基于能量守恒理论的波浪侵蚀土质岸坡范围预测方法

王 力，陈玙珊，王世梅*，张 伦，郭 飞

(1.三峡库区地质灾害教育部重点实验室（三峡大学），湖北 宜昌 443002；2.三峡大学 土木与建筑学院，湖北 宜昌 443002)

随着三峡水库的长期运行，受库水位涨落和波浪作用，土质岸坡侵蚀不断推进，最大侵蚀进深已达十余米。侵蚀不仅造成库岸水土流失，影响三峡库区生态安全和制约长江上游生态屏障建设，还导致大规模塌岸并诱发滑坡灾害，严重威胁库区基础设施、人民生命财产及航运安全。日趋严重的侵蚀灾害已经成为影响三峡水库安全和可持续运行的重大关切，也是当今乃至今后三峡库区防灾减灾工作的重大挑战。

与其他水动力因素相比，波浪对库岸的持续侵蚀作用更为关键，如：在黄河三门峡水库自1960年成库后的40年内，受波浪侵蚀作用影响，产生的塌岸长达119.8 km之多[1]。通常认为山区河道型水库风浪作用较小，事实上，由于峡谷效应，三峡河谷地区是湖北省风灾风险最大地区[2]，而且三峡水库蓄水后水面开阔，风浪作用更为明显。波浪对黏土岸坡的持续侵蚀已经成为威胁地质和生态环境安全的重要问题，预测波浪对岸坡的侵蚀范围是解决该问题的关键措施之一。

海洋波浪作用强烈，导致海岸岸坡发生了直观的蚀退变形，许多地区的海岸岸坡蚀退速率达到了1～2 m/a[3]。多年以来，世界各地区积累了长期、大量海崖蚀退距离的测量数据，因此，多数波浪侵蚀海岸蚀退距离的预测研究以建立蚀退速率时间方程为主，主要方法包括定值法[4]和概率法[5]。上述两种方法主要是基于历史地形变化数据建立蚀退距离与时间的经验关系，没有考虑波浪作用海崖的侵蚀机制。因此，也有学者在波浪侵蚀海岸预测的研究中考虑了海崖的蚀退机制，如：Huppert等[6]在研究中发现了波浪能量和岩质海崖蚀退的正相关关系，构建了海崖蚀退的能量预测方程，且与调查结果对比发现预测效果较好；Gerivani等[7]发现波浪力作用方向与岩质海崖的坡度具有显著关系，并推导构建了海崖侵蚀坡度的预测方程。但这些研究仍属于经验方法，预测方程难以推广应用。

对于内陆江河水库岸坡，有学者通过长期、多次的无人机测量、波浪流速测量等手段研究了船行波浪对河岸岸坡的渐进式侵蚀，构建了岸坡的长期侵蚀预测方程[8]。但内陆水库风浪相对较小，波浪对岸坡的侵蚀进展相对缓慢，因此，能在有限时间实现侵蚀全过程演化模拟的水槽试验成为一种有效的研究手段。有学者通过波浪水槽模型试验，构建了波高与岸坡侵蚀特征之间的经验关系方程[9-10]，用以预测岸坡的侵蚀进展。随着理论与计算机技术的不断发展，也有学者将数值技术手段应用于波浪侵蚀岸坡的模拟[11-12]，由于岸坡物质组成的复杂及数值模拟技术的局限性，这些方法难以获得准确的预测效果。

综上，本文将以三峡库区侵蚀最为发育的土质岸坡为研究对象，以波浪作用为水动力条件，重点开展波浪作用土质岸坡的侵蚀范围预测研究。考虑波浪上爬岸坡的流体运动特性，分别构建波浪上爬的势能方程与摩擦耗能方程，并采用能量守恒理论最终构建波浪侵蚀岸坡范围预测方程；开展波浪上爬岸坡试验，获取预测方程的相关参数，并通过波浪侵蚀岸坡模型试验获取岸坡侵蚀的演化进程，验证侵蚀范围预测方程的可靠性。研究成果可望为水库土质岸坡侵蚀研究提供创新思路，为三峡库区库岸防治提供科学依据。

1 波浪作用岸坡的侵蚀范围预测方程构建

1.1 波浪能量转换

波浪冲刷过程中，能量来源主要为波浪携带的动能及势能。库区波浪主要因风浪产生，为深水波，适用于规则波理论，故可将实际波简化为2维波。在2维波单宽长度内的1个波所包括的总能量E为：

式中， ρ为水流密度，g为重力加速度，H为波高，L为波长。本文主要关心波浪传播至岸坡时破碎后的岸坡侵蚀效应，假定波浪破碎时损耗的能量为Eb，则最终作用于岸坡冲刷过程的总能量Eq为：

波浪破碎时能量损耗Eb计算如下：如图1所示，假定波浪的破碎能量主要在破碎波峰截面x=x1和截面x=x2之间耗散，其耗散能量D表达式为[13]：

图1 波浪破碎区的能量耗散示意图Fig.1 Schematic diagram of energy dissipation in the wave breaking zone

式中，S为单位面积、单位时间的波能损耗率，其表达式为[13]：

式中，hb为波浪破碎深度，T为波浪周期，其他参数同前。

测得破碎波峰穿越截面x=x1和截面x=x2所用的时间T1，则最终的波浪破碎损耗能量Eb的表达式如下：

波浪破碎后沿岸坡上爬的过程中，波浪所具有的能量主要转化为以下几种：

式中，Eq为波浪总能量，Qe为侵蚀土体的侵蚀能，Qt为搬运土体的搬运能，Qf为摩擦、湍流及热量损失，Qp、Qk分别为爬坡时具有的势能及回落时转化的动能。

在整个侵蚀过程中，波浪转化的各类能量处于动态变化过程而难以确定及计算。但在岸坡已稳定时，侵蚀坡角不再发生变化，侵蚀范围确定，土体基本不再受到波浪侵蚀及搬运，侵蚀能Qe及搬运能Qt消失。在波浪上爬完成的那一刻，动能全部转化为势能，此时，摩擦湍流路径固定。在侵蚀完成后，波浪沿岸坡能量转换关系如式（7）所示：

1.2 波浪上爬的势能方程构建

波浪破碎后沿岸坡上爬，上爬至最高点与静水位间的垂直距离称为波浪上爬高度R，一般用统计数据得来的Ru,2%（超越概率为2%的入射波爬高）表示波浪上爬高度的特征值。势能大小Qp与上爬水流厚度h(z)相关，上爬水流厚度分布示意如图2所示。图2中，h0为坐标原点处的水流厚度，h(xA)为xA点处的水流厚度。 Hunt[14]在大量试验研究的基础上提出了Ru,2%值的表达式：

图2 波浪上爬厚度分布示意图Fig.2 Schematic diagram of wave climbing thickness distribution

式中： ζd为波类型系数；Hs为坡角处的显著波高，一般用H1/3（波高H的1/3）表示；L0为对应的波长；c1为经验系数； θ为岸坡坡角。

Schüttrumpf等[15]完成了多次波浪上爬模型试验，包括大比例尺和小比例尺，研究发现在岸坡上波浪上爬水流的厚度呈线性衰减分布。因此，结合图2对式（8）变形整理可得波浪爬升水平距离X(R)，表示为：

如图2所示，某一点的上爬水流厚度随X(R)增大而线性增大，即满足如下关系[15]：

式中，c2为经验系数。根据图2所示的几何关系，将式（10）整理成与Ru,2%相关的方程如下：

式中：h(z)为沿高度任一点的水流厚度；ch为爬坡水流衰减经验系数，与岸坡坡度相关的函数，可表示为：

式中， θ为岸坡坡度。

根据水流厚度分布积分可得波浪上爬至最高点时的水流势能Qp表达式如下：

岸坡上的位移微分 dx=dz/tan θ，将其代入到式（13）可得：

积分求解，可得：

1.3 波浪上爬的摩擦耗能方程构建

波浪上爬时的主要能量损耗为摩擦湍流损失，表现为水流流速急速降低而产生能量耗损。在此过程中，水流动量全部传递给了土体，动量传递的结果会产生剪力，而剪力 τ与速度相关的表达式如式（16）所示[16]：

式中，u*为底部摩阻流速。由于摩阻流速难以测得，定义底部剪应力与近底流速ub的关系表达式如下[17]：

式中，f为摩阻系数，较难测定，对于坡面流体一般定义为与雷诺数Re相关的函数[18]。联合式（16）和（17），摩阻系数f可用以下形式表示[19]：

薄层水流作用于土体颗粒时，ub与u*的关系转换如下[20]：

将式（19）代入式（18）中，即可得薄层水流作用于岸坡土体时的摩阻系数f近似值为0.060 1。

Jonsson等[21]定义剪切力在位移上做功的能量耗损函数为 ϕf，表示单位时间、单位截面的能量损耗，其表达式为：

式中，U为实测泥沙起动的水流垂线平均流速，韩其为等[22]提出U与底部摩阻流速u*的关系表达式如下：

式中，h为水流深度，d为泥沙颗粒直径。

重新整理式（19）和（22）可得U和ub的关系如下：

将f值和ub的表达式代入到式（20）中，对式（20）沿路径和时间进行积分，则波浪上爬过程中的摩擦湍流损失能量Qf可以表示为：

式中：s为沿斜坡方向的坐标， ds=dz/sin θ；t为上爬时间。Schüttrumpf等[15]通过波浪上爬岸坡的模型试验获得了大量流速数据，观测发现波浪上爬过程中各点的流速是一个与位置有关的变量函数Bosman，进一步研究可得[23]：

式中：U50%为某一位置入射波超越概率50%时的水流速度；cu水流速度系数，与岸坡坡度相关，表达式为：

则水流摩擦能量表达公式可以变形为：

波浪上爬过程中的流速变化近似于匀减速过程，上爬时间为：

将式（28）代入式（27）中，进一步简化为：

1.4 波浪侵蚀岸坡范围预测方程

将势能方程（15）、摩擦耗能方程（29）、Eq表达式代入式（7）中，可得波浪侵蚀岸坡的能量守恒方程：

假定式（30）的左侧项为一固定波浪能量，其他参数为常数，则等式右侧中括号中第1项为势能方程，第2项为摩擦损耗方程。对式（30）进行试算，可见转化的势能、摩擦耗能与岸坡坡度存在如图3所示的相互关系，岸坡坡度减小时，波浪能量更多地转化为势能，而转化的与水流流速相关的摩擦耗能逐渐减小；这也说明，坡度较小时岸坡难以被波浪水流侵蚀。

式（30）包含两个待解参数，若要对其进行求解，显然需要表示 θ和R的另一方程。岸坡的侵蚀过程实际是一种土体的冲刷起动现象，侵蚀稳定终态时波流剪切力与土体的抗剪切力相等，因此，可以考虑此时波浪水流流速应与岸坡土体临界起动流速相等这一条件建立方程。然而，由于波浪流速在上爬过程中是不断变化的，难以确定固定波浪流速与土体的临界冲刷起动流速建立关系。但是，侵蚀稳定状态时与波浪流速对应的摩擦耗能是可以确定的，因此，考虑采用土体的临界起动流速来表示土体的抗侵蚀能力，从而可建立摩擦耗能与土体抗侵蚀能相关方程。本文定义岸坡土体的抗侵蚀能量Ed的大小表示为侵蚀稳定状态时，波浪上爬起点至最高点范围内波流剪切力产生的摩擦耗能。其计算过程如下：

将式（23）变形得：

再将式（31）代入到式（20），并带入参数，得到单位面积的抗侵蚀能如下：

则岸坡土体的抗侵蚀能量Ed表达式如下：

则侵蚀稳定状态时波浪的摩擦耗能与土体抗侵蚀能存在如下关系：

联立式（34）和式（30）即可建立波浪作用土质岸坡的侵蚀范围预测方程：

式（35）的第1个式子为波浪能量转化方程，第2个式子为波浪侵蚀岸坡的能量稳定方程，其中波浪上爬高度R及稳定坡角 θ为待求解的预测值。应用式（35）时需要确定的参数包括岸坡土体的临界起动流速ub、水流厚度参数ch和水流流速参数cu。其中，确定的临界起动流速ub表达式见文献[20]。本文将通过波浪上爬岸坡的模拟试验，确定ch和cu的表达式。

2 波浪水槽模型试验

2.1 波浪上爬模型试验

Schüttrumpf[15]和Bosman[23]等通过一系列的试验研究确定ch和cu值仅与岸坡坡度相关，而与岸坡坡面粗糙程度、岸坡比例尺寸等因素无关。为此，本文采用自主研制的波浪冲刷岸坡模型试验装置，开展不同坡度的波浪上爬岸坡试验，通过测量波浪上爬过程中爬高、水流厚度及流速值，分析波浪爬高、水流厚度、流速与坡度的相关性，计算确定不同坡度时的ch和cu值分布区间，从而构建其与岸坡坡度间的数学方程。

2.1.1 试验装置与方案

试验装置包括钢化玻璃水槽（尺寸：长6.0 m×宽0.5 m×高1.0 m）、岸坡堆砌板、坡度调节装置、流速仪、造波装置（无级调速电机和造波板）、摄像装置，其示意图如图4（a）所示，模型实物如图4（b）所示。造波装置由造波板、无级调速电机及调速控制器组成，无级调速电机可实现0～1 500 R/min转速的自由调整，在蓄水深0.4～0.5 m的条件下可制造波高为3～10 cm的规则波。

图4 波浪上爬岸坡模型试验装置波浪侵蚀模型Fig.4 Wave erosion model of model test device for climbing bank slope on waves

考虑到塌岸预测公式中的冲磨蚀角普遍小于15°[24]，本文设计开展了4组不同坡度的波浪上爬试验，岸坡坡度分别为7°、10°、13°、16°，每组试验采用规则波进行150次以上的波浪上爬试验，波浪上爬试验中需要测量的数据主要包括指定位置的水流厚度、水流流速及波浪上爬高度，数据测量主要通过高速摄像机结合测量尺拍摄波浪传播、破碎及上爬进程并逐帧进行分析，如图5所示。采用LS-300A便携式流速测算仪测定流速，各组试验中流速测定位置与厚度测定位置保持一致。

图5 层厚、流速及爬高测量示意图Fig.5 Schematic diagram of layer thickness, flow velocity and climbing height measurement

2.1.2 水流层厚与厚度系数方程

按照试验方案进行4组不同坡度的波浪上爬岸坡试验，各组试验中的波浪要素基本相同，试验时的静水位高度约为23.5 cm。通过高速摄像机录制并逐帧分析波浪上爬至顶部的图像，4组试验的层厚测量位置分别为静水位上0.4、1.1、0.8 和1.0 cm，参考标尺测量得到每组岸坡波浪爬高与层厚值，剔除结果变异性较大的点后绘制爬高与层厚值的分布，如图6所示。比较4组试验的爬高及固定测点的水流层厚可知，随着岸坡坡度逐渐变大，同一大小波浪的爬高也越大，且不同坡度相近测点的水流厚度随岸坡坡度的增加而增加。对比同一坡度上爬试验中的爬高与水流厚度的相关性（测点位置相近的10°、13°、16°试验组）可知，爬高越高，测得的水流厚度越大。

图6 不同坡度岸坡的爬高与层厚分布Fig.6 Climbing height and layer thickness distribution map of bank slopes with different slopes

根据图6中测得的爬高与层厚分布结果，运用式（11）即可计算获得不同坡度岸坡的水流厚度系数。受造波机制造波浪产生的误差及测量误差影响，计算所得的水流厚度系数具有一定的离散性。不同坡度岸坡的水流厚度系数分布区间及频数结果如图7所示，受限于篇幅，仅列出了坡度为7°时的结果，最终各组岸坡的厚度系数按统计学中的规定取累积概率50%时的值作为代表值。计算结果由图7可知：7°岸坡的爬高较小且测点位置的厚度相对较大，计算所得的厚度系数ch分散区间较广，分布在0.33～0.58间，累积概率50%时的ch值为0.438；10°计算所得的厚度系数ch分布在0.28～0.32间居多，累积概率50%时的ch值为0.291；13°岸坡的爬高、层厚较大且分布范围相对集中，计算所得的厚度系数ch分布在0.175～0.215间，累积概率50%时的ch值为0.19；16°岸坡的爬高较大，且爬高及层厚分布范围广，计算所得的厚度系数ch较分散，分布在0.08～0.235间，累积概率50%时的ch值为0.153。

图7 爬高试验的厚度系数分布及累积概率（坡度7°）Fig.7 Thickness coefficient distribution and cumulative probability of climbing test (slope 7°)

将上述各组岸坡试验中累积概率50%对应的层厚系数作散点图，如图8所示。由图8可知，ch为坡度相关的函数，经试算，正弦函数拟合效果最好，所构建的ch表达式如（36）所示，拟合决定系数R2为0.769。

图8 水流爬坡厚度系数与坡度相关性Fig.8 Correlation between water flow climbing thickness coefficient and slope

将图8拟合曲线与Bosman[23]的试验值进行对比可知，拟合函数能基本反映不同坡度条件下的水流厚度系数值；受试验手段的局限性及测量误差等因素影响，拟合函数与实际计算值仍有一定偏差，但总体趋势基本一致。

2.1.3 水流流速与流速系数方程

4组不同坡度的波浪上爬岸坡试验中同时测量距静水位上0.4、1.1、0.8和1.0 cm处的爬坡水流流速，剔除结果变异性较大的点后绘制爬高与流速的分布关系如图9所示。观察流速测点距离静水位位置比较相近的10°、13°和16°岸坡试验组， 10°岸坡测得的水流流速主要分布在0.75～0.95 m/s之间，13°岸坡测得的水流流速主要分布在0.70～0.90 m/s之间，16°岸坡测得的水流流速主要分布在0.55～0.70 m/s之间，流速随坡度的增加而减小。同一坡度的试验组中可以明显观察到，爬高越大时测得的水流流速越大。岸坡坡度为7°时，由于测点位置距静水位较近，水流流速较大，分布在1.1～1.2 m/s之间。

图9 不同坡度岸坡的流速与爬高分布Fig.9 Distribution of flow velocity and climbing height of bank slopes with different slopes

根据图9中测得的不同坡度爬高与水流流速的分布结果，运用式（25）即可计算获得水流流速系数cu。受各组波浪爬高不一及受波浪流速测量误差影响，计算所得流速系数也具有一定的离散性，不同坡度岸坡的水流流速系数分布区间及频数结果如图10所示，受限于篇幅，仅列出了坡度为7°时的结果，最终各组岸坡的流速系数按统计学中的规定取累积概率50%时的值作为代表值。统计可知：7°岸坡的爬高较小且测点位置的流速较大，计算所得的流速系数cu分散区间较广，主要分布在2.2～2.7之间，累积概率50%时的cu值为2.48；10°岸坡计算所得的流速系数cu主要分布在1.6～1.8之间，累积概率50%时的cu值为1.69；13°岸坡的流速分布范围相对集中，因此计算所得的厚度系数cu分布区间集中，分布在1.15～1.40之间，累积概率50%时的cu值为1.25；16°岸坡的流速分布范围较小，计算所得的厚度系数cu值分布在0.95～1.30之间，累积概率50%时的cu值为1.10。

图10 爬高试验的流速系数分布及累积概率（坡度7°）Fig.10 Flow velocity coefficient distribution and cumulative probability of the climbing test (slope 7°)

将上述各组岸坡试验中累积概率50%对应的流速系数做散点图，如图11所示，cu是与岸坡坡度相关的函数，经试算，正弦函数拟合效果最好，拟合确定的cu表达式如（37）所示，拟合决定系数R2为0.99。

图11 水流流速系数与岸坡坡度关系曲线Fig.11 Relationship between water flow velocity coefficient and bank slope slope

将拟合曲线与Bosman[23]的试验值进行对比（图11）可知，拟合函数与Bosman试验数据基本吻合，也验证了本文岸坡波浪爬高试验的结果是可靠的。

2.2 波浪侵蚀岸坡模型试验

验证该预测方程式（35）的可靠性也是一个关键问题，由于波浪侵蚀岸坡是一种缓慢、长期、动态变化的过程，因此，难以通过现场观测岸坡的侵蚀终态实现验证，而基于水槽模型开展波浪侵蚀岸坡试验是一种快速、有效的观测与验证方法[25]。

为此，本文采用波浪侵蚀岸坡模型试验装置，开展不同碎石含量土质岸坡的波浪侵蚀模型试验，获取波浪侵蚀土质岸坡的演化进程，探索干密度、碎石含量等土体物理参数对岸坡抗侵蚀特性的影响，并确定波浪侵蚀岸坡的最终稳定状态。然后，采用波浪侵蚀岸坡范围预测方程计算确定岸坡模型的侵蚀稳定坡角和对应的波浪上爬高度，将计算值与模型试验的结果进行对比，验证侵蚀范围预测方程的可靠性。需要说明的是，模型试验的最主要目的是验证本文提出的波浪侵蚀土质岸坡范围预测方法，观测岸坡形态演化特征。因此，模型试验不针对具体原型展开研究，主要考虑岸坡土体性质、岸坡结构及波浪特性等物理性质方面与研究对象一致。

因此，新经济环境是技术进步和市场进步的共同结果，技术和市场对于中小制造企业将产生至关重要的影响。正确认识技术环境发展状况和市场环境的发展状况，是中小制造企业制定战略的思维基础。

2.2.1 试验装置与试验土样

试验采用的模型试验装置与波浪上爬岸坡试验装置相同。除此之外，试验采用WGZ-200B浊度仪测量侵蚀部位的水流浊度，以此来判断岸坡侵蚀是否达到稳定状态。通过高清高速摄像机录制波浪传播时的高分辨率视频，并逐帧输出波浪传播图片，借助侧壁钢化玻璃上布设的测量尺确定波浪要素（波高、波长及周期）。

考虑到库区岸坡的实际情况，模型试验所采用的试验材料为碎石土，由粉质黏土和碎石按一定的比例混合而成，两种材料的颗粒级配曲线如图12所示。

图12 试验材料的颗粒级配Fig.12 Particle size distribution of test material

2.2.2 试验方案

作者前期研究[20]已确定黏土的干密度是影响侵蚀的主要因素之一，因此构建的预测方程也包含了干密度这一参数，所以模型试验土体材料考虑的主要控制参数便是干密度。为确定碎石对波浪侵蚀的影响，试验中也以碎石含量作为模型材料的另一主要参数。考虑到岸坡土体铺设的质量控制及库区岸坡土体的实际干密度分布，干密度选取1.45、1.50、1.60 g/cm3。根据库区土石混合体岸坡中碎石含量的实际情况，确定试验土体碎石的含量分别为20%、30%、40%和50%。按照不同的干密度和碎石含量组合，共配制6组试验用土（表1），每组土质岸坡共进行两组不同能量大小的波浪侵蚀试验。波浪能量由小变大，先完成能量较小的波浪侵蚀试验，待侵蚀状态稳定后进行波浪能量较大的冲刷试验，按此方法，通过6组岸坡可完成波浪侵蚀岸坡模型试验共12组。

表1 模型试验方案Tab.1 Model test plan

1）岸坡侵蚀稳定状态的确定

波浪侵蚀岸坡稳定的标准通过目测结合浊度仪测量结果判断。若试验中观察到坡体表面没有明显的大颗粒移动，同时连续3次以上的浊度测量值相对稳定，则可判断波浪侵蚀岸坡已完成，岸坡处于侵蚀稳定状态。第1种波浪条件下测得的浊度值随时间变化情况如图13所示。

图13 各组试验在第1种波浪冲刷过程中的浊度变化Fig.13 Turbidity changes of each bank slope during the first wave scouring process

分析图13可知：波浪持续冲刷侵蚀过程中，岸坡侵蚀变形最强烈的时间段是0～2 h内，各组试验中普遍表现出浊度值持续增加的状态，试验中观测的现象也是如此，岸坡坡面侵蚀变形剧烈。2～4 h内，岸坡侵蚀变形现象相对减弱，浊度值的测量结果也是在小范围内持续增大。4～8 h测量的浊度值均表现出波动变化的状态，此时目测的侵蚀变形已不明显，观察坡面发现已存在一层碎石护面层。8 h后测量的浊度值逐渐减小，但各组岸坡进入侵蚀稳定的时间不一，侵蚀稳定时间随干密度的增加而增加，由此可知土体干密度越大，土体颗粒越难被侵蚀，达到侵蚀稳定状态所需的时间越长。同一干密度条件时，碎石含量较大的试验组的侵蚀稳定时间相对较短，主要原因是碎石在坡面上形成粗化层，对坡面的侵蚀具有保护作用。由于波浪持续波动，冲刷流失的细粒土颗粒持续漂浮在水中，各组岸坡的侵蚀稳定浊度值均分布在20～25 NTU而不再下降。

2）波浪要素

波浪侵蚀试验的过程中，通过高速摄像装置记录了波浪的传播与破碎过程，逐帧分析波浪的传播形态照片，通过刻度线辅助测量波浪的波高及波长参数，同时根据一个周期内波浪传播过程的图像帧数换算得出波浪的周期，每一组试验测量多组数据后取平均值，最终确定的波浪要素见表2。

表2 试验中测定的各组波浪平均波浪要素Tab.2 Average wave elements of each group of waves measured in the test

3）岸坡冲刷侵蚀进程

完成的6组岸坡试验的侵蚀演化进程较为相似，本文以第1组试验的结果为例（图14），阐述波浪侵蚀岸坡的演化进程。由图14可知：试验初期的侵蚀现象非常强烈，第10 min的侵蚀照片可见岸坡前部大范围垮塌，此时的岸坡侵蚀面相对平整；其后，冲刷侵蚀速率变缓，主要的变形表现为波浪侵蚀形成浪蚀龛，由于侵蚀速度较快，形成的浪蚀龛深度较大，表层土体失去支撑发生缓慢拉裂破坏形成陡坎，陡坎位置随时间发展逐渐向后推移，因物质组成成分不同，不同位置的侵蚀宽度表现出不同的大小，如第60 min和240 min的侵蚀图所示；240 min后，变形不再明显，主要表现为细颗粒土体被冲刷流失。

图14 第1组试验的冲刷侵蚀进程Fig.14 Erosion and erosion process of the first group of model test

4）岸坡侵蚀稳定终态

在波浪的持续作用下，当波浪能量不足以使岸坡土体颗粒产生起动现象时，则可视为岸坡达到最终侵蚀稳定状态，由浊度值判别岸坡侵蚀稳定的最终状态，并测量各组试验最终稳定剖面，以第1组试验为例作图，如图15所示。

图15 第1组试验的侵蚀稳定剖面图Fig.15 Erosion stability profile of the first group of model test

如图15所示，在同一岸坡试验中，第1种波浪侵蚀稳定后，能量更大的第2种波浪会进一步对岸坡产生侵蚀，使得岸坡冲刷加剧，坡度变缓。测量的各组岸坡侵蚀稳定坡度和侵蚀稳定状态时波浪爬高值（图15中波浪入射点到上爬最高点的垂直距离）及计算的波浪能量值见表3。对比表3中数据可知，对干密度相同的两组岸坡来说，碎石含量越高，其抵抗波浪冲刷的能力越大；对碎石含量相同的岸坡来说，干密度越大，其抵抗波浪冲刷的能力越强。

表3 各组试验侵蚀稳定坡度、波浪爬高及波浪能量值Tab.3 Erosion stable slopes, wave run-up and wave energy values of each group

2.2.4 波浪侵蚀岸坡范围预测方程的验证

完成上述波浪侵蚀岸坡的模型试验后，根据试验结果对本文提出的波浪侵蚀范围预测方程组（35）进行验证。波浪冲刷的薄层水流的厚度h按试验中的厚度取15 mm，d取土样的中值粒径0.022 mm，据此计算可得

方程组（35）中，ub取黏性土坡的临界起动流速公式，将 ζ值、厚度系数方程（36）和流速系数方程（37）分别代入到土质岸坡的侵蚀范围预测方程组（35）。

方程组（35）是含三角函数的非线性方程组，通常可用最小二乘法进行求解，获取准确值时需给定适当的初值，当方程有多个解时，若初值选取不当，常出现计算偏差较大的情况。因此，考虑采用图解法求解方程组（35）。以第1组试验的模型试验参数为例进行图解计算，方程组（35）第1式为一固定波浪能量作用下岸坡坡度和波浪爬高的相关方程，将表2中的波浪参数代入其中，绘制其爬高与坡度关系如图16所示，其爬高与坡度的分布呈近线性关系，对其进行线性拟合可得拟合方程（图16），拟合决定系数为0.999 31。将拟合方程代入方程组（35）第2式中，同时将第1组试验的土体参数代入其中，绘制抗侵蚀能量、摩擦耗能与坡度的相关曲线如图17所示，两条曲线的交点即为1-1试验组侵蚀稳定坡角的计算值12.5°。

图16 1-1试验组波浪能量作用时的坡度与爬高分布Fig.16 1-1 slope and climb distribution of the test group under the action of wave energy

图17 1-1试验组抗侵蚀能量与摩擦耗能相关曲线Fig.17 1-1 correlation curves between erosion resistance energy and friction energy consumption of the test group

分析图16所示的爬高与坡度分布，可见：在一固定波浪能量作用下，岸坡坡度越大，波浪的爬高越大；不同能量大小的波浪作用于同一坡度的岸坡时，波浪能量越大，拟合函数的斜率大，其爬高越大，这也与模型试验中测得的结果一致。

由图17可知：同一波浪能量作用于同一岸坡时，坡度较大时波浪能所转化的摩擦耗能较大，则转化的势能能量较小；随岸坡坡度的减小，波浪转化的摩擦耗能逐渐减小，当坡度减小到5°以内时，转化的摩擦耗能减小幅度陡变。同时，岸坡的抗侵蚀能量随坡度的减小而缓增，当摩擦耗能随坡度减小而抗侵蚀能量随坡度增加时，两种能量出现的交点即为固定波浪作用于岸坡的侵蚀稳定坡角，将此坡角代入到图16，所对应的爬高即为侵蚀稳定爬高。将各组岸坡的侵蚀稳定坡角、爬高的计算值与试验实测值绘制成如图18所示的散点图并进行对比验证，总体来说，预测值与试验值计算结果较为接近。

图18 稳定坡度、爬高的计算值与试验值对比Fig.18 Comparison between calculated values and test values of stable slope angle and climbing height

波浪能量对岸坡侵蚀稳定坡角影响极大，无论是预测值还是试验值，表现为各组岸坡的第2种波浪作用下的稳定坡角显著小于第1种波浪作用，尤其是波浪能量较大的第5组和第6组试验更为明显。

对比同一组试验的计算值和预测值，第1种波浪作用下的侵蚀稳定坡度较为接近，预测值相对偏大，偏差仅在1°左右的范围内，此时波浪爬高的预测值相对试验值偏小。由于能量法无法考虑碎石颗粒粗化层的保护作用，第2种波浪作用下的侵蚀稳定坡角表现出预测值较试验值偏小的情况，但偏差也在2°以内，相对应的预测值的爬高也较计算值偏小。结果对比表明预测值与试验值总体相符，证明了本文提出的波浪侵蚀岸坡范围预测公式的可靠性。相对于目前多数塌岸预测方法难以确定塌岸参数，本文的预测公式具有明确的物理意义，能够准确地确定塌岸预测参数。

2.2.5 应用实例

以三峡库区树坪滑坡为例，对本文提出的波浪侵蚀岸坡范围预测公式进行应用，树坪滑坡详细概况见文献[26]。波浪要素的确定方法如下：采用树坪滑坡临近茶园坡气象自动站所记录的风速数据[2]，并应用官厅水库公式计算确定的风浪月均波高为0.062 m，波长为1.124 m。现场取样测得的黏土干密度为1.63 g/cm3，黏粒含量为24.32%。将上述参数代入式（38），计算可得侵蚀范围坡度为14.3°（冲磨蚀角），波浪爬高约为0.146 m。

考虑到库水位的周期性波动作用，侵蚀范围即为岸坡消落带全区域。岸坡侵蚀后，水上的部位因消落带岸坡侵蚀逐渐发生自然崩塌，采用极限平衡法计算确定的水上稳定坡度约为52°，将上述预测参数在树坪滑坡主剖面图中绘制，如图19所示。由于树坪滑坡消落带天然坡度较缓，预测的波浪侵蚀范围相对较小。

3 结 论

1）提出以能量守恒理论描述波浪侵蚀岸坡范围的方法，为此探索了波浪上爬岸坡过程中水流厚度、水流速度与水流爬高间的响应规律，分别构建了波浪上爬过程中的势能转换方程和摩擦耗能方程，在此基础上建立了波浪侵蚀岸坡的能量守恒方程。提出岸坡土体抗侵蚀能量这一概念，并建立了侵蚀稳定时抗侵蚀能量与摩擦耗能的关系表达式，与波浪侵蚀岸坡的能量守恒方程联立构建了波浪侵蚀岸坡范围预测方程。

2）开展了4组不同坡度的波浪上爬岸坡试验，测得了波浪上爬过程中爬高、水流厚度及流速值，结果表明岸坡坡度越大，则波浪爬高越大，爬坡水流厚度也随之增大，但爬坡水流流速随之减小。计算确定了水流厚度参数和流速参数的分布区间，从而构建了水流厚度参数及流速参数与岸坡坡度间的关系方程。

3）开展了12组不同干密度、碎石含量的波浪侵蚀岸坡物理模型试验，获取了波浪作用岸坡的侵蚀进程。试验结果表明：土体干密度越大，岸坡的抗侵蚀能力越强，且岸坡达到最终稳态所需的时间越长；碎石含量越多，岸坡的抗侵蚀能力越强，因为碎石护面作用使得岸坡侵蚀稳定的时间缩短。

4）利用波浪侵蚀岸坡模型试验的结果对本文提出的波浪侵蚀岸坡范围预测方程进行了验证，证明了预测方程的可靠性。通过波浪侵蚀范围预测方程分析了波浪上爬过程中的能量转化规律，坡度越大时，同一种波浪的爬高越大，波浪能量主要转化为摩擦耗能，此时岸坡的抗侵蚀能量较小，岸坡容易发生侵蚀，与波浪侵蚀岸坡模型试验中观察到的现象相同。