基于自适应鲁棒的机械臂轨迹跟踪控制

赵化民,吕成兴,陈 健

(青岛理工大学信息与控制工程学院,山东 青岛 266520)

1 引言

近年来,随着机器人技术的发展,如何在不增加成本的前提下提高机器人性能以达到更高的精度和速度受到越来越多的关注[1]。现阶段的实际应用中,在保证机械臂任务完成质量与速度的同时,对于给定的轨迹达到期望的跟踪精度成为了研究的热点问题。

在机械臂轨迹跟踪问题受到越来越多人关注的同时,针对轨迹跟踪问题,各种优良的控制策略被广泛提出用以保证机械臂进行精确轨迹跟踪。比如鲁棒控制,自适应控制以及滑模控制[2]等。自适应控制可以在不确定因素和模型参数变化的情况下确保良好的系统性能,但这种方法需要大量计算设计控制律。传统滑模控制[3,4]虽然有着较好的鲁棒性和快速的响应能力,但其会引起控制的抖振从而削减系统控制性能。文献[5]提出的自适应反步滑模控制,通过推导出精确的包含摩擦的机械臂动力学模型,使系统在存在外界干扰时仍可以进行精确的轨迹跟踪。扰动观测器[6-8]通常被用来处理系统所受干扰以及系统本身存在的一些不确定性,其因设计结构简单直观而受到广泛欢迎。文献[9,10]为更好抑制抖振现象设计了一种基于扰动观测器的非线性滑模控制器,同时提高了机械臂抗干扰能力。文献[11]为解决系统的时滞效应提出了一种带有干扰观测器与状态观测器的径向基函数神经网络(RBFNN)控制方案。Tran等[12]提出一种使用终端滑模控制(TSMC)和RBFNN的机械臂自适应控制,此方法加快了系统响应速度但TSMC仍存在奇异问题。鲁棒自适应[13]跟踪控制方法也能够很好的解决系统跟踪问题且提高系统跟踪精度。以上传统算法虽然一定程度上提高了系统性能但未能使误差在有限时间内收敛或存在奇异问题。

文献[14]采用一种递归分散有限时间控制,使跟踪误差在有限时间内收敛到原点附近从而保证系统良好的跟踪性能,但其方法较为复杂。Sun等[15]将随机控制理论与自适应技术结合设计了一种克服过度参数化问题的控制器,能够保证跟踪误差的均方根任意小。文献[16]通过一种新颖的雅可比矩阵自适应(JMA)方法对机械臂进行跟踪控制,同样达到了期望跟踪精度。文献[17]以时延控制(TDC)为控制框架,提出一种无模型轨迹跟踪控制方法,能够保证较好的跟踪精度,但其具有较大的计算量。在文献[18]中,通过使用神经网络整定传统PID的方法对机械臂进行控制,保证在最小的稳态误差下完成轨迹跟踪。反步控制[19,20]设计过程独特且具有较好的不确定性处理能力,但存在干扰时也会降低控制性能。以上虽不同于一些传统方案,可以保证误差在有限时间收敛,但未考虑摩擦等外部扰动对系统的影响。因此通过以上分析以及机械臂控制系统自身特点,针对机械臂受到复杂时变扰动时的高精度轨迹跟踪问题,本文提出了一种带扰动观测器的机械臂自适应鲁棒轨迹跟踪控制策略,能够有效减小扰动对轨迹跟踪的影响且使跟踪误差能够在有限时间内收敛。

本文主要创新工作如下:1)考虑带有摩擦的机械臂动力学模型,反步跟踪控制器有效地提高了轨迹跟踪精度,并引入一阶滤波器解决虚拟控制输入的复杂求导问题。2)设计一种自适应律更新扰动观测器增益,提高了观测器性能进而准确获得扰动估计。3)所设计控制器控制精度与跟踪速度均优于非线性PD控制器。

2 机械臂动力学模型

考虑机械臂各关节类型为旋转型,故串联机械臂动力学模型推导化简得到如下形式

(1)

其中M(q)∈n×n为机械臂惯性矩阵且为正定矩阵,n×n表示离心力与哥氏力矩阵,G(q)∈n代表重力项。n分别为关节角位移,角速度,角加速度向量。τ∈n为系统输入向量,τd∈n为扰动向量,包括摩擦以及外部随机干扰。本文采用摩擦项如下

(2)

其中φ1,φ2,φ3,γ1,γ2,γ3为设计参数。

该机械臂满足以下动力学特性:

1)惯性阵M(q)为对称正定且可逆矩阵,并存在正数Mmax,Mmin使其范数有界

(3)

(4)

由于存在外部干扰信号,为了能更好地跟踪给定位置信号xd,做以下两点假设:

1)期望角度xd及其n阶导数存在且有界。

3 控制系统设计

3.1 控制器设计

在机械臂控制中,由于模型不确定性以及系统所受外部干扰的影响,系统输出不稳定导致轨迹跟踪效果差。反步法对不确定性有较好的处理能力,因此本文通过反步法设计系统的控制律,有效地提高了系统的跟踪精度。通过扰动观测器观测系统所受干扰,得到估计值,较好地克服了扰动造成的对系统跟踪性能的影响。系统结构框图如图1。

图1 系统结构框图

重新定义系统状态变量如下

(5)

Step1)定义误差向量e1=x1-xd,其中xd为期望轨迹,设计李雅普诺夫函数

(6)

定义虚拟控制量

(7)

其中k1为参数向量,引用以下一阶滤波器:

(8)

最终V1对时间导数为

(9)

Step2:定义误差向量e2=x2-α,设计李雅普诺夫函数

(10)

由误差向量可知

(11)

忽略扰动时,由式(1),(9),(11)对(10)求导

(12)

故取控制律τs为

(13)

3.2 扰动观测器设计

一般情况下,通过估计的方法来获取复合干扰τd。但估计值往往与实际值存在误差,而扰动观测器得原理就是对估计值进行修正。为了估计机械臂的扰动,很多作者提出了不同的观测器设计方法,常用形式为非线性扰动观测器。本文采用如下形式观测器

(14)

器增益。

定义李亚普诺夫函数

(15)

由式(1)与(14)可知

(16)

对估计误差求导,并由式(16)得

(17)

因此,式(15)对时间的导数为

(18)

其中

(19)

ξ为正常数,根据式(19),将(18)改写为

≤-βV3+c

(20)

其中

β=2(P0-ξ),

(21)

(22)

3.3 自适应律设计

为增强观测器对扰动的观测性能并简化参数选取过程,通过式(13)设计自适应律更新观测器增益。首先构造李雅普诺夫函数

(23)

(24)

将式(13)代入

(25)

故取P0自适应律为

(26)

4 稳定性分析

对整个系统构造李雅普诺夫函数

(27)

式(27)对时间导数为

(28)

将式(26)代入(25),将式(28)可改写为

(29)

其中

(30)

ξ1为正常数,由式(19)和(30)将(29)改写为

≤-2min[λmin(k1),λmin(k2)-ξ1,

≤-ρV+ω

(31)

其中

(32)

5 仿真结果

本文选取PUMA560机械臂为控制对象,关节均为旋转型关节。为了建模方便且易于分析,故只考虑机械臂前三个关节。各连杆质量,杆长,转动惯量见表1。给定机械臂期望轨迹:xd=[sin(0.5t),cos(0.5t),0.5cos(0.5t)]T。总扰动:τd=τ0+τf,其中τ0如式(33)所示。摩擦项参数:φ1=φ2=0.2,φ3=0.5,γ1=1,γ2=γ3=0.5。控制器参数:k1=diag[90,90,90],k2=diag[100,100,100]。

表1 机械臂物理参数

(33)

通过与非线性PD跟踪控制器式(34)进行对比,突出了本文设计控制器的良好控制性能。非线性PD控制器为

(34)

其中kp1=kp2=600,kd1=kd2=400。反步控制器与非线性PD控制器产生的实际信号为q=[q1,q2,q3]T,qPD=[qPD1,qPD2,qPD3]T。期望信号为qd=[qd1,qd2,qd3]T。

由图2与图4可以知道,存在外界干扰的情况下,非线性PD控制器在开始前2s内,对关节2、3的跟踪性能较差。而设计的反步控制器性能优于PD控制器,跟踪速度快,有良好的鲁棒性。图3与图5显示了各关节的跟踪误差,由图可以看出误差均收敛在原点附近且所提控制器收敛速度快于PD控制器。

图2 关节位置跟踪

图3 位置跟踪误差

图4 关节速度跟踪

图5 速度跟踪误差

用以下误差指标比较反步控制器与非线性PD控制器的跟踪响应特性,比较结果如表2所示。由表可知,本文设计控制器控制性能优于PD控制器且误差更小。各指标如下:

表2 指标对比

由图6可知,输入力矩为合理光滑曲线。在图7中,观测器可以快速地跟踪外部扰动,较准确的获得了扰动估计值且一定程度上提高了系统的抗干扰能力。

图6 关节输入力矩

图7 关节扰动观测

6 总结

本文针对机械臂的精确轨迹跟踪问题,提出一种带有扰动观测器的机械臂自适应鲁棒轨迹跟踪控制策略。由于反步法具有较好的不确定性处理能力,因此通过反步法对系统设计控制律,提高了系统的跟踪精度。采用扰动观测器观测系统所受扰动以获取其估计值,并且设计一种自适应律更新观测器增益,较好的抑制了扰动对系统跟踪性能的影响,提高了系统的鲁棒性。利用李雅普诺夫稳定性理论对整个闭环系统进行稳定性分析,证明了系统半全局渐近稳定。通过适当选择设计参数保证跟踪误差在有限时间快速收敛到原点附近。通过与非线性PD控制器对比,仿真结果表明了所提方法的跟踪速度与精度均优于PD控制器,验证了设计控制器良好的跟踪性能。