浅谈高中数学教学中解析几何的解题技巧

王锦绣

【摘  要】 在高考数学中，解析几何通常以压轴题形式出现，有着极强的综合性，既考查解析几何自身方面的知识，还涉及其他方面的数学知识，计算量也比较大，对学生的做题方式、思维能力与综合知识的掌握水平均要求较高.在高中数学教学中，教师需格外关注解析几何方面的习题训练，帮助学生掌握一些有效的解题技巧与策略，提高他们的解题水平.本文主要对高中数学教学中解析几何的解题技巧及策略进行浅谈，同时分享部分解题实例.

【关键词】 高中数学;解析几何;解题技巧

解析几何是高中数学教学中的重要构成部分，主要涉及到直线、圆、曲线、椭圆、双曲线、抛物线及其方程等相关知识，虽然属于平面几何范畴，但是难度相对较大，尤其是在习题训练中，对学生理论知识掌握、逻辑思维能力均有着较高要求，他们极易陷入困境之中.面对这一局面，高中数学教师应高度重视解析几何解题训练的开设，传授给学生一些实用性极强的技巧与策略，引领他们从多个视角进行解析，使其解题思维得到开拓与强化.

1  中点弦问题——几何与代数相结合

在高中数学解析几何教学中，中点弦问题是一个比较常见的题目类型，也是各类考试中最为容易出现的题目形式之一，根据以往的解题经验能够发现，在处理解析几何中点弦问题时，通常要用到平面直角坐标系，通过数形转化实现几何与代数之间的相互结合.对此，处理解析几何中的中点弦问题时，高中数学教师可以提示学生基于数形结合视角切入，使其快速找准解题的突破口，利用数与形之间的转变确定解题思路与方法，促使他们准确解题^[1].

例1 已知、是抛物线上面的两个点，弦的中点为，其坐标是（2，1），那么弦所在直线的方程是什么？

解析  这是一道典型的中点弦问题，如果纯粹使用代数方法也能够直线的方程，不过过程比较复杂，难度较大，教师可提醒学生运用数形结合思想，将几何与代数结合起来，能够有效提高他们解题的速度与正确率.

具体解题方式如下：设、两点的坐标分别是（，），（，），

于是有，，

两式相减得到，

整理以后变形为，

根据（2，1）是弦上面的中点可知，

直线的斜率，

由此得到，

所以弦所在直线的方程是，

化简后为.

2   轨迹方程问题——直接法

轨迹方程问题即为同几何轨迹相对应的代数问题，在高中数学解题几何中也较为常见，通常来说，可满足一定条件的动点所形成的图形问题就属于轨迹方程问题，或者是符合基础条件的点的全体所组成集合的相关问题.处理高中数学解析几何中规律方程问题时，教师可指导学生使用直接法来求解，就是假设动点的运动条件符合几何的等量关系为基础条件，且基础条件比较明确，无需使用特殊的解题技巧，让他们结合几何关系直接得出轨迹方程^[2].

例2  已知在一个平面直角坐标系中，点的坐标是（2，0），圆的方程是，动点到圆的切线长度同之比等于常数，且，那么动点的轨迹方程是什么曲线？

解析  这是一道求解动点轨迹方程的问题，学生可以使用直接法，按照以下步骤进行：建立平面直角坐标系；设轨迹上动点的坐标；列出动点的相关关系式；结合已知条件选择相应的距离公式或者斜率公式列出方程；证明所求方程就是符合条件的动点的轨迹方程.

具体解题方式如下：根据题意画出如图1所示的平面直角坐标系，设与圆相切于点，那么题目中的动点这时满足，然后结合平面几何知识，

分析后可以得到，

随后可以把坐标代入其中，能够得到，

最终能得出的结论是，如果，则动点的运动轨迹方程是一条直线；

如果，则动点的运动轨迹方程是一个圆.

图 1

3  曲线问题——定义法

与上面介绍的两种题型相比，在高中数学解析几何解题训练中，还有着一类比较特殊的题目，这些解析几何类试题的基础条件往往比较复杂，能够被统称为曲线问题，包括：椭圆问题、双曲线问题与抛物线问题等.高中数学教师在带领学生解答解析几何中的曲线问题时，可以采用定义法进行解题，使其以分析或说明动点P的轨迹的确符合某种特殊曲线的基本特征为前提，求出特殊曲线的相关参量数值，最终让他们顺利得到题目中所求的轨迹方程^[3].

例3  已知，两点的坐标分别是，，且是三角形的两个顶点，与两边的中线长的和是30，那么的重心轨迹方程是什么？

解析  在本道题目中，所求的是一个三角形的重心轨迹方程，属于曲线类问题，学生解答时可以使用定义法，即为先判断出三角形重心这一动点的运动情况符合哪种特殊曲线的定义，再结合题干中提供的已知条件求出这一特殊曲线的方程.

具体解题方式如下：首先可以假设的重心点的坐标是，因为与两边的中线长的和是30，

所以能够得到，

由于、兩点的坐标分别是，，且是两个定点，那么三角形重心点的运动轨迹就是一个以，两点为焦点的椭圆，

根据，能够得到，，

所以三角形的重心点的轨迹方程为

，且（）.

4  运用逆向思维

针对高中数学解析几何解题教学来说，学生往往会遇到部分与众不同的题目，处理这些问题时从正向视角切入难度较大，或者解题步骤复杂、繁多，如果不加小心就容易出现错误情况，影响他们的解题自信，甚至关系到学习整个数学课程的态度.这时高中数学教师可引导学生运用逆向思维，也就是从题目中的一些已知条件或者结论着手，对相应的条件展开转化，使其通过逆向思考逐步往回有序推理，让他们从中找到更为简洁的解题思路与技巧^[4].

例4  已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，离心率为，点的坐标是，且，满足条件，（1）的值是什么？（2）假设过点的直线和椭圆相交于点、，与的面积分别为、，请证明：.

解析  处理本道题目时，教师应当指引学生使用逆向思维，对题目内容展开逆向分析，如图2所示，假如，而，所以，则直角与Rt是相似关系，所以，.

图 2

具体解题方式如下：第（1）问比较简单，学生能够轻松求出的值是8，这里不再详加赘述；

（2）假如直线的斜率不存在，那么与是相等关系，，符合题意；

假如直线的斜率存在，那么假设直线的方程是

，，，

因为，，

所以，

则恒成立，

而且，，

又因为＝

＝

＝

＝＝0，

故，

因为与的面积分别是，

，

由此证明.

5  化曲線为直线

在高中数学解析几何解题教学实践中，由于遇到的大部分题目都是同曲线有关的问题，教师需要教导学生学会化曲为直的解题方法，这一解题技巧的本质就是利用线段或者直线来解题问题，减低解题的难度，减少他们出现错误的概率，使其做起题来更为高效.具体来说，高中数学教师在指引学生解决解析几何题目时应把握好化曲为直的方法与技巧，将曲线问题转变为直线问题，使其在最短时间内确定解题思路与计算方式，帮助他们准确求出结果^[5].

例5  在一个圆锥当中，底面的面积大小为，母线为，点是的中点，当一个动点到底面圆周上的点时，侧面就会移动至点，那么此时点与点之间最短的距离为多少？

解析  在解答这一题目过程中，教师可以提示学生基于圆锥曲线的基本性质视角切入，明确解题思路与方法，灵活使用相关公式，并结合题意画出相应的图形，直观呈现轨迹的动态化形成过程，且把曲线转变为直线，达到化曲为直的效果，使其发现会受到变量的限制，所以他们在画图过程中要注意参数的正确选择.

具体解题方式如下：根据题目中的描述可以画出如图3所示的圆锥图，把母线剪开后形成一个平面图像，这就能够发现其中是距离最短的情况，而且的大小是120°，结合余弦定理可以计算出，即点与点之间最短的距离是.

图3

6  化陌生为熟悉

对于高中数学解析几何解题教学而言，学生经常会遇到一些比较陌生或者提前没有预判到的题目，他们在短时间内很难找到解题的切入点，有时甚至不知道从何处着手，容易陷入思维障碍之中，如果不加以疏导很难顺利求解.此时，高中数学教师可以渗透转化思想，引领学生把这些陌生或者没有预判到的题目转变成熟悉的问题，符合解析几何试题的一般特征，使其精准找到解题的突破口，采用简单明了的解题步骤，从而提高他们的解题效率^[6].

例6  已知一个动圆经过点（0，1），而且同直线是相切关系，假如直线同这个动圆存在有公共点，那么圆的面积（   ）

（A）有最大值是.

（B）有最小值是.

（C）有最大值是.

（D）有最小值是.

解析  结合抛物线的定义来看，题干中提供的已知条件是动圆经过点（0，1），而且同直线是相切关系，那么点到圆圆心之间的距离和圆心到直线之间的距离一样，这表明圆心的运动轨迹就是一个抛物线，以此确定解题思路，而且使用圆锥曲线定义进行解题时，教师要引领学生用到转化思想，对相关定义进行适当转化，目的是把题目中包含的条件变得更为明确，让他们找到更为恰当的解题方法.

具体解题方式如下：根据抛物线的定义可知点的运动轨迹方程为，

假设点的坐标是（，），

因为圆心过点，

所以半径，

由于直线同这个动圆存在有公共点，

那么可以转化为点（，），

到直线的距离

，

解之得或者，则圆的半径是，

所以说圆有最小面积是，即为正确答案是选项（D）.

7  结语

综上所述，解析几何既是高中数学教学中的重点内容，还是一大难点，教师在平常教学中应给予格外关注，以详细、透彻地讲解理论知识为前提，科学合理地组织专题解题训练，为学生提供更多亲自动手解答解析几何试题的机会，帮助他们掌握多种多样的解题技巧与策略，有效降低题目的难度，使其形成清晰、明了且简洁的解题思路，最终高效的解答题目.

参考文献：

[1]王德忠.高中数学解析几何解题研究——基于数形结合思想[J].中学数学，2021（23）：56-57.

[2]杨冬梅.试论高中数学解析几何问题的教学方法[J].理科爱好者（教育教学），2021（05）：100-101.

[3]徐海棠.高中数学解析几何问题的解题技巧[J].数理化解题研究，2020（25）：40-41.

[4]凌彬.高中数学解析几何高考试题与教学策略分析[J].课程教育研究，2020（13）：153-154.

[5]黄志熇.高中数学解析几何问题的解题技巧探究[J].试题与研究，2020（02）：31.