宜用反证法证明的几类问题

陈溪

反证法是一种间接证明方法.它着眼于问题的反面，先假设命题结论的反面成立，再根据假设的反面结论和题设条件进行缜密的推理论证，推导出与已知条件、定理、公理等相矛盾的结果，得出假设不成立，最后判定原命题为真命题.那么，什么情况下适合运用反证法解题呢？下面介绍几种宜用反证法解题的命题形式.

一、唯一型命题

唯一型命题是指所要求证的结论中含有“唯一”“只有一个”等字眼的命题.由于唯一就是“独一无二”，解题时一般不好直接论证，常常需借助反证法来予以证明.此类问题中结论的反面是“不是唯一的”“至少有两个不同的”，由此推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一.

例1

分析

证明

评注：在利用反证法解题时，同学们特别要注意反面假设的正确性，否则会使整个反证过程出错.对于唯一性命题而言，“唯一”，即“有且只有一个”，其假设的反面为“不止一个”，也就是“至少有兩个”.

二、否定型命题

否定型命题是指命题的结论以“无”“没有”“不是”“不能”“不等于”“不存在”等否定形式出现.因为我们所掌握的绝大部分概念、公理、定理、法则、公式等都是肯定性的断言，所以直接证明较难，故采用反证法可把否定性的断言转化为某种肯定性的断言，从而找到推理的途径.

例2

分析

证明

评注：对于否定型命题而言，它的反面往往为肯定性判断，运用肯定性的断言去推理一个命题要比运用否定性的断言去推证一个命题更直观、容易.

三、至少（多）型命题

至少（多）型命题的结论中经常出现“至少”“至多”“最少”“最多”等这样的词语，由于结论涉及的对象往往不止一个，我们能找到直接论证的理论依据很少，故常用反证法.通过添加否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，从而使命题容易获证.

例3若a1a2=2（b1+b2），试证明：方程x2+a1x+a2=0与x2+b1x+b2=0至少有一个方程有实数根.

分析：题目中出现“至少”的字眼，因此可以借助“反证法”进行求证.

证明：

例4试证明：任给m，n，p三个实数，则下列三个不等式中至多有两个不等式同时成立：|m|<|n-p|，|n|<|p-m|，|p|<|m-n|.

分析：题目中出现“至多”一词，因此可以利用反证法予以证明.

证明：根据实数的性质，不妨设实数m，n，p在数轴上对应的三点如图2中M、N、P所示：

评注：若题目中的结论词是“至少有一个”，则反设结论词为“一个也没有”；结论词是“至少有n个”，则反设结论词为“至多有（n-1）个”；结论词是“至多有一个”，则反设结论词为“至少有两个”；结论词是“至多有n个”，则反设结论词为“至少有（n+1）个”.

总之，对于某些数学命题，若直接证明行不通，同学们要注意以退为进，逆向思考，巧用反证法，从而出奇制胜.