让根“常回家看看”——运用一元二次方程根的定义解题的两种途径

文／李长春（正高级教师，江苏省特级教师）

我们都知道，若已知方程的一个解，就可以将这个解代入方程。如果将方程比喻为一个家，这个方程就是其解（或根）的“娘家”，让根“常回家看看”，就是行之有效的解题思路。

一、正向运用，直接代入

如果x0是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，则ax02+bx0+c=0。

例1若一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则代数式a-b的值是________。

解：因为一元二次方程x2+bx+a=0有一个根是-a，所以（-a）2+b×（-a）+a=0，即a（a-b+1）=0。又因为a≠0，所以a-b+1=0，则a-b=-1。

【点评】把根代入方程是解题的关键。运用提公因式法进行因式分解是代数恒等变形的基本功。

例2已知a、b是方程x2-x-3=0 的两个根，求代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值。

解：因为a、b是方程x2-x-3=0 的两个根，所以a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3。所以2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a·a2+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+（b+3）+3a2-11a-b+5=5a2-5a+8=5（a+3）-5a+8=23。

【点评】将方程的根代入方程后，得到a2与a、b2与b之间的关系，然后将a2和b2反复代入，达到降次、消元的效果。

例3若m、n是一元二次方程x2+3x-1=0 的两个实数根，则的值为________。

解：因为m、n是一元二次方程x2+3x-1=0 的两个实数根，所以m2+3m-1=0，则3m-1=-m2。根据一元二次方程根与系数的关系，得m+n=-3。所以

【点评】例3 除了运用了例2 达成目标的方法外，还结合了根与系数的关系，整体替换后再约分，从而巧妙求解。

二、逆向运用，构造方程

如果ax02+bx0+c=0（a≠0），则x0是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根。

例4已知a-2b+4c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根为________。

【点评】为什么将方程两边同时除以4 呢？事实上，我们只要善于观察，就会发现：a-2b+4c=0 与ax2+bx+c=0（a≠0），字母c的系数不同，只需将前者两边同时除以4，即能出现相同的c，再对比一下，未知数x就显现出来了。

例5实数m、n满足7m2-7m-1=0，7n2-7n-1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值。

解：因为实数m、n满足7m2-7m-1=0，7n2-7n-1=0，且m≠n，所以m、n是方程7x2-7x-1=0 的两个不等实数根。由根与系数的关系，得于是

【点评】实数m、n满足的关系“如出一辙”，就似母亲“7x2-7x-1=0”生出的一对“双胞胎”，自然就可以看成这个方程的两个根。一般地，若实数x1、x2满足且x1≠x2，a≠0，则x1、x2是关于x的方程ax2+bx+c=0 的两个不等实数根。正所谓：“两个等式一个样，构造方程来相帮。”

例6已知实数s、t分别满足5s2+5s+1=0，t2+5t+5=0，且st≠1。求的值。

【点评】我们从所求结论的化简变形可以发现：要找的是s与t之间的关系。那么，我们逆向思维，即如何构造一个方程，使其两根分别为s与。结合已知条件t2+5t+5=0，即5+5t+t2=0，只需两边同时除以t2，即可与等式5s2+5s+1=0“比翼双飞”！