量子力学不确定原理的教学方法探索

郭晓通 刘万芳

摘 要：在量子力学课程的学习中，不确定原理一直是重点和难点。结合量子力学史，介绍不确定原理提出的背景和不同物理学家对该理论的理解，从而引导出对不确定原理的正确解释。有助于学生对不确定原理的学习，同时加深了学生对不确定原理认识和理解，并激发学生对量子力学的学习兴趣，从而提高了该课程的教学效果。

关键词：不确定原理；量子力学

中图分类号：O413.1  文献标识码：A

量子力学是为了研究微观粒子运动规律而诞生的一门科学理论，也是现代物理学的重要基础理论之一［12］。因此，许多的物理学理论都是建立在量子力学的基础上，比如固体物理学、核物理学、粒子物理学和粒子天体物理以及其他相关的学科。然而，量子力学中存在着许多令人难以理解的理论，比如波函数的统计解释、不确定原理等。这些理论不仅是量子力学的核心内容，也是量子力学区别于经典理论的内容。为了能更好地让学生理解和掌握量子力学中的基本原理，我们尝试结合它的发展史来讲解该课程。

不确定原理是量子力学的重要原理之一。在量子力学课程中，不确定原理的讲述与学生建立该课程的图像有着直接关系。然而遗憾的是，教学中往往并不能使学生真正地理解该原理。其根源与课本中对不确定原理的讲述有着直接的关系，即：由电子单缝实验出发推导出不确定原理，或由算符不对易关系出发推导出广义不确定原理。为了让学生理解不确定原理，本文由量子力学发展中遇到的问题出发，引出不确定原理的提出，以及不同物理学家对该理论的理解，再到对不确定原理的正确解释和推导过程，从而使学生更清楚地理解不确定原理的正确物理意义，并激发学生对量子力学的兴趣。

1 不确定原理的基本内容

经典力学中，质点的运动状态可以用它的位置r→和动量p→构成的相空间（r→，p→）来描述。因此，我们可以同时并准确地测量该质点在每一时刻质点的位置、动量、能量等信息。然而，在量子力学中，一个运动粒子的位置和它的动量不可被同时确定。只能将该粒子位置和动量变化量之积限制在一定范围内，即Δx·Δp/2。该关系称为（狭义的）不确定原理，又称测不准原理。该关系主要是由于位置和动量算符不对易，使得这两个力学量无法同时被测量，从而得到了Δx·Δp/2。对于任意两个不对易的算符F︿和G︿，就可以得到广义的不确定原理：ΔF·ΔG1/2|F︿，G︿|［1］。

2 不确定原理的提出的原因与解释

2.1 不确定原理提出的历史背景

不确定原理是由矩阵力学的创始人海森堡（Heisenberg）在1927年提出的。为了更清楚地了解不确定原理的发展，首先了解矩阵力学建立的背景。

1925年，海森堡由于花粉过敏，所以不得不短暂地离开了哥本哈根的理论物理研究所。为了躲避花粉，海森堡选择了去海岛上度假。尽管海森堡名义上是去度假，但他仍然在思考量子力学有关问题。在量子力学中，最重要的问题就是玻尔的氢原子模型。玻尔的原子模型里面有个人为的假设，就是电子围绕原子核在特定的轨道上运动，而且这些轨道是量子化的。海森堡在海岛上精神充分放松，就开始思考原子的轨道。玻尔和索末菲都说有轨道，但谁见过电子的运动轨道呢？没有看见的东西为什么要说一定存在？于是海森堡抛弃了轨道的概念，仅仅认为电子是在不同能级之间的跃迁。海森堡将观测量整理成表格（矩阵），这些表格代入计算很容易得出由一个能级跃迁到另一个能级释放出的光子能量。于是海森堡将其整理成文章发表了，史称“一个人的paper”［3］。这也标志着矩阵力学的诞生。随后，约尔丹、玻恩、泡利、玻尔发展并完善了矩阵力学［45］。

尽管矩阵力学能够很好地解释氢原子的光谱，但仍存在一些难以理解问题，例如：力学量（矩阵）为什么不满足乘法交换律？为什么力学量先测和后测的结果不一样？即先测量粒子的位置再测量动量与先测量动量再测量位置得到的结果不一样。这是为什么？

2.2 不确定原理提出与海森堡的解释

由于海森堡是矩阵力学的创始人，所以他一直在思考上面的几个问题。有一天，海森堡突然意识到，微观粒子如此小，测量本身是不是会对粒子的性质产生较大的影响，从而使得它的性质测不准。1927年，海森堡就推导出了粒子位置和动量变化量之積必须要大于普朗克常数，即

Δx·Δph（1）

海森堡并把其撰写为论文《论量子理论运动学与力学的物理内涵》［6］。为了解释不等式（1），海森堡在他的文章中提出了一个思想实验。利用显微镜来测量粒子的位置和动量的思想实验（如图1所示）。显微镜的分辨率越高，测量出粒子的位置越精确。显微镜的分辨率与波长成反比例，即要想测量位置越准确，就需要用波长越短的光。而测量粒子的动量时，需要利用光子来撞击粒子，并找出反弹后的光子，从而计算出此刻粒子的动量。然而，光子撞击粒子之后就会改变粒子动量，使得粒子的动量测量不准确。要想粒子动量测量越准确，就需要采用波长越长的光子去撞击该粒子。若采用波长较长的光，粒子的动量能够准确地测量，但粒子的位置就不能准确地测量。若采用波长较短的光，粒子的位置能够准确地测量，但粒子的动量就不能准确地测量。所以海森堡得出结论，同时准确测量位置和动量是不可能的。

2.3 玻尔对不确定原理的理解与解释

海森堡发表不确定原理的论文时，玻尔正好离开了哥本哈根理论物理研究所，去挪威度假。于是海森堡将论文抄了一份寄给玻尔。玻尔看到这篇论文之后，立马收拾行李回了哥本哈根。他们见面后，海森堡希望玻尔能给自己这篇论文提点意见。于是玻尔就问海森堡，他的测不准原理有没有考虑波的问题？由于海森堡不喜欢薛定谔的波动理论，所以他就没有考虑波的问题。玻尔告诉海森堡，他对不确定原理的理解是观察者效应，观察者的测量行为影响到了结果。实际上，不确定原理的本质是粒子波粒二象性的表现，不是观察者效应。海森堡对玻尔的说法表示坚决反对，于是与玻尔产生了激烈的争执。最后，泡利从哥廷根坐火车来到哥本哈根，目的就是为了解决海森堡和玻尔之间的争执。这次关于不确定原理的争论仅仅是哥本哈根学派内部的一次论战，最后以玻尔获胜告终。

随后，在1929年，罗伯逊（Robertson）将不确定原理推广到了任意两个算符，并得到了广义的不确定原理：ΔF·ΔG1/2|F︿，G︿|［7］。对于时间和能量的对易关系，可以写为ΔE·Δt1/2。

2.4 爱因斯坦和玻尔关于不确定原理的论战

在大部分物理学家都了解了量子力学的不确定原理之后，第二次關于不确定原理的论战也即将拉开了序幕。索尔维会议上，爱因斯坦、玻尔、以爱因斯坦为代表的反对派、以玻尔为代表的哥本哈根学派和以居里夫人为代表的实验派。首先，爱因斯坦在会议上提出了一个“爱因斯坦光子箱”的思想实验。其目的就是要证明不确定原理是错误的。爱因斯坦设想了一个密封的箱子，箱子里存在大量的辐射光子，并且在箱壁还存在一个可以用快门来精准控制的小孔，如图2左侧所示。实验时，先测量箱子质量一次。控制快门非常准确，可以在Δt内释放一个光子，Δt非常小。通过时钟的指针，就可得知光子离开光子箱的确切时间了。当光子箱释放一个光子后，再次测量箱子质量，计算出减少的光子质量，从而利用E=mc2可以准确地计算出光子的能量。这样测量光子的能量和测量时间是独立进行的，互不干涉，都可准确测量，所以不确定原理不成立。

第二天，玻尔对爱因斯坦的“光子箱”实验进行了合理改进，并证明了不确定原理仍是成立的。玻尔认为测量是需要工具的，所以要想测量“光子箱”的质量，需要用到弹簧秤，于是波尔在爱因斯坦的“光子箱”上添加了一个弹簧秤，如图2右侧所示。当控制快门打开时，光子从“光子箱”中飞出，“光子箱”质量减小，弹簧秤收缩，“光子箱”向上运动，所处的引力场发生微小变化。根据广义相对论，在不同的引力场处，时间的流逝是不相同的，控制快门的时间不是准确的。另外，从引力势能较低处运动到较高处时，光子将发生红移，光子的能量也会有微小的变化。波尔根据这两点进行了简单的计算，发现测不准原理仍是正确的［8］。

3 不确定原理的证明过程

在1929年，罗伯逊已经给出了广义不确定原理的严格证明。下面，我们结合罗伯逊的证明过程，由两个算符的不对易关系导出广义的不确定原理。

设力学量算符F︿和G︿（厄米算符）是不对易的，其对易关系写为：

F︿，G︿=F︿G︿-G︿F︿=ik︿，

其中，k︿是一个算符或普通的数。以F-、G-和k-依次表示F︿、G︿和k︿在任意态ψ中的期望值。令ΔF︿=F︿-F-，ΔG︿=G︿-G-。则ΔF︿和ΔG︿也为厄米算符，它们的对易关系写为：

ΔF︿，ΔG︿=F︿-F-G︿-G--G︿-G-F︿-F-=F︿G︿-G︿F︿=ik︿，（1）

设一个态函数φ=ξΔF︿+iΔG︿ψ，其中ξ是参数。考虑积分I（ξ）=∫φφdτ=∫φ2dτ0，积分区域是变量变化的整个空间。因为被积函数是绝对值的平方，所以该积分I（ξ）是大于等于0的。将积分中的平方项展开，可得：

I（ξ）=∫ψΔF︿-iΔG︿ξΔF︿+iΔG︿ψdτ

=ξ2∫ψΔF︿2ψdτ+∫ψΔG︿2ψdτ+iξ∫ψΔF︿，ΔG︿ψdτ

将式（1）代入，得：

I（ξ）=ΔF︿2ξ2+ΔG︿2-k-ξ0

利用平方和不等式a2+b22ab，上式可化简为：

2ξ ΔF︿2· ΔG︿2-k-ξ0

再化简为：

ΔF︿2· ΔG︿2k-2=12［F︿，G︿］

可以简写为：

ΔF︿·ΔG︿12［F︿，G︿］

这就是任意力学量F和G在任何态下的涨落必须满足的关系式，即广义的不确定原理。

4 总结

本文结合量子力学发展史介绍量子力学中的一节内容——不确定原理。首先介绍了海森堡对不确定原理的理解，他认为不确定原理是由观察者效应引起的。随后介绍了玻尔对不确定原理的理解，从而引出不确定原理的正确解释，其本质是粒子波粒二象性的表现，不是观察者效应。另外，还介绍了爱因斯坦和玻尔关于不确定关系的论战。最后，进行了广义不确定原理的严格推导。通过学习相关物理学家的思维历程，让学生了解不确定原理提出的原因，使学生能更容易接受该理论。通过玻尔与爱因斯坦关于不确定原理的论战，加深了学生对不确定原理的认识和理解，另外避免了学生在学习中产生与爱因斯坦类似的想法。通过介绍相关物理学家对不确定原理的认识和理解，激发了学生对不确定原理和量子力学的学习兴趣，达到了课程教学效果。

参考文献：

［1］周在勋.量子力学教程［M］.人民教育出版社，1979.

［2］曾谨言.量子力学卷Ⅰ［M］.科学出版社，2000.

［3］Heisenberg，W.，ber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen.Zeitschrift fur Physik，1925，33（1）：879893.

［4］Born，M.and Jordan，P.，Zur Quantenmechanik，Zeitschrift fur Physik，1925，34（1）：858888.

［5］Born，M.，Heisenberg，W.，and Jordan，P.，Zur Quantenmechanik.II..Zeitschrift fur Physik，1926，35（89）：557615.

［6］Heisenberg，W.，ber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik.Zeitschrift fur Physik，1927，43（34）：172198.

［7］Robertson，H.P.，The Uncertainty Principle.Physical Review，1929，34（1）：163164.

［8］郭奕玲，沈慧君.物理学史：第2版［M］.清华大学出版社，2005.

基金项目：2021年引进博士科研启动费（211014）

作者简介：郭晓通（1990— ），男，汉族，理学博士，安庆师范大学数理学院讲师，硕士研究生导师，研究方向为天文学活动星系核。