由事及理，让数学容易起来

林乐

摘 要：以《反比例函数》的一节课例的教学设计为例，通过具体的教学步骤，从实际生活到数学理论，充分调动学生的课堂学习积极性，让抽象的数学知识变得容易起来.

关键词：参与学习；建模思想；具体到抽象

近期在反比例函数的公开课教学中，笔者有一些实践和思考.现将本节课的教学设计整理出来，谈一谈“如何让数学容易起来”的教学感受.

1 案例背景

这节课是章节的起始课，有着举足轻重的作用.学生在此之前学习了一次函数，对函数已有了一定的理解.而本章考查的重点是反比例函数的概念、图象和性质，往往有学生会觉得比较难，主要是因为函数考查的知识面比较广，综合程度比较高.

基于反比例函数的特点，可以在教学过程中，从学生现实生活中碰到的一些鲜活问题出发，由事例推导出理论知识，帮助学生解决问题，激发他们对数学的兴趣，让他们积极参与课堂互动，加深对反比例函数知识点的理解.在教学过程中，可以适当地对学生进行引导，让学生在解决实际生活问题的同时，也理解了数学理论知识.这样由具体到抽象，由事例到理论，让学生觉得数学也不是那么难学.

2 案例描述

下面是《反比例函数》的教学设计：

2.1 创设情境，引入新课

（1） 南京与上海相距约300 km，一辆汽车从南京出发，以速度80 km/h开往上海，汽车行驶的时间为t（h），行驶的路程为s₁（km），汽车距离上海的路程为s₂（km）.写出s₁与t、s₂与t的函数关系式.

（2） 南京与上海相距约300 km，一辆汽车从南京出发，以速度v（km/h）开往上海，全程所用时间为t（h）.写出t与v的函数关系式.

（3） 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系：

① 游泳池的容积为5000 m³，向池内注水，注满水池所需时间t（h）随注水速度v（m³/h）的变化而变化.

② 计划修建一条长为500 km的高速公路，完成该项目的天数y（天）随日完成量x（km）的变化而变化.

③ 一家银行为某社会福利厂提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化.

④ 实数m与n的积是-200，m 随n的变化而变化.

活动预设：教师用PPT展示问题情境，学生自主探究问题中变量之间的关系，学生小组内交流后进行全班交流.

设计意图：以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，由第（1）题让学生回忆起上学期学习的函数和一次函数，并能找出常量与变量，建立起一次函数的模型.而第（2）题中出现了不同于一次函数的模型，再由第（3）题建立并表示反比例函数的模型.在此过程中，让学生体会学习新知的必要性，了解数学知识来源于实际生活，激发学生学习数学、解决实际问题的兴趣.

2.2 合作交流，探究新知

将上面学生列出的四个函数关系式排列在一起：

问题1：请思考这四个函数关系式有什么共同点.

问题2：怎样求反比例函数的自变量的取值范围.

活动预设：由PPT呈现所得的四个函数关系式，学生通过观察、思考、议论，类比一次函数或正比例函数，给出反比例函数的概念及自变量的取值范围.

设计意图：训练学生的抽象思维能力，为给出反比例函数的定义做好铺垫.抓住学生的认知规律，将原有的学习经验迁移到新的学习中，感悟从特殊到一般的思想方法.反比例函数的自变量的取值范围是对分式有意义的条件的深入，学生比较容易理解.

2.3 概念辨析，理解新知

给出一组习题，通过练习让学生对反比例函数的概念进行辨析.

下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，指出k的值.

講评预设：学生回答后，追问：（3）（5）是什么函数？并引导学生总结出反比例函数的三种等价形式：（其中k≠0）① y=k/x；② xy=k；③ y=kx^-1.

设计意图：给出一组辨析题，旨在让学生体会解决这类问题的关键是紧扣反比例函数的概念，即采用回归定义法.③是把反比例函数的一般形式根据负整数指数幂的定义进行变形，在后续的有关题目中会有应用.②是把反比例函数的一般形式两边同乘x得到的，可以引导学生归纳出反比例函数的本质：两个变量的乘积为定值.这样，学生对反比例函数概念的学习经历了：听懂了—理解了—学会了—会学了，真正做到举一反三、触类旁通.学生积极参与学习，发现自己容易出错的地方，相互提醒该注意的问题，这往往是对思维的一种提升.

2.4 例题教学，运用新知

例1 若y=（m+1）x^m2-2是反比例函数， 求此反比例函数的表达式.

例2 写出下列问题中两个变量之间关系的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数.如果是，写出常数k的值.

（1） 面积是50 cm²的矩形，一边长y（cm）随另一边长x（cm）的变化而变化.

（2） 一边长为5 cm的三角形，面积y（cm²）随这条边上的高x（cm）的变化而变化.

（3） 汽车行驶了1000 m，车轮旋转的周数n随车轮的直径D（m）的变化而变化.

（4） 体积是100 cm³的圆锥，高h（cm）随底面面积S（cm²）的变化而变化.

活动预设：先由学生自主解答例1，再全班交流，展示学生的解题过程.再由小组讨论例2，选派代表回答，教师即时点评.最后，在运用反比例函数概念的过程中，引导学生发表他们的收获与感悟.

设计意图：例1旨在完善学生反比例函数概念的构建，让学生准确把握定义，体会概念中常数k≠ 0；例2引导学生从实际情境中抽象出函数关系式，识别一个函数是否为反比例函数，关键是理解反比例函数的本质.此外，学生通过板演或讲解展示自己，勇于发表自己的观点，锻炼自己的表达能力，培养了严谨的思维方式；学生参与到数学问题的讨论中，让数学课堂“鲜活”了起来，通过倾听他人的见解，在交流中获益；学生学会了用函数思想去解决实际问题，体现了数学建模思想，也实现了知识向能力的转化.

2.5 生活中的数学

对于y=300/x，你能否赋予它一个实际情境？

活动预设：由小组讨论，选派代表回答，引导学生理解：同一个反比例函数表达式可以表示不同类型的实际问题.

设计意图：本节课是由t=300/v引入的，再由y=300/x结束，体现了首尾呼应.通过讨论，让学生在各小组内各抒己见.有些文静内向的学生在全班面前也许不爱发言，但在小组内可以放松下来，说出自己的想法；有的思维不太活跃的学生，在实际问题中也能说一说自己的见解，这充分体现了人人都参与到了课堂中，并让数学课堂“灵动”起来.重要的是，这和前面的教学从特殊到一般正好相反，这是从一般到特殊的思想方法.另外，学生在此过程中，要学会如何将实际生活中的问题转化为一个数学问题，然后用适当的数学方法去解决，进一步体现了建模思想.

2.6 回顾小结，布置作业

学生讨论本节课的知识点、注意点及研究方法，教师完善本课的知识框架.

设计意图：通过回顾反思，有意识地引导学生梳理所学知识、数学思想和方法，培养学生善于反思的良好习惯.特别是通过板书的呈现，使学生在认知结构上得到完善，在整体认识上得到升华.

3 案例反思

3.1 建立生活中的反比例函数模型，由事及理，让数学容易起来

反比例函数在生活中有很多现实模型，本课例从开课阶段就选取了教材及相关资料上的生活现实事例，让学生提炼出反比例函数的一般形式，从而滲透建模思想.在学生原有认知（函数概念、一次函数概念）的基础上，通过问题情境，让学生自主感知概念；通过观察讨论，让学生类比一次函数构建出反比例函数的概念；通过一组辨析题，使学生强化概念；通过例题分析，让学生运用概念；通过编织实际情境，让学生巩固、升华概念.

建模思想实际上就是从实际问题中建立起数学问题，再通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.数学源于生活，又为生活服务.学生体验了从生活中的具体事例到数学理论，从特殊到一般的研究过程，体会了反比例函数是解决实际问题的又一数学模型.同时学生也感悟了从特殊到一般，从具体到抽象的数学思想.

3.2 激发学生的学习主动性，让数学容易起来

德国著名教育家卡尔·威特曾说过：“教育的秘诀在于唤起孩子的兴趣和热情.”兴趣是最好的老师，一旦学生专注于问题探索的兴趣，就会主动投入学习之中.

教师要营造轻松活泼的学习氛围，开拓学生活跃的思维，引导学生在课堂活动中感悟知识的生成、发展与变化，充分调动起学生的积极性，让学生成为学习的主人.

学生在课堂中兴趣盎然，热情高涨，以一种轻松愉快的心态投入学习中，效果是不言而喻的.在课堂中评价方式也是多元的，生生之间、师生之间、小组之间的交流作用各不相同.这样既培养了学生的个人学习能力、语言表达能力、思考问题能力，也培养了学生团队合作的能力.教师的鼓励、同学间的赞许都会成为学生前进的动力.

在先进的教育理念指导下，教师要让学生在“乐中学”，让他们觉得学习数学其实也是一件愉快的事情，慢慢也会更容易喜欢学习数学.当然，这就对教师教育工作者提出了更高的要求，教师对教材和学生要充分了解和熟悉，以不变应万变，做到张弛有度，收放自如.

学无止境，教无止境，教师要让数学容易起来，这不仅仅要训练学生的思维，教会他们考试的技巧，还要让学生喜欢数学，让他们对数学在生活中的应用更加深刻，让他们的思维更加敏锐，从而进一步提升他们学习数学的能力.