解答线面平行问题的两种途径

赵瑛琦

线面平行问题经常出现在立体几何试题中.这类问题对同学们的空间想象能力和运算能力的要求非常高，主要考查线面平行的性质定理、判定定理，以及面面平行的性质定理.下面以一道题目为例，探讨一下解答线面平行问题的途径.

例题：如图1所示，在正四棱锥[S-ABCD]中，[SA=SB=SC=SD=2]，[AB=2]，[P]为侧棱[SD]上的一点．如果[SP=3PD]，那么在侧棱[SC]上是否存在一点[E]，使得[BE//]平面[PAC].若存在，求出[SEEC]的值；若不存在，试说明理由．

要判断点[E]是否存在，关键是看能否在侧棱[SC]上找一点[E]，使得[BE//]平面[PAC].由线面平行的判定定理：若平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，可知解题的关键在于能否在平面[PAC]内，找到一条直线与[BE]平行.有如下几种解法.

一、利用面面平行的性质

我们知道，面面平行的性质定理：（1）如果兩个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面；（2）如果两个平面平行，且分别和第三个平面相交，则这两条交线平行.在解答线面平行问题时，可以先根据平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行，构造或作出平行平面；然后根据面面平行的性质来证明线面平行，或寻找平行关系.

二、构造空间向量

若根据题目中的垂直关系，容易找出或作出三条互相垂直的线段，即可将其视为x、y、z轴，构造空间直角坐标系，给各个点赋予坐标，就能将线面平行问题转化为空间向量问题.只需使直线的方向向量与平面的法向量互相垂直，即可判定该直线与平面平行.

先根据题意和正方形的性质证明[SO⊥AC]、[SO⊥BD]、[AC⊥BD]，即可找到三条互相垂直的线段，于是以[O]为原点，[AC]、[BD]、[OS]分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；然后设出点[E]的坐标，分别求得直线的方向向量[BE]以及平面[PAC]的法向量[m]，得出[BE?m=0]，即可断定存在[E]点，使得[BE//]平面[PAC].

可见，解答线面平行问题，同学们需熟记并灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的判定定理及性质定理，根据几何图形的特征合理添加辅助线，构建空间直角坐标系，以寻找到最佳的解题方案.

本文系江苏省教育学会“十四五”教育科研规划课题《高中生自学能力培养的途径和方法研究》（批准号：22A09SXSQ324）研究成果.