二维稳态热传导CUDA 并行

2023-10-24王民

物联网技术 2023年10期

王民

（烟台黄金职业学院，山东烟台 265401）

0 引言

有限差分法用于解决难以或无法分析解决的微分方程，其中包括拉普拉斯方程。求解拉普拉斯方程通常是为了找到平衡解，因此这是一个可以从物理问题中产生的方程。借助于有限差分实现二维拉普拉斯方程[1-3]在稳态热传导中的应用有助于解决其温度方面的问题。本文在基于有限差分的拉普拉斯方程程序编写基础之上，对其进行CUDA 并行化[4-5]，提升数据计算的效率，从而得到更好的扩展性。

1 二维稳态热传导应用程序

1.1 二维稳态热传导理论

稳态热传导分析可以用来分析恒定中心热负荷对系统或部件的影响[6-7]。通常情况下，在进行临时热分析之前，要进行稳态热分析以确定初始温度分布。稳态热分析可用于分析温度等参数，这些参数是由恒定热负荷引起的，通过有限元素的计算，将连续的传热问题离散化为一系列离散的代数方程组，然后利用计算机进行求解。

1.2 有限差分的拉普拉斯

1.2.1 有限差分

有限差分法是一种数值方法，用于解决偏微分方程和积分方程。在有限差分法中，微分方程中的导数是用有限差分公式近似计算的[8-10]，可以将[a，b]的区间划分为n个长度为h的相等子区间，如图1 所示。

图1 有限差分法的区间划分

有限差分法基本上是一种近似导数的数值方法，所以先要分析如何取导数。一个函数f(x)的导数的定义如下：

通常情况下，在有限差分方法中使用中心差分公式，因为它们能产生更好的精度。微分方程只在网格点上执行，而第一和第二导数分别为：

这些有限差分表达式被用来取代微分方程中y的导数，如果微分方程是线性的，就会产生一个n+1 的线性代数方程系统。如果微分方程是非线性的，代数方程也将是非线性的。

在数值计算过程中，将解决方案区域划分为不同的网格，最终网格点用于替换不同网格中的连续解决方案区域。将要求解的流动变量存储在每个网格点，并用相应的微分商替换偏微分方程的微分元素，从而将偏微分方程转换为代数微分方程，获得离散点处具有有限未知变量的微分方程。通过求解微分方程，获得了网格点处流动变量的数值解。

1.2.2 二维的拉普拉斯方程

拉普拉斯方程是一个二阶偏微分方程，出现在许多科学和工程领域，如电力、流体流动和稳定热传导等。在一个领域中解决该方程，需要指定某些条件，即未知函数在域的边界必须满足的条件。在空间上二维拉普拉斯方程满足如下等式：

对x、y方向进行有限差分，并基于4 点格式执行计算。考虑到一块薄板的顶部和底部是完全绝缘的，它的每个边缘都有对应的已知温度。因此，目标是找到稳态温度的分布。区域内部的温度取决于它周围的温度。我们可以将该区域划分为细网状的点h(i,j)。一个内部点的温度可以被看作是四个相邻点温度的平均值，如图2 所示。

图2 四点差分区域划分

对于这种计算，采用与内部点相邻的点来描述边缘是很方便的。点h(i,j)的内部点是指0＜i＜n，0＜j＜n范围内的点，并且有(n-1)×(n-1)个点。边缘点是当i=0，i=n，j=0或j=n时，有对应于固定温度值的网格边缘点。因此，h(i,j)的全部范围是0 ≤x≤n，0 ≤y≤n，并且有(n+1)×(n+1)个点，可以通过迭代来计算每个点的温度方程。

1.2.3 串行和CUDA 并行化设计

（1）串行程序算法

假设每个点的温度被保存在一个数组h[i][j]中，边界点h[0][x]、h[x][0]、h[n][x]、h[x][n]（0 ≤x≤n）已经被初始化为边缘温度。串行核心代码如图3 所示。