x）x

绘图>> ezplot（′sin（x）/x′，[-pi，pi]）

观察图 1 sin（x）x函数图象中当x趋于0时，函数值的变化趋势，输入：

>> limit（sin（x）/x，x，0）

结果ans =1

（2）第二个重要极限： limx→SymboleB@

（1+1x）x

绘图>> ezplot（′（1+1/x）^x′，[1，100]）

观察图 2 （1+1x）x函数图象REF_Ref18376h中函数的单调性，理解函数极限，输入：

>> limit（（1+1/x）^x，x，inf）

结果ans =exp（1）

3.2 MATLAB在一元、多元函数积分学中的应用

对于积分来说，主要是去理解其几何意义，定积分来源于曲边梯形面积的计算，二重积分最初也产生于人类改造自然的活动之中——曲顶柱体的体积，尤其是三重积分，更需要学生增强动手画图的能力，所以在确定三重积分上下限的过程中，需特别给出其绘制图形的命令. 由于学生一开始接触三重积分时，并不知道选择直角坐标、柱坐标还是球坐标，所以在运算过程中，教师可分别用这几种方式去计算，更容易让学生理解其中的取舍关系。

3.2.1 不定积分

计算不定积分∫e2xsin4xdx.

输入：>> syms x y

>> y=exp（2*x）*sin（4*x）;

>> f=int（y，x）

结果：f =-（exp（2*x）*（4*cos（4*x） - 2*sin（4*x）））/20

3.2.2 定积分

计算定积分y1=∫b0cosaxdx，y2=∫+SymboleB@

21x2+2x-3dx.

输入：>> y1=int（cos（a*x），x，0，b）

>> y2=int（1/（x^2+2*x-3），x，2，inf）

结果：y1 =sin（a*b）/a

y2 =log（5）/4

3.2.3 二重积分

计算二重积分De-（x2+y2）dxdy，其中D为x2+y2≤1.

输入：>> syms x y real;

>> f=exp（-（x^2+y^2））;

>> int（int（f，y，-sqrt（1-x^2），sqrt（1-x^2）），x，-1，1）

结果：ans =int（pi^（1/2）*erf（（1 - x^2）^（1/2））*exp（-x^2），x，-1，1）

改用极坐标， 输入：>> syms r s;

>> f=exp（-（r^2））*r;

>> int（int（f，r，0，1），s，0，2*pi）

结果：ans =-pi*（exp（-1） - 1）

3.2.4 三重积分

计算三重积分Ω（x2+y2+z2）dxdydz，其中Ω由曲面z= 2-x2-y2与z= x2+y2围成.

先作出区域Ω的图形. 输入：

>> [x，y]=meshgrid（-1：0.05：1）;

>> z=sqrt（x.^2+y.^2）;

>> surf（x，y，z）

>> hold on

>> z=sqrt（2-x.^2+y.^2）;

>> surf（x，y，z）

输出图形

如果用直角坐标， 则输入：

>> syms x y z

>> f=x^2+y^2+z;

>> int（int（int（f，z，sqrt（x^2+y^2），sqrt（2-x^2-y^2）），y，-sqrt（1-x^2），sqrt（1-x^2）），x，-1，1）

结果：ans =int（int（（x^2 + y^2）*（-x^2-y^2 + 2）^（1/2）-（x^2 + y^2）^（3/2）-x^2- y^2+1，y，-（1-x^2）^（1/2），（1-x^2）^（1/2）），x，-1，1）

执行后未得到明确结果，改用柱坐标和球坐标计算. 如果用柱坐标， 则输入：

>> int（int（int（f，z，r，sqrt（2-r^2）），r，0，1），s，0，2*pi）

结果：ans=（pi*（32*2^（1/2）-25））/30

如果用球坐标， 则输入：

>> syms r t s

>> f=（r^2*sin（t）^2+r*cos（t））*r^2*sin（t）;

>> simple（int（int（int（f，r，0，sqrt（2）），t，0，pi/4），s，0，2*pi））

结果：ans =（pi*（32*2^（1/2）-25））/30

因此， 对于本题来说， 用柱坐標和球坐标均可得出结果。

4 结论

通过MATLAB进行统计数据实验， 方便直观， 易于操作得出结论，有助于学生理解统计来源于生活， 并服务于生活， 明白数学就在我们身边， 提高对数学类知识重要性的认识， 培养学生的数学学习兴趣， 也为学生日后接触这类计算机数学编程软件打好基础，激发学生的学习动机。MATLAB这一强大的软件不再局限于教师及以上人员的使用。总之， 该实验的延伸对MATLAB的普遍推广、学生对数据分析的深度理解、教师整体素质的提高等， 都有积极作用。

参考文献

［1］朱雪芳.MATLAB软件在高等数学教学中的应用[J].福建电脑，2018，34（08）：6162.

[2]何微，谢余波.基于Matlab的高等数学实验教学探讨[J].科技资讯，2022，20（06）：186189.

[3]卫军超，丁嘉昕，常在斌，等.MATLAB软件与高等数学课程深度融合[J].科技与创新，2019，127（07）：57.