基于单位荷载法的钢管混凝土组合异形柱计算长度系数研究与验证

李振宇，张莫凡，闫翔宇, ，陈志华，王丹妮

基于单位荷载法的钢管混凝土组合异形柱计算长度系数研究与验证

李振宇1，张莫凡1，闫翔宇1, 2，陈志华1，王丹妮2

(1. 天津大学建筑工程学院，天津 300072；2. 天津大学建筑设计规划研究总院有限公司，天津 300073)

为解决钢管混凝土组合异形柱在进行构件稳定验算时计算长度系数不明确的问题，利用有限元软件Midas/Gen，采用单位荷载法在钢管混凝土组合异形柱框架-支撑结构整体模型下进行特征值屈曲分析，并通过欧拉公式反算得到钢管混凝土组合异形柱的计算长度系数．研究了网格划分、楼板、短梁对单肢柱计算长度系数分析结果的影响，结果表明各层异形柱沿其高度方向划分为10段、连接板宜沿其宽度方向划分为2段，同时去掉模型中的楼板、短梁可提高结果的安全度和软件分析速度．在上述分析结果基础上，建立了考虑组合异形柱网格划分、去掉模型中的楼板、短梁的整体结构模型，分析了不同异形柱平面位置、所在楼层、梁截面尺寸和楼层总数等因素影响下的单肢柱计算长度系数，结果表明：单肢柱计算长度系数随着所在楼层的上升呈现增大趋势，8～20层单肢柱计算长度系数随梁截面的增大而减小，大部分楼层的单肢柱计算长度系数随楼层总数减少而增大．根据所得数据，基于安全性和计算简便的考虑，给出了各层钢管混凝土组合异形柱中单肢柱计算长度系数建议值．基于计算长度系数的建议取值，分析得到整体模型中各单肢柱的应力比，并与直接分析设计法得到的应力比进行了对比，结果表明两种方法得到的应力比相差不大，验证了本文提出的计算长度系数建议值的可行性．

钢管混凝土组合异形柱；计算长度系数；特征值屈曲分析；Midas/Gen；直接分析设计法

异形柱体系可以很好地解决住宅室内柱子凸角的问题，增大建筑使用面积．最常用的异形柱体系有钢筋混凝土异形柱，但其存在着延性、承载力相对较低的问题[1]．另一种异形柱体系是异形钢管混凝土柱，通过钢管对混凝土施加约束作用，提高了混凝土的强度和钢管的稳定性，但钢管对核心区域和凹角处混凝土约束较小[2-3]．

针对以上问题，天津大学陈志华[4]提出了矩形钢管混凝土组合异形柱结构(special-shaped columns comprising concrete-filled steel tubes，SCFT)，即通过缀条或缀板将矩形钢管混凝土连接起来，构建出异形柱的形式．根据连接形式的不同，可分为缀条连接式SCFT[5-6]、钢板连接式SCFT[7]、型钢连接式SCFT[8].这种体系具有以下优势[5-9]：①优化房屋的平面和空间布置；②连接尺寸可调节，容易调节两个主轴方向的稳定性；③钢管、钢板可提前在工厂预制，浇筑混凝土无需模板，施工装配化程度高，顺应了装配式建筑的发展趋势．

目前对钢管混凝土组合异形柱承载力计算方法的研究已经有了一定的成果[7]，但这些方法都是基于单根钢管混凝土组合异形柱的模型得到的，并没有充分考虑结构整体刚度对钢管混凝土稳定性的影响．另外，实际设计常采用引入计算长度系数的一阶分析法进行计算，但目前钢管混凝土组合异形柱计算长度系数的研究尚鲜见报道．虽然可以考虑采用直接分析设计法避开计算长度系数进行验算，但该方法相对于一阶分析法操作复杂耗时，在设计中并不常用.

针对上述问题，本文利用有限元软件Midas/ Gen，采用单位荷载法对整体结构进行特征值屈曲分析的方法得到钢管混凝土组合异形柱各单肢柱的计算长度系数．考虑单元划分数量、短梁、楼板对组合异形柱单肢柱计算长度系数分析结果的影响，建立了计算长度系数分析模型．在此模型基础上进行特征值屈曲分析，得到了不同异形柱平面位置、所在楼层、梁截面尺寸和楼层总数下的单肢柱计算长度系数，据此给出计算长度系数建议取值，基于建议取值计算各单肢柱应力比，并与直接分析设计法得到的应力比进行对比，验证了本文提出计算长度系数取值的可行性．

1 计算长度系数确定方法

确定构件计算长度系数的方法主要有规范规定的简化公式法与查表法[10]，以及特征值屈曲分析法．其中规范规定的简化公式与表格是在材料线弹性、框架柱同时失稳等假定下，考虑上、下横梁与柱的刚度比，基于结构在微弯屈曲时的平衡状态下推导并简化得到，适用于《钢结构设计标准》(GB 50017—2017)[10]附录E所列举的柱种类，不能完全适用于钢管混凝土组合异形柱．

本文采用特征值屈曲分析法求解各单肢柱计算长度系数，其原理如下．

结构的稳定性可通过特征值分析确定[11]，即

(1)

式中：为结构的弹性刚度矩阵；为荷载分布向量；为荷载系数；G为结构在作用下的几何刚度矩阵；为位移向量．

当总刚度矩阵的行列式满足式(2)时，结构发生屈曲，线性屈曲分析最终归结为特征值求解问题．

结构相应的屈曲临界荷载即为，特征向量为相应的屈曲模态．检查各阶屈曲模态形状，确定某杆件发生屈曲时的临界荷载系数，乘以相应杆件的最小轴力，得到该构件的屈曲临界荷载cr．

再由欧拉公式[12]

可得杆件的计算长度系数公式为

式中：为杆件发生屈曲方向的弹性抗弯刚度，为杆件的弹性模量，为杆件截面屈曲方向的主惯性矩；cr为杆件对应的屈曲临界荷载；为杆件的几何长度；为杆件计算长度系数．

采用屈曲分析法时，建模方法主要分为整体法和独立杆件法．整体法是将杆件放入整体模型中，对整体模型进行屈曲分析的一种方法；独立杆件法是分析整体模型中杆件两端约束刚度，然后将杆件从模型中取出，建立柱与两端约束的稳定分析模型，进行屈曲分析的一种方法[12]．将结构应用于整体模型中能够更加准确地反映结构的约束条件和受力状态[13]，所得构件屈曲模态更接近于真实的屈曲模态，并且能够考虑结构整体刚度对构件计算长度系数的影响，在理论上更加精确，所以本文选用整体法．

整体法的加载模式主要有整体荷载加载和单位荷载加载．整体荷载加载是在模型中施加恒荷载和活荷载标准值，单位荷载加载是在所分析的柱顶施加单位集中荷载．因为采用单位荷载加载时杆件的屈曲模态多为结构的第1阶模态或低阶屈曲模态，得到的临界荷载更准确，而整体荷载加载得到的模态主要为结构整体屈曲模态[14]，需要比较多个模态才能确定杆件的屈曲模态和临界荷载，所以本文选用单位荷载加载模式[15-16]．

2 有限元分析

2.1 结构布置

框架柱分为普通钢管混凝土柱和钢管混凝土组合异形柱，其中组合异形柱为双钢板连接式(图2)，由矩形钢管混凝土单肢柱、短梁和连接板构成，钢管规格为□250×200×16、□200×200×16～8、□200×150×12～8、□150×150×12～8，混凝土强度等级为C40，短梁规格为□100×60×8、□120×60×8、□150×60×8矩形钢管，连接板为10mm厚钢板；钢梁采用H型钢，规格为H350×150×8×10、H350×200×8×14、HN250×125，不考虑钢梁截面特征值放大系数；支撑采用矩形钢管，规格为□200×14、 □150×12～8．

图1 典型结构平面布置

图2 双钢板连接式SCFT

2.2 模型的建立

在Midas/Gen中建立该结构的整体模型，组合异形柱中单肢柱选用梁单元模拟，单肢间的双钢板用板单元模拟，基于等效刚度法[17]，板单元厚度取为单钢板的2倍，简化模型如图3所示，钢梁、普通钢管混凝土柱选用梁单元模拟，楼板选用板单元模拟，支撑选用桁架单元模拟．整体模型如图4所示．

图3 SCFT模型

工程结构存在着整体初始缺陷，对构件稳定存在着一定影响，为了考虑整体初始缺陷，在结构上施加恒荷载和活荷载标准值进行特征值屈曲分析，找到最低阶整体屈曲模态后按此模态更新初始缺陷．这样后续在分析各单肢柱的计算长度系数时，就是在引入整体初始缺陷的模型上进行的．

分析各单肢柱计算长度系数时，加载方式采用单位荷载法，在所分析的单肢柱顶施加1kN的竖向集中荷载，进行特征值屈曲分析，得到屈曲模态和临界荷载系数．

图4 整体模型

2.2.1 组合异形柱网格划分

网格划分会对特征值屈曲分析的结果产生影响．一般而言，单元划分数量越多，结果越准确，但数量不能无限增加，过多会影响软件的计算速度．为了确定合理的异形柱单元划分数量，本文建立了不同异形柱单元划分段数的模型(连接板沿各自宽度方向划分为2段，各层异形柱沿其楼层高度方向划分为2、4、6、8、10、12段)，对顶层5轴交C轴处的a、b、c单肢柱柱顶分别施加单位荷载(角肢柱编号为c，建筑宽度方向边肢柱编号为a，建筑长度方向边肢柱编号为b，如图5所示)，进行特征值屈曲分析，得到各单肢柱的临界荷载以及第1阶屈曲模态，并通过欧拉公式反算出各层异形柱沿其楼层高度方向不同划分段数下各单肢柱的计算长度系数，计算结果见图6．

图5 5轴交C轴处组合异形柱平面

由图6可知，当各层异形柱沿其楼层高度方向的划分数量大于10时，所得单肢柱计算长度系数随划分段数的增加变化不大，所以本文将各层异形柱沿其高度方向分为10段．下面确定连接板宽度方向(每块连接板所连接从一根异形柱指向另一根异形柱的方向)的划分数量，默认将各层异形柱沿其楼层高度方向分为10段，建立连接板沿各自宽度方向不同划分段数的模型，计算结果如图7所示．

图6 高度方向不同划分段数下计算长度系数的结果

图7 连接板宽度方向不同划分段数下计算长度系数的结果

由图7可知，连接板沿各自宽度方向划分段数对分析结果影响不大，后续分析时连接板沿各自宽度方向划分为2段．

2.2.2 楼板和短梁的影响分析

楼板、短梁的存在将改变异形柱的边界条件，影响计算长度系数分析结果．为了研究楼板、短梁对计算长度系数分析结果的影响，建立以下模型：有楼板、有短梁模型(模型1，如图3所示)，有楼板、无短梁模型(模型2，如图8(a)所示)，无楼板、有短梁模型(模型3，如图8(b)所示)，无楼板、无短梁模型(模型4，如图8(c)所示)．分别在边肢柱a、b和角肢柱c单肢柱柱顶施加单位力，进行特征值屈曲分析，得到各单肢柱的临界荷载以及第1阶屈曲模态，并通过欧拉公式反算出4种模型下各单肢柱的计算长度系数，见表1．

由表1可见，相同模型下单肢柱a、b的计算长度系数分析结果相差不大且均大于单肢柱c的计算长度系数分析结果，因此在后续分析过程中重点考察单肢柱a、b的计算长度系数．单肢柱a、b在模型2、模型3下的计算长度系数分析结果均大于在模型1下的计算长度系数分析结果，说明楼板、短梁的存在均能对异形柱起到约束作用，提高异形柱的稳定性；单肢柱a、b在模型3下的计算长度系数均小于模型2下的计算长度系数，说明短梁的约束作用比楼板强；模型4下单肢柱a、b的计算长度系数分析结果最大．基于上述分析结果，选用无楼板、无短梁模型时，计算结果偏于安全，并且模型中单元数量较少，能够提高软件的计算效率，故采用该模型进行后续分析．

图8 去掉楼板或短梁的SCFT模型

表1 不同模型下a、b、c单肢柱的计算长度系数

Tab.1 Effective length factors of single columns a，b，and c in different models

2.3 参数分析

2.3.1 组合异形柱平面位置的影响

按照前述单元划分数量划分所有组合异形柱，并去掉模型中的楼板与短梁，计算首层及顶层所有异形柱单肢柱的计算长度系数，绘制成散点图，见图9和图10．根据散点图，无论是首层还是顶层，位于12轴交D轴处边肢柱a的计算长度系数最大，顶层该柱的屈曲模态如图11所示．

2.3.2 组合异形柱所在楼层的影响

基于上述分析，计算各层12轴交D轴处a柱的计算长度系数，并绘制成折线图，见图12．由图可知，单肢柱计算长度系数随着所在楼层的上升呈现增大趋势，分析原因可能为单肢柱的稳定不仅受柱端构件影响，也受远端构件影响，可将单肢柱相邻楼层整体视为其端部约束，如图13所示，此时单肢柱的稳定需考虑相邻楼层的整体刚度．层整体刚度随所在楼层的上升呈减弱趋势，如图14所示，单肢柱所在楼层越高，相连楼层的整体刚度越小，对单肢柱的约束也就越弱，单肢柱计算长度系数越大；4层、8层、12层出现降低的原因可能为此处单肢柱截面减小，导致梁对柱端的约束增强，稳定性增强；19层出现降低的原因可能为模型按最低阶整体屈曲模态更新初始缺陷后，该层单肢柱顶、底节点的偏移差小于18层单肢柱，稳定性优于18层单肢柱．

图9 首层所有异形柱单肢柱计算长度系数

图10 顶层所有异形柱单肢柱计算长度系数

图11 顶层12轴交D轴处a柱的第1阶屈曲模态

图12 各层12轴交D轴处的a柱计算长度系数

图13 单肢柱简化力学模型

图14 层刚度

2.3.3 梁截面尺寸的影响

在整体模型的基础上，建立所有梁加高50mm、所有梁减高50mm、所有梁加宽50mm 3个模型，计算各层12轴交D轴处a柱的计算长度系数，结果如图15所示．由图15可知，梁截面尺寸对1～7层单肢柱计算长度系数影响不大，对于8～20层单肢柱，计算长度系数随梁高、梁宽的增大而减小．考虑原因可能为8～20层梁截面尺寸增大后柱端约束增强，提高了单肢柱的稳定性；1～7层单肢柱截面尺寸较大，梁截面尺寸增大对柱端约束的增强并不显著，计算长度系数变化不大．

图15 不同梁截面尺寸下各层12轴交D轴处的a柱计算长度系数

2.3.4 楼层总数的影响

为了研究楼层总数对计算长度系数的影响，确保计算长度系数建议值适用于层数在20层以下的高层建筑，在梁减高50mm模型的基础上，分别建立总18、15、12、9层的整体模型，并计算各层12轴交D轴处a柱的计算长度系数，结果如图16所示．由图可知，对于大部分楼层而言，楼层总数减少，单肢柱计算长度系数增大，考虑原因可能为上部楼层减少导致柱上端约束减弱．单独分析5个模型中的顶层，可以发现顶层的计算长度系数较为稳定，楼层总数、所在楼层数对其影响不大，实际计算时可将顶层单肢柱计算长度系数偏于安全地统一取为1.6．

2.4 计算长度系数建议取值

将前面所得计算长度系数数据(不包括顶层)绘制成散点图，如图17所示．为使建议取值偏于安全且计算简便，建议取值包络所有数据点，并将楼层进行适当归并．本文基于数据点的变化趋势进行分组，由散点图可知，随着楼层的上升，计算长度系数增大的趋势逐渐放缓，鉴于此，靠近底部的楼层组应包含较少楼层，而靠近顶部的楼层组应包含较多楼层，最终分为1～3层、4～7层、8～13层、14～20层4个楼层组，每组中包含楼层个数分别为3、4、6、7．基于以上考虑绘制出图17中的红色折线，并据此给出各楼层单肢柱的计算长度系数建议取值，如表2所示．

图16 不同总层数模型下各层12轴交D轴处的a柱计算长度系数

图17 单肢柱计算长度系数散点图

表2 钢管混凝土组合异形柱中单肢柱的计算长度系数建议取值

Tab.2 Recommended values of effective length factors of single columns of SCFTs

本文模型中组合异形柱主要为L型柱，考虑到组合异形柱的形式只会影响角肢柱的边界条件，而L型柱下的角肢柱端部约束相对于T型和十字型较弱，按L型柱考虑是偏于保守且具有普适性的，故本文建议取值也可用于T型柱和十字型柱．

本文所研究的整体结构属于钢结构住宅的组合异形柱钢框架-支撑体系，一般用于20层及以下的高层建筑．根据已有的工程经验，超过20层时一般需要布置剪力墙，此时结构的受力性能与钢框架-支撑有所差异．综上所述，本文计算长度系数建议取值适用于20层及以下的采用组合异形柱框架-支撑结构的高层建筑．

3 计算长度系数建议取值的验证

直接分析设计法可以在结构内力分析中直接考虑-和-二阶效应，充分考虑初始缺陷、残余应力、材料非线性、节点刚度等因素对结构或构件稳定性的影响[11]，相对传统的一阶分析法更加可靠，可对一阶分析法的计算结果进行验证．由于直接分析设计法在内力分析的过程中就已经考虑结构和构件的初始缺陷并采用了二阶非线性分析方法，所以不需要再考虑计算长度系数和稳定系数，只需验算构件强度应力比．

为了验证本文所得计算长度系数的合理性，利用Midas/Gen软件，基于一阶分析法对本文模型中的组合异形柱单肢柱进行应力比计算，并采用直接分析设计法进行对比验证．由于本结构在设计时不允许设计荷载下出现塑性铰，依据《钢结构设计标准》(GB 50017—2017)[10]第5.5.2条，在进行直接分析设计法时，不考虑弹塑性的发展．

3.1 直接分析设计法下的应力比计算

直接分析设计法中需要在结构整体模型中考虑整体初始缺陷和构件初始缺陷．为了对结构施加整体初始缺陷，可按照《钢结构设计标准》(GB 50017—2017)[10]第5.2.1条规定调整节点位置，采用恒荷载和活荷载标准值进行特征值屈曲分析，得到结构最低阶整体屈曲模态，利用Midas/Gen的“根据初始缺陷更新模型”功能施加整体初始缺陷，缺陷幅值为结构高度的1/250，即254.8mm．

根据《钢结构设计标准》(GB 50017—2017)[10]第5.2.2条，采用假想均布荷载法施加构件初始缺陷，其中初弯曲缺陷值按构件长度的1/300考虑，Midas/Gen可以自动施加构件初始缺陷．

随后将所有荷载组合转化成静力荷载工况，进行几何非线性分析，分析完成后计算所有组合异形柱单肢柱的强度应力比．

3.2 构件应力比对比

在一阶分析法模型中进行一阶弹性分析，计算得到构件内力，随后将本文计算长度系数建议取值赋予所有组合异形柱的单肢柱，计算所有单肢柱的应力比.

由于杆件数较多，为使图片清晰，从所有单肢柱中随机选取200根杆件的结果进行展示，如图18所示，可以看到两种方法的计算结果比较接近．计算所有构件一阶分析法结果与直接分析设计法结果的比值，并绘制图19所示的饼状图．由饼状图可知，大部分构件应力比比值介于0.8～1.2之间；虽然有约20%的构件比值超过1.2或小于0.8，但这部分构件的直接分析设计法应力比较小，大部分在0.3以下，实际上这部分构件的应力比绝对差值并不大，均在0.1以内，对验算结果影响并不大．综上所述，一阶分析法计算结果与直接分析设计法计算结果相差不大，采用本文建议计算长度系数是可行的．

图18 两种方法的应力比折线图

图19 两种方法的应力比比值饼状图

4 结 论

(1) 在分析钢管混凝土组合异形柱计算长度系数时，按照各层异形柱沿其高度方向划分为10段、连接板沿各自宽度方向划分为2段的方式划分网格，计算结果相对准确且计算效率高．

(2) 楼板、短梁的存在均可以提高异形柱的稳定性，且短梁比楼板对稳定性提高的程度更大．在分析钢管混凝土组合异形柱计算长度系数时，去掉模型中的楼板、短梁进行分析可以提高结果的安全度和软件分析速度．

(3) 通过采用单位荷载法在钢管混凝土组合异形柱框架-支撑结构整体模型下进行特征值屈曲分析的方法得到了异形柱平面位置、所在楼层、梁截面尺寸、楼层总数对各楼层钢管混凝土组合异形柱单肢柱计算长度系数的影响规律，根据结果给出了钢管混凝土组合异形柱单肢柱的计算长度系数建议值，该建议值适用于20层及以下的采用组合异形柱框架-支撑结构的高层建筑．

(4) 基于建议计算长度系数，对本文模型进行一阶分析，得到各单肢柱应力比，并与直接分析设计法计算结果进行对比分析，两种方法结果相差不大，进一步验证了本文建议计算长度系数取值的可行性．

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Study and Verification on Effective Length Factors of Special-Shaped Columns Comprising Concrete-Filled Steel Tubes Based on a Unit Load Method

Li Zhenyu1，Zhang Mofan1，Yan Xiangyu1,2，Chen Zhihua1，Wang Danni2

(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. Tianjin University Research Institute of Architectural Design and Urban Planning Co.，Ltd.，Tianjin University，Tianjin 300073，China)

To address unclear effective length factors in stability calculations for components of special-shaped columns comprising concrete-filled steel tubes(SCFTs)，we used the finite element software Midas/Gen to conduct an eigenvalue buckling analysis using a unit load method under an SCFT frame-brace system overall model. Subsequently，we inversed the effective length factors of the SCFT using Euler’s formula. The influence of grid division，floor slab，and short beam on the analysis results of the effective length factors of single columns was investigated. The results indicate that the SCFTs of each floor should be divided into ten sections along their height directions，whereas the connecting slabs should be divided into two sections along their respective width directions. Furthermore，removing the floor slabs and short beams from the model can improve safety and accelerate the software analysis. Based on the analysis results，we created an overall structural model by considering the grid division of SCFTs and removed the floor slabs and short beams from the model. In addition，we analyzed the effective length factors of single columns for different plan locations，floors，beam section sizes，and total floor numbers. The effective length factors of single columns tended to increase with an increase in the number of the floors where they were located，the effective length factors of single columns of floors 8—20 decreased with an increase in the size of beam sections，and the effective length factors of single columns for most floors increased with a decrease in the total number of floors. From these data，the recommended effective length factors of single columns of the SCFT for each floor were given considering security and simplicity of calculation. The stress ratios of single columns in the overall model were calculated based on the recommended values and compared with stress ratios obtained through direct analysis and design method. The results indicate that the stress ratios obtained by the two methods are close，verifying the feasibility of the recommended values.

special-shaped columns comprising concrete-filled steel tubes；effective length factor；eigenvalue buckling analysis；Midas/Gen；direct analysis and design method

10.11784/tdxbz202205015

TU398.9

A

0493-2137(2023)11-1125-10

2022-05-11；

2022-06-15.

李振宇（1979—  ），男，博士，研究员，lizhenyu@tju.edu.cn.Email：m_bigm@tju.edu.cn

闫翔宇，xy_yan2005@163.com.

国家重点基础研究和发展计划资助项目(2019YFD1101005).

the National Key Research and Development Program of China(No. 2019YFD1101005).

(责任编辑：金顺爱)