从“关联速度”看“合成法”求匀强电场的电场强度

尚振玉

(乌鲁木齐市第二十三中学 新疆 乌鲁木齐 830000)

1 “合成法”简述

匀强电场的电场强度为

(1)

已知平行于某个平面的匀强电场中3个点的电势,利用式(1)求出两个不同方向上的分场强,再对这两个分场强进行矢量合成即可求出匀强电场的电场强度[1].

【例1】(2017年高考新课标Ⅲ第21题改编)匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内a、b、c3点的位置如图1所示,3点的电势分别为10 V、17 V、26 V.试求该匀强电场的电场强度.

图1 例1题图

如图2所示,由式(1)可知,对c点有:沿ca方向的电场强度

图2 c点场强分析

沿cb方向的电场强度

利用平行四边形法则合成,匀强电场的电场强度

2 发现问题

如图3所示,同理可知,对a点有:沿ba方向的电场强度Eb a及ca方向的电场强度Ec a,利用平行四边形法则合成,匀强电场的电场强度为E2.

图3 a点场强分析

空间中的匀强电场是唯一的,显然E1和E2彼此是矛盾的,此时就会有教师和学生产生这样的想法,平行四边形法则对a点失效了[2].文献[3]认为电场强度在同一个坐标系只能分解为两个互相垂直的分场强,而不能像其他矢量一样任意分解.为了能够更好地解释平行四边形法则对a点失效的原因以及电场强度可否像其他矢量一样任意分解,笔者通过类比的思想,以“关联速度”为切入口探寻平行四边形法则“失效”的原因[4].

3 问题辨析

【例2】图4所示为在平静海面上两艘拖船A、B拖着驳船C运动的示意图.A、B的速度分别沿着缆绳CA、CB方向,A、B、C不在一条直线上.由此可知C的速度方向在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ哪个区域?

图4 例2题图

船C的速度与两根绳同时存在关联,对于这种多关联问题,我们解决的方法是各关联各的.由于缆绳不可伸长,船C沿着绳子靠向船A的同时还要绕船A转动,因此C的速度在CA方向的投影与A的速度相等;同理可知船C沿着绳子靠向船B的同时还要绕船B转动,因此C的速度在CB方向的投影与B的速度相等,所以船A的速度vA、船B的速度vB以及C船的速度vC三者之间并非合速度与分速度的关系,而是投影关系;故而在寻找vC的方向时,若已知vA与vB,并非利用平行四边形法则求解vC,应通过投影关系求解vC.

解析：由投影关系可知,过vA作垂线PP′,过vB作垂线QQ′,则vC的末端在PP′和QQ′的交点处.因船A、B的速度大小未知,图5所示为vA明显大于vB时vC的方向.

图5 vA明显大于vB时的分析图示

图6所示为vA的大小接近vB的大小时vC的方向;图7所示为vA明显小于vB时vC的方向,所以例题2的答案是3个区域都有可能.

图6 vA大小接近vB时的分析图示

图7 vA的大小明显小于vB时的分析图示

在匀强电场中使用式(1)求解电场强度时,我们要注意公式对d的要求是:沿着电场强度方向的距离.在例1中匀强电场的场强方向是未知的,那么由式(1)得出的场强Ec a、Eb a、Ec b与空间中的匀强电场E之间的关系就需要辨析清楚.

辨析1:矢量必满足平行四边形法则,电场强度是矢量,所以可将电场强度沿着任意两个方向进行分解,如果两个分量的方向是确定的,那么这两个分量的大小也是确定的,如图8所示.

图8 平行四边形法则

辨析2:在式(1)中,若d不是沿着电场方向的距离,此时计算出的电场强度是空间中匀强电场的场强在d所在方向上的投影,而非分场强,证明如下.

如图9所示,空间中存在水平向右的匀强电场E,在空间中任取a、b、c3点,过b点作电场线的垂线,其中ab1在电场线上,ac方向延长线交bb1于b2,即b、b1、b2在同一个等势面上.

图9 辩析2证明

由式(1)可知,匀强电场的电场强度

ab方向的电场强度

ac方向的电场强度

其中

Lab1=La bcosα=Lab2cosβ

可得

Ea b=EcosαEa c=Ecosβ

即Ea b是匀强电场E在ab方向上的投影,Ea c是匀强电场E在ac方向上的投影;再将匀强电场的电场强度E沿着ab方向和ac方向分解,ab方向的分场强为E1,ac方向的分场强为E2,则

所以匀强电场在ab和ac方向上的投影场强Ea b、Ea c与ab和ac方向上的分场强E1、E2是不一样的,当且仅当两个分场强相互垂直时与投影场强相等,其他角度关系并不相等.

综上所述,使用式(1)计算场强,d不是沿着电场方向的距离时,得出的电场强度是匀强电场在d方向上的投影;所以“合成法”中的“合成”二字本质理解应为投影关系而非矢量合成关系.

4 旧题新解

在根据投影关系求解匀强电场的电场强度有两个投影关系时,可类比速度关联问题中的多关联情境.在例1中,对于a点,已知投影场强Ec a和Eb a两个大小及方向,分别作出Ec a和Eb a的垂线,则Ec a和Eb a垂线的交点即为匀强电场的末端,如图10(a)所示,Eb a与水平方向成37°,设E与水平方向成α,则有

(a)

(b)图10 例1新解图示

解得

E=2.5 V/mα=37°

再对b点,已知投影场强Eb a和Ec b两个大小及方向,分别作出Eb a和Ec b的垂线,则Eb a和Ec b垂线的交点即为匀强电场的末端,如图10(b)所示, 则

解得E=2.5 V/m,α=37°,与由a点求解结论一致.

5 变式演练

【例3】如图11所示,a、b、c、d是圆O上的4个点,空间内匀强电场的方向与圆所在平面平行,ab=5 cm,cd=8 cm,∠bac=60°,已知a、b、d3点电势分别为φa=46 V、φb=21 V、φd=10 V,求电场强度.

图11 例3题图

解析：由几何关系可知圆半径r=5 cm,ad=6 cm, ∠cad=53°,对a点,匀强电场在ab和ad方向上的投影强度

应用投影关系分别作出投影电场强度Ea b和Ead的垂线,如图12所示,解得E=10 V/ cm,方向沿直径由a指向c.

图12 例3解析图

6 总结与反思

(1)电场强度是矢量,矢量必然遵循平行四边形法则,因此,我们可以使用平行四边形法则将电场强度按照任意两个方向进行分解.

(2)匀强电场中使用式(1)计算电场强度时,d必须是沿着电场方向的距离;若d不是沿着电场方向的距离,此时得出的电场强度是匀强电场在d方向上的投影.

(3)在匀强电场中,匀强电场的电场强度可以向任意方向进行投影,即投影电场可以有无数个,每一个投影电场的大小仅由这个方向决定,从式(1)定义上我们可以说投影电场是描述电势在这个方向上降低快慢程度的量.如果将匀强电场的电场强度分解到两个不同的方向上,那么这两个方向上的分场仅在相互垂直时与这两个方向上投影电场的电场强度大小相等.

(4)已知两个投影电场的电场强度求解匀强电场的电场强度时,要利用投影关系分别作出两投影电场的垂线,找到交点即为匀强电场的末端,而非将两投影电场的电场强度进行矢量合成;存在巧合,当两投影电场相互垂直时恰好满足平行四边形法则.

(5)本文以速度关联为切入口解决“合成法”求解匀强电场的电场强度问题,对“合成法”就矢量合成这一错误认知进行了辨析,为合成法的使用指出了正确的理解思路——找投影关系.通过本文能够极大地加深学生对于电场强度与电势差之间关系的理解,有效提高学生质疑与解析的能力,培养学生物理核心素养.

(6)为避免理解偏差,将“合成法”更名为“投影法”更加利于理解,更名是否合理有待后续讨论.