谈谈完全平方公式的几种变形式

洪婷婷

完全平方公式，即（a±b）2=a2+b2±2ab.它是恒等变形中的常用公式之一，也是破解数学问题的重要利器.完全平方公式经过变形或重组可以衍生出新的公式.灵活运用这些公式，可以让我们在解题时更快捷.

运用完全平方公式及其变形式解题时需注意以下几点：

1.a和b可以是数，可以是式子；

2.要有整体观念，即把某个数或式子看成a或b，再运用公式解题；

3.注意运用变形公式，可以分别将a+b，a-b，a2+b2，ab看成四个整体，若已知其中两个整体，则可以灵活运用公式及公式变形式求得另外两个整体.

变形式1：a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab

由（a+b）2=a2+b2+2ab，（a-b）2=a2+b2-2ab，可以得到：a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab.

例1

分析

解

评注：本题利用完全平方公式的变形式a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab，分别求出x+y，y-x的值，再将其代入所求目标式中.在这一过程中，要特别注意x+y>0，y-x<0这一隐含条件.

变形式2：（a+b）2=（a-b）2+4ab

因为（a-b）2=a2+b2-2ab，所以有（a-b）2+4ab=a2+b2-2ab+4ab=a2+b2+2ab=（a+b）2.

例2

分析

解

评注：本题先通过变形，把目标式转化为平方式，再利用完全平方公式的变形式（a+b）2=（a-b）2+4ab求出其值.

变形式3：（a-b）2=（a+b）2-4ab

因为（a+b）2=a2+b2+2ab，（a+b）2-4ab=a2+b2+2ab-4ab=a2+b2-2ab=a-b2，所以有a-b2=（a+b）2-4ab.

例3

分析

解

评注：本题利用（a-b）2=（a+b）2-4ab，得出（a+b）2+4c2=0，再結合非负数的性质求出a+b+c的值，从而使问题获解.

变形式4：（a+b）2-（a-b）2=4ab，

由（a+b）2=（a-b）2+4ab，（a-b）2=（a+b）2-4ab，这两个变形公式，可以得到（a+b）2-（a-b）2=4ab，即ab=14[（a+b）2-（a-b）2]

例4

分析

解

评注：本题若按照常规思路先求出a、b的值，再求ab，则较为繁琐，而利用完全平方变形公式则可以化繁为简.

变形式5：（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）

因为（a+b）2=a2+b2+2ab，（a-b）2=a2+b2-2ab，所以（a+b）2+（a-b）2=2（a-b）2=2（a2+b2），即a2+b2=12[（a+b）2+（a-b）2].

例5

分析

解

评注：本题利用（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）这一完全平方公式的变形式解题，使解题过程变得简捷明了.

总之，在平时的学习中，同学们不仅要熟悉完全平方公式的结构特征，而且还要掌握它的变形和推广形式，并注意结合题目的结构特征，灵活运用完全平方变形公式.这将会给我们的解题带来意想不到的效果.