空间任意运动刚体速度瞬轴位置的分析

樊 薇，孙慧恬，卢其宜

（江西机电职业技术学院，江西 南昌）

在工程实际中，经常会遇到分析平面运动刚体上各点的速度问题，其中有一种常用的方法为速度瞬心法，只要确定了速度瞬心的位置，刚体就可以视为绕速度瞬心转动，从而避免了求矢量合成的问题，使得求速度问题更加简便。也有文章（如文献[1]、文献[2]）讨论了用加速度瞬心法求加速度问题，由此可见，瞬心法有其便捷性。进一步想象一下，如果能确定空间任意运动刚体速度瞬轴的位置，则可以用定轴转动刚体的有关方法求解刚体上各点的速度问题，从而简化了求解过程。经文献检索，文献[3]虽然讨论了确定空间任意运动刚体速度瞬轴的位置，但我们认为还不够全面。为此，我们对这个问题进行了研究，提出了“轴向速度投影定理”。最后得出的结论认为，空间任意运动刚体存在速度瞬轴或速度动轴，因而，刚体绕速度瞬轴作转动或瞬时转动；或刚体沿速度动轴方向作螺旋运动或瞬时螺旋运动，也即刚体沿速度动轴的轴向平移和绕速度动轴转动的合成运动。

1 定理的提出

轴向速度投影定理：空间任意运动刚体上各点的速度沿角速度矢方向上的投影相等。

图1 轴向速度投影定理的证明

由于点A 和B 是刚体上任取的两点，于是上述定理得证。

轴向速度投影定理表明，刚体沿角速度矢方向上的运动类似于刚体的平移，但与真正的平移是有区别的，因为刚体上各点在垂直于角速度矢的方向上还有旋转速度，因此将空间任意运动刚体沿角速度矢方向上的运动称为轴向平移。

2 各种情况下速度瞬轴位置的分析

下面分四种情况讨论。

图2 空间任意运动刚体上速度瞬轴位置的分析

由文献[3]可知，当 ω与 ωe平行时，刚体的速度瞬轴Z 也与 ω、ωe平行，又= 0，故刚体的速度瞬轴Z 通过点A 并沿 ω方向。此瞬时刚体绕速度瞬轴Z作瞬时转动或定轴转动。

2.2.1 刚体的牵连角速度 ωe与 ω平行，如图3（a）所示。

图3 空间任意运动刚体上速度瞬轴位置的分析

图4 空间任意运动刚体上速度瞬轴位置的分析

这里有一个问题要注意，在2.2.1 的情况下，刚体绕自身某轴以角速度矢 ω转动时，由于固连在该轴上的动系相对于定系作平移，两坐标系之间没有相对转动，故 ω就是绝对角速度矢（等于针对动系的相对角速度矢），如图7（a）所示；在2.2.2 的情况下，刚体绕自身某轴以角速度矢 ω转动时，由于固连在该轴上的动系相对于定系作定轴转动，故 ω不是绝对角速度矢，而是针对动系的相对角速度矢，两者不相等。

图5 空间任意运动刚体上速度动轴位置的分析

图6 空间任意运动刚体上速度动轴位置的分析

3 例题

例 半径为r 的陀螺绕自身对称轴OO 旋转的角速度为 ω，轴OO 绕定轴O1O1作匀速圆周运动（圆柱面运动），其速度为υ，如图7（a）所示。试确定陀螺的速度瞬轴的位置。

图7 绕自身对称轴旋转的陀螺上速度瞬轴位置的分析