基于POD-DNN代理模型的闸墩锚索有效预应力反演

崔 岗，周广得，凌 骐，张 翰

(1.国网电力科学研究院有限公司/南瑞集团有限公司，江苏 南京 211000；2.河海大学力学与材料学院，江苏 南京 211100；3.中国长江三峡集团有限公司科学技术研究院，北京 101100)

0 引 言

预应力锚索能显著改善闸墩应力状态与变形规律，并保障闸墩在弧门大推力作用下的安全稳定。因此，掌握预应力锚索的预应力状态，对评估预应力闸墩的安全性具有重要意义。为获取闸墩锚索的有效预应力，工程上通常选取部分锚索布置测力计，根据锚索测力计监测信息的变化规律判断锚索预应力状态是否可靠。由于锚索测力计在长期工作中容易发生损坏且难以更换，仅凭部分完好的仪器也无法反映锚索整体应力状态，因此以闸墩其他可用监测信息作为补充来推断锚索应力状态具有十分重要的工程意义。

近年来，以机器学习[1-2]、模式识别[3-4]和深度学习[5-6]为代表的人工智能方法在工程领域得到了广泛的关注[7]。葛盼猛等[8]通过BP神经拟合有限元计算结果，并采用改进的灰狼算法对大坝锚索整体锚固力进行了反演；窦思齐等[9]将锚索预应力组合简化为合力与合力矩，采用基于混合烟花算法的反演方法识别了闸墩锚索体系的等效预应力状态。基于数据驱动的方法构建结构深度神经网络(Deep Neural Network，DNN)响应模型，实现输入和输出数据之间复杂的映射关系，可以避免建立复杂的数学模型，同时结合寻优算法可以用于反问题的求解，被广泛用于损伤识别、状态评估等结构健康监测问题中。此外，本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)能够在提取数据特征信息的同时有效降低数据维数，常用于模型的降阶[10-11]。本文以某水电站重力坝预应力闸墩为例，建立数据驱动的POD-DNN降阶预测模型，并结合粒子群优化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法对锚索预应力损失进行反演预测，辅助评估预应力闸墩的工作性能。

1 POD-DNN模型构造及原理

1.1 深度神经网络

深度神经网络即多层感知器，在输入层与输出层之间包含多个隐藏层，利用反向传播过程对网络参数进行训练，对输入输出数据之间的非线性关系进行建模[12]。深度神经网络的每一层由若干个神经元组成，当前层的神经元通过权重和偏置与前一层的所有神经元连接，构成全连接神经网络，如图1所示。

图1 DNN网络结构

DNN神经网络的第i层隐含层的输入和输出为

s(i)=W(i)h(i-1)+b(i)∀i=1，2，…，m

(1)

h(i)=f(W(i)h(i-1)+b(i)) ∀i=1，2，…，m

(2)

式中，W(i)和b(i)分别为第层与第i层隐含层间的权值与偏置；s(i)与h(i)为第i层隐含层的输入与输出，当m=1时，h(0)为网络的输入；f和O为激活函数。

DNN的非线性映射能力源于非线性的激活函数，为隐含层选择合适的激活函数可以增强网络的学习能力，提高模型精度[13]。当激活函数取sigmoid函数时，输出值为

(3)

DNN神经网络的输出可表示为

(4)

DNN是一种基于有监督学习的方法，使用梯度下降算法最小化预测结果与真实值构成的损失函数，以获得最佳的网络权值和偏置，通常使用预测结果与真实值的均方误差度量网络的泛化误差[14]，即

(5)

反向传播是目前最流行的训练算法之一，通过损失函数的梯度修正网络的权重和偏差，被广泛地用于训练神经网络。为提高神经网络的训练精度与效率，目前很多研究者通过调整动量参数与学习率对梯度下降法进行优化，提出了各种优化算法，例如，SGD、AdaGrad、RMSProp和Adam。其中，Adam结合了AdaGrad和RMSProp的优点，能够基于训练数据迭代地更新神经网络权重，在高维参数空间、非平稳目标、噪声和稀疏梯度等问题上具有很好的适用性和鲁棒性[15]。

1.2 POD-DNN降阶模型

POD是一种基于模态分解技术的数据分析方法，常用于构建数学降阶模型[10]。以预应力闸墩为例，定义锚索预应力损失p∈[0，1]，当p=0时，锚索没有预应力损失；当p=1时，锚索有效预应力为0。设置n组锚索预应力损失组合得到样本矩阵X=[x1，x1，…，xn]，其中，xi为不同锚索预应力损失值组成的向量。在相同条件下，通过有限元计算闸墩在不同预应力组合下对应的位移响应，将锚块的位移响应矩阵设为Y=[y1，y2，…，yn]，其中，yi为锚块m个测点位移构成的m维向量。当锚块网格划分很密时，位移响应矩阵Y的维数很大，此时为减少计算量，使用POD对Y进行降维就很必要了。将Y进行奇异值分解

Y=Φ·Λ·VT

(6)

式中，Φ=(φ1，φ2，…，φn)，φi∈Rn和V=(v1，v2，…，vn)，vi∈Rm分别为Y的左右奇异矩阵，SVD保证Φ和V为正交矩阵；Λ为对对角矩阵，由协方差矩阵YTY特征值的平方根λi(i=min(m，n))组成，即Y的奇异值。由POD的性质可知，前几阶模态就可包含样本的主要信息[16]，设置一个阈值ξ截取前几阶基向量，即

(7)

(8)

(9)

(10)

式中，α(x)为组合系数向量。

将样本矩阵X作为输入数据、α作为输出数据训练DNN，则α(x)可由神经网络表示为

α(x)=O(W(m)h(m-1)+b(m))

(11)

由式(10)、(11)可得POD-DNN预测模型为

(12)

2 基于POD-DNN代理模型的反演方法

2.1 粒子群优化算法

粒子群优化(PSO)算法是一种基于群体的智能优化算法，其核心思想是通过粒子的运动来搜寻最优解[17]。种群的位置可表示为S=(s1，s2，…，sn)，其中，每个粒子si的位置都是一组待优化的参数，并由此计算粒子的适应度函数fitness(si)。在每次迭代中，粒子会相对于自己所经历的历史最佳位置pbest和种群历史最佳位置gbest移动。粒子第i次迭代的速度和位置为

(13)

(14)

式中，c1、c2为学习因子，通常在[0，2]之间取值，分别为调节粒子向pbest和gbest运动的最大步长；r1、r2为[0，1]之间的随机数；v为粒子速度；ω为粒子惯性权重。粒子群迭代终止条件一般设为迭代次数达到设置的最大值，或全局最优解的误差小于设定的阈值。

2.2 结合PSO的POD-DNN代理模型反演方法

代理模型的预测精度很大程度上依赖于样本点的选取，在设计空间中合理分配样本点对平衡计算成本与模型精度的关系具有重要意义。拉丁超立方抽样(Latin Hypercube Sampling，LHS)是一种分层的随机抽样方法，可以从多元分布中进行有效抽样，以较少的样本点就能反映变量的整体分布特征[18]，常被用于代理模型的构建中。

结合PSO和POD-DNN代理模型的反演步骤为：

(1)通过LHS方法在参数设计空间抽样，并通过有限元计算得到相应响应，建立设计参数-位移响应数据集。

(2)通过POD对位移响应数据降维，并根据数据集训练DNN，建立POD-DNN代理模型。

3 算例分析

3.1 工程概况

本文以某水电站重力坝预应力闸墩为例，通过POD-DNN模型对其锚索预应力损失进行反演预测。闸墩顶面高程254.5 m，中墩顺水流长41 m，墩厚4 m，混凝土强度等级为C30；预应力锚固采用混凝土锚块，顺水流方向长7.25 m，垂直水流方向中墩宽7.80 m，混凝土强度等级C45。闸墩在铅直向布置5排主锚索、呈扇形分布，锚束间夹角5°，在水平向对称于闸墩中心线布置4排主锚索，共20束主锚，每根锚束的设计吨位为3 970 kN；锚块内在铅直向布置4排次锚索，垂直水流的水平向布置3排次锚束，共12束，设计吨位为1 210 kN。正常蓄水位248.00 m，弧门支座承受的单侧最大推力顺水流方向为19 700 kN，垂直水流方向为2 120 kN。预应力闸墩有限元计算模型如图2所示。为节约计算成本，本文以铅直方向中间的4根主锚索为研究对象，进行预应力损失反演。

图2 预应力闸墩有限元模型

3.2 锚索预应力损失POD-DNN代理模型

以锚索设计吨位为初始值，识别锚索预应力损失值。锚索预应力损失范围设为[0，1]，取0时，锚索有效预应力值为设计吨位；取1时，锚索预应力完全损失。本文采用LHS方法在锚索预应力损失设计空间抽取24组样本，其中20组作为训练样本，另外4组作为测试样本。通过有限元计算锚块所有结点对应的顺河道方向位移响应，使用POD对位移响应数据降维，并构建POD-DNN代理模型。

考虑神经网络隐藏层对模型精度的影响，本文取隐藏层的层数为1～4，用于训练神经网络。不同隐含层层数和优化器的DNN训练过程见图3。由图3a可知，当隐藏层取为1时，神经网络收敛速度较慢、训练误差很大；当隐藏层取为2～3时，神经网络的收敛速度比只有一层隐藏层时提升很大，且可以获得更小的训练误差。在训练初期，训练误差随隐藏层层数的增加下降速度更快，但隐藏层为2时最终的训练误差更小，为平衡计算量与训练误差的关系，本文取2个隐藏层构建DNN模型。由图3b可知，不同的优化器对DNN的训练速度和最终误差有很大的影响，其中Adam方法的效果更好，因此，采用Adam方法更新DNN的权重和偏置，加速DNN

图3 不同隐含层层数和优化器的DNN训练过程

训练的收敛速度和模型精度。为检验代理模型的精度，将表1的锚索有效预应力测试样本代入已训练好的POD-DNN代理模型，基于POD-DNN的预测位移和有限元计算位移的均方误差为9.687 7×10-4，此时POD-DNN代理模型已达到较高精度，可代替有限元模型对闸墩锚索预应力损失进行反演。

表1 锚索预应力损失测试样本

3.3 锚索预应力损失预测

对于一个给定的锚索预应力损失组合(0.836 6，0.822 9，0.406 2，0.182 2)，通过有限元得到响应的位移响应向量y*，并将y*作为真实位移，并基于POD-DNN代理模型和PSO算法反演锚块位移为y*时的锚索预应力损失。其中，取PSO算法的学习因子c1=c2=2；惯性权重取为

(16)

式中，titer为PSO算法当前迭代次数；ωmax、ωmin分别为惯性权重最大值和最小值；Titer为最大迭代次数。

PSO算法规模取为30，最大迭代次数取为500。通过PSO和POD-DNN代理模型得到的锚索有效预应力反演结果为(0.832 9，0.912 7，0.419 5，0.167 5)，平均相对误差为5.68%，这表明本文方法能较为准确反演出锚索有效预应力。

4 结 论

本文针对预应力闸墩锚索预应力损失的不确定性问题，基于本征正交分解和深度神经网络建立了POD-DNN代理模型，并结合PSO算法构建了基于POD-DNN代理模型的高效反演方法。通过POD对位移数据进行降维，有效降低了DNN代理模型训练的计算量。比较了不同隐藏层和梯度下降优化算法对DNN训练收敛速度和训练误差的影响，得到了高精度的POD-DNN代理模型，并将构建好的代理模型应用于混凝土预应力闸墩实例，对预应力闸墩的锚索预应力损失进行了反演，验证了本文的反演方法在混凝土预应力闸墩锚索预应力损失反演的适用性和高效性。