学习进阶下高中数学单元复习课授课设计

黄伟杰

【摘  要】本文以高中数学中的重要内容——“圆锥曲线”（人教版B版）为例，探讨如何进行单元复习课的授课设计.首先，对圆锥曲线的基本特点进行分析，明确其具有系统性和综合性，并结合新课标素质教育的引领性要求，从知识技能和思想方法（或者学科素养）两个方面，进行由低到高、由易到难的阶梯式设计.希望能够为各位教育同仁在进行圆锥曲线，乃至高中数学其他教学内容的单元复习课授课设计时，提供些许思路.

【关键词】高中数学；圆锥曲线；单元复习课

圆锥曲线是高中数学中的重点内容之一，不论是在教学课时安排，还是在教学结果考核中，都占据了很大的比重.就圆锥曲线的内容来看，其一方面表现出了显著的系统性，另一方面表现出了极强的综合性.因此，在圆锥曲线部分的授课设计中，特别是在单元复习课的授课设计中，就需要特别注意兼顾圆锥曲线的知识技能和思想方法（或者学科素养），并在基础足够扎实的前提下，适当向思想方法（或者学科素养）方面倾斜，通过实施更加全面有效的教学策略，提高单元复习的效果.所以，研究和分析圆锥曲线的单元复习课的授课设计是有必要的，也是有价值的.

单元复习课是有利于帮助学生在总体方向上对已学知识进行把握的教学环节，将知识点向着知识线和知识面的方向进行推进，在规划“大框架”“大思路”“大背景”的前提下，提升学生解决“大问题”的能力，通过全面统领、思维驾驭、结构关联的方式，杜绝传统教学模式下，知识零散、分解过度、效益低下的问题，并促进学生思想方法和学科素养的综合提升.在新课程目标核心素养的引领下，对单元复习课的授课设计进行完善，从明确教学目标开始，使授课成为相互支撑和联系的稳固体系，对于提高教学效果，特别是对于圆锥曲线内容的教学效果十分有益.

1  圆锥曲线的基本特点分析

结合实际教学活动，对圆锥曲线进行分析，认为其具有两个基本特点.

一是系统性强.圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三个部分，每个部分都分别依次学习定义、性质、方程、函数图象等内容，脉络十分清晰.例如，在方程中，虽然圆锥曲线包括三个部分，但是总体来看，圆锥曲线的方程都满足的二次方程的形式，具有一般性规律.其中，椭圆、抛物线和双曲线具有各自不同的特殊性规律.这种特殊性规律是建立在一般性规律之上的.以椭圆为例，在圆锥曲线的方程中，当，，，，，时，就得到椭圆的方程，即椭圆方程满足（a>b> 0，c> 0）的二次方程的形式.此外，抛物线和双曲线方程也是圆锥曲线方程的特殊化形式，都是特殊的二次方程的形式.因此，圆锥曲线部分内容脉络十分清晰.

二是综合性强.圆锥曲线涵盖的内容比较多，如上文所述，横向涉及椭圆、抛物线和双曲线三个部分内容，纵向涉及定义、性质、方程、函数图象等部分内容，知识内容比较综合.另外，圆锥曲线题目覆盖比较杂，且通常不是直接出现，而是与其他知识进行联合，例如，圆锥曲线方程与直线方程进行联合等，解题方法比较综合.总之，圆锥曲线在知识和题目两个方面，都表现出了很强的综合性.

2  圆锥曲线的单元复习课授课设计

在现行高中数学人教版B版教材中，圆锥曲线单元包括椭圆、双曲线、抛物线，各部分之间的知识联系有比较强的统一性，各部分之内的知识结构有比较强的相似性.这种统一性和相似性相既表现在知识技能方面，也表现在思想方法（或者学科素养）方面.单元复习课的授课设计可以根据圆锥曲线单元的统一性和相似性，采用了“总－分－总”的形式^[1]，围绕知识技能主题或者思想方法（或者学科素养）主题^[2]進行单元总结回顾，形成完备的圆锥曲线学习与研究的大框架.具体的单元复习课授课设计如下：

2.1  基于知识技能为主题的单元复习课的整体设计

2.1.1  分析具体概念

圆锥曲线的定义作为该单元内容的开篇，至关重要.以圆锥曲线的定义为例，在复习课授课设计中，要基于圆锥曲线的定义（丹德林双球模型）作出全面的分析，从文字表述、数学关系、几何图形等方面，综合认识圆锥曲线.例如，从文字表述方面，圆锥曲线是到定点距离比到直线距离为常数e的轨迹；从数学关系方面，圆锥曲线是二次方程的图象；从几何图形方面，圆锥曲线是用平面对圆锥面进行横截地得到的交线.上述三个方面分别来看，当e的取值范围不同；当二次方程系数不同；当平面横截角度不同，可以分别得到椭圆、抛物线和双曲线.此外，退化曲线与上述三类曲线不同，但也符合圆锥曲线的定义要求，需要特殊对待.

基于以上内容，为了能够充分发挥复习课的作用，在分析具体概念时，要注意进行横向的比较和纵向的联合，使学生明确界定和准确判断圆锥曲线的概念和性质，并且在解题的过程中，能够借助理解记忆，发散思维，灵活应用.这将有利于学生在获得数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）^[2]的过程中打好基础，用好载体.

2.1.2  总结规律特点

圆锥曲线的内容具有明显的系统性，其规律在新课授课的过程中表现不突出，但是在复习课授课的过程中表现非常明显.以圆锥曲线的规律和特点^[4]为例，在复习课授课设计中，要善于总结规律和特点，结合上述关于圆锥曲线基本特点（系统性和综合性）的分析可以得知，抓住规律就是抓住主线、抓住重点，能够发挥提纲挈领，“牵一发而动全身”的作用.

总结规律特点可以从两方面进行，一是从基础定义入手，椭圆、抛物线、雙曲线的定义表现出了明显的规律性，它们是圆锥曲线定义范畴下，不同的变换场景，既有密切的关联，又有各自的特点，既有一般规律，又有特殊规律；二是从解题分析入手，在圆锥曲线的解题应用情景中总结规律特点，教师可以有针对性地提供既有联系又有区别的练习题类型，并在解题之后总结解题方法，归纳解题思路，从而间接地认识圆锥曲线的规律特点.经教学实践，发现不论是从基础定义入手，还是从解题分析入手，都能获得比较好的知识技能提升效果，教师可以根据实际进行具体选择，解题提升复习课效果.

例如  在圆锥曲线单元复习课的授课设计中，从基础定义入手，总结规律特点.一是“总”，基于丹德林双球模型，引出圆锥曲线的定义，以及椭圆、抛物线、双曲线的定义；二是“分”，分别对比总结椭圆、抛物线、双曲线的标准方程和几何性质；三是“总”，通过横向迁移，建构知识内容大框架.

一般的，在单元复习课中，知识点是“明点”，知识线是“暗线”，在“明点”的基础上梳理“暗线”，能够运用辩证统一的方法，层层递进，上位理解和深刻认识单元内容，建构系统的知识内容大框架（图1）.

2.2  基于思想方法（或者学科素养）为主题的单元复习课的整体设计

2.2.1  培养数形结合思维

数学思维和数学方法是数学学习的核心重点.学生在新课授课中已经完成了基础知识的学习，在单元复习课授课设计中，可以适当地向思想方法（或者学科素养）方面倾斜，借助逻辑和思维的引领作用，从大局上重新认识单元内容，从而推动学生的数学学习进阶，提升学科素养的.在圆锥曲线的复习课授课设计中，考虑到圆锥曲线既包括二次方程（二次函数），又包括几何图象，并且在解题过程中，经常出现函数与几何结合的情况，因此，可以从数形结合思维角度切入，以思想方法（或者学科素养）为主题，进行单元复习课授课.函数的有抽象性，几何具有具象性，将函数和几何进行融合，就是利用数形结合的思维，实现抽象问题的具象转化的过程.经过具象转化后的问题，还可以与向量、三角函数等内容进行进一步融合，从而在大背景下，培养学生的数形结合思维.

2.2.2  积累题目解决经验

中数学教学内容具有明确范围，积累解题经验十分必要，其目标有两项，其中，初级目标是在遇到同一题目时，能够保证解题正确率；高级目标是在遇到同类型题目时，能够实现知识迁移.通过回顾总结，不仅能够帮助学生提高学习效果，还能够帮助学生养成良好的思维模式和学习习惯.为此，以圆锥曲线的回顾总结为例，建议尽量适用图表或者思维导图的方式，例如，在表1中，根据所给的信息填空，能够提高记忆和方便查阅，为将来的经验应用提供便捷.

3  结语

综上所述，在圆锥曲线的单元复习课授课设计中，需要在明确圆锥曲线的基本系统性和综合性特点的基础之上，从两个方面入手，一是从基于知识技能为主题的单元复习课的整体设计入手，分析具体概念和总结规律特点，二是从基于思想方法或学科素养为主题的单元复习课的整体设计入手，培养数形结合思维和积累题目解决经验，从而帮助发挥单元复习课的作用，在科学的谁授课设计引导下提高学生的复习实效.

参考文献：

[1]张雪娟.思维可视化在圆锥曲线复习教学中的实验研究[D].昆明：云南师范大学，2017.

[2]曾诚彦.高中数学圆锥曲线教学方法的创新研究[J].中学课程辅导（教师通讯），2018（11）：122.

[3]于龙.基于数学思想方法的高三专题复习——以运用圆锥曲线的定义解题为例[J].中国现代教育装备，2017（04）：54-56.

[4]张玮.高中数学圆锥曲线教学的有效性策略探讨[J].数学学习与研究，2017（07）：56.