关注“三点”，求解与一元二次方程的根有关的问题

田鑫

在解答一元二次方程问题时，经常会遇到一些与一元二次方程的根有关的问题，此时我们不仅要灵活运用求根公式、配方法来求得方程的根，还需对方程的根的判别式、根与系数的关系进行讨论，才能顺利解题.下面举例说明在求解与一元二次方程的根有关的问题时需注意的三个关键点.

一、注意含参二次项的系数是否为0

对于方程ax2+bx+c=0，若a=0，则方程为一元一次方程，无法根据求根公式解题.只有在a≠0时，方程才是一元二次方程，此时才能根据求根公式、韦达定理解题.因此，判断含参二次项的系数是否为0，是解答一元二次方程的根的问题的第一步.

例1

解

说明

二、注意方程的根的判别式△与0的关系

在解答与一元二次方程的根有关的问题时，要关注一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac.①当△>0时，方程有2个不相等的实数根；②当△=0时，方程有2个相等的实数根；③当△<0时，方程无实数根.以上结论反过来也成立.只有明确了方程的根的判别式△与0的关系，才能确定方程的根的个数，获得正确的答案.

例2方程x2-3x+4=0与方程x2-2x-5=0的所有实数根的和是.

解：

说明：判断方程的根的判别式△与0的关系，是解答一元二次方程的根的问题的关键一步.若△<0，则方程无实数根，就不能探讨方程的根的问题了.

例3关于x的一元二次方程x2+mx-m-2=0的根的情况是（）.

A.有2个不相等的实数根

B.有2个相等的实数根

C.没有实数根

D.实数根的个数由m的值确定

解：

说明：我们根据题意，判断一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac与0的关系，即可判断出方程的根的个数.

三、注意把握方程的根与系数的关系

一般地，（1）若一元二次方程的二次项系数为1，且x1，x2是方程x2+px+q=0的两根，则方程的根与系数的关系为x1+x2=-p，x1x2=q；（2）若二次项系数不为1，且x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则方程的根与系数的关系为x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2），ca=x1x2.该方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理.根据韦达定理，可由方程中的系数确定根的大小，也可以根据已知的两根确定方程中系数的值.

例4

解

说明：先将一元二次方程化为一般式，根据方程的根的判别式大于0，列出关于m的不等式，即可求出不等式的解集，判断出②的正确性；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，即可判定①错误；将选项③中的二次函数式整理后，利用根与系数的关系得出两根之和与两根之积，并令y=0，即可建立关于x的方程，求出方程的解，确定二次函数图象与x轴的交点的坐标，这就说明③正确.

例5

解

说明：在解答本题时，要先根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和与两根之积；再根据两根之间的关系，求得方程中系数的关系；最后利用配方法化简求值即可解题．

总之，当遇到与一元二次方程的根有关的问题，如：（1）判断方程的根的个数；（2）判断两个数是不是一元二次方程的两个根；（3）求与方程的两根相关的关系式的值；（4）由方程的根求参数的取值范围；（5）已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；（6）判斷两根的符号问题时，就需重点关注二次项的系数、方程的根的判别式与0的关系、根与系数的关系.这样才能避免出现疏漏，顺利求得正确的答案.