对一道高三质量检测题错解的剖析与思考

郑 良

(安徽省合肥市第四中学,安徽 合肥 230000)

皮亚杰说过:“错误是有意义的学习所必不可少的.”当代科学家、哲学家波普尔认为:“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素.”教学活动中学生的错解展现了学生的思维活动过程,是教师了解学情的重要途径.教师命题中也可能会出现“正题错解”(正确的试题和错误的解析),洞悉“不露痕迹”的错解需要解题者具有良好的数学素养,如对相关概念、关系、结构有明确的认识和理解,对解答过程中各步骤有清晰的逻辑分析等.

1 试题呈现

例1 (2021-2022学年度福州市高三期末质量检测数学试题第19题)记ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知c=acosB+ccosA．

(1)试判断ΔABC的形状,并说明理由;

2 解答呈现

对于第(1)小题,参考答案分别从正弦定理、余弦定理入手,得出结论:ΔABC为(A为顶角的)等腰三角形或(A为直角的)直角三角形,此处略.对于第(2)小题,参考答案给出两种解法:

又因为sin∠ADB=sin∠ABC,

所以sin(π-∠ADB)=sin∠C.

即sin∠BDC=sin∠C.故∠BDC=∠C.

所以∠A=∠DBC.

两式相乘,得AC·DC=BC2(也可通过△ABC∽△BDC得到AC·DC=BC2).

又CD=AC-AD=AC-BC,

所以b(b-a)=a2,

又因为sin∠ADB=sin∠ABC,

所以sin(π-∠ADB)=sin∠C.

即sin∠BDC=sin∠C.故∠BDC=∠C

所以∠A=∠DBC.

又因为AD=BD,所以∠A=∠DBA.

3 问题剖析

通过对特殊情况的补充,完善了解法1与解法2.为什么会出现漏解呢?命题人借助形的直观,默认画出的图形(图形的一般情形)为全部状态,遗漏了特殊情形,出现了形的误导.通过数的精准凸显理性思维,将sin∠ADB=sin∠ABC等量代换得sin∠ADB=sin∠ACB,将目标由远及近(由B∉AC到D∈AC),结合∠ADB,∠ACB的范围及条件“点D在边AC上”对点D的位置进行确认.若命题者强化对“三角形的边”概念的推敲,也能避免上述错解.因此,在数学学习中一定要加强数学语言叙述的严谨性;在数学解题中一定要深化对条件的理解,确保所求结论的等价性.

4 其它解法

又因为sin∠ADB=sin∠ABC,

所以sin∠ADB=sin∠ACB.

所以∠ADB=∠ACB或π-∠ADB=∠C.

当点D与点C不重合时,由AD=BD=BC=a,记∠BAC=α,则∠ABD=α.

所以∠BDC=∠BCD=2α.

由b=c,可知∠ABC=∠BCD=2α.

故由(1)可得B=C.

由sin∠ADB=sin∠ABC=sin∠ACB,得

∠ADB=∠ACB或∠ADB=π-∠ACB.

5 类似问题链接

例2已知平面向量a,b满足a·b=0,|a-b|=2,则3|a|+2|b|的值可能是( ).

解析由已知可得|a-b|2=|a|2+|b|2=4.

故选BC.

当a=0时,r(x)=-4x+5在[1,2]内单调递减,s(x)=log2x在[1,2]内单调递增,且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3

所以-1≤a<0.

所以0

综上所述,实数a的取值范围为[-1,1].

综上所述,当a≤1时,g(x)在[1,2]内单调递减.

解得-1≤a≤1.

所以实数a的取值范围为[-1,1].

类似的问题还有很多,如集合中的空集,区间的开闭对参数取值范围的影响,“非零向量a与b的夹角为锐角”等价于“a·b>0且a与b不同向”等,请读者自行整理.学生只有在平时的学习中弄清楚各个定理、性质的内容、条件和适用范围,遇到相关问题时才不会望文生义,通过审题敏锐地发现题目中关键词、情境等变化.存在错解的数学问题往往触及学生的知识盲区或能力不足之处,此类问题是学情的“晴雨表”,是教师珍贵的教学资料和备课素材. 对于此类问题,教师应当抓住教学契机,引领学生深刻剖析错误根源,引导学生有逻辑地思考问题,把握事物之间的关联,形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神[1].面对错解,教与学时不能简单地采取直接纠正的方式,还要弄清楚错解产生的深层次原因,努力扭转学生解题“对号入座”的现象,深化对问题的理解,切实提高学生分析问题和解决问题的能力,遇到问题时才能以不变应万变.