镶嵌·叠动·层流——耦合机制下的分形几何形式生成方法

陈心怡，孔宇航

0 引言

建筑的求解过程离不开关于几何的考量。传统建筑大多以欧几里得几何（下文简称欧氏几何）作为形式生成的基础，随着非欧几里得几何（下文简称非欧几何）1）、拓扑几何、分形几何在数学领域上的出现，相继衍生出一系列实验性建筑。本文试图以镶嵌、叠动、层流作为关键词，讨论分形几何与其他3 种几何在形式生成过程中的耦合机制及其在空间层级建构中的操作方法。1970 年代，芒德勃罗（Benoit B.Mandelbrot）提出分形（fractal）几何概念并将其作为量化自然形式结构的工具，引发建筑界关于设计观念与方法的反思：艾莉森·史密森（Alison Smithson）提出兼顾不同空间尺度的毯式建筑原型（Mat-Building）2）[1]，以分形几何自相似性强调在形式结构中“整体—局部”的层次关系，从而打破传统以单一欧氏几何空间构成的建筑模式；查尔斯·詹克斯（Charles Jencks）认为分形几何结合非欧几何形式可寻找出“无法通过现代主义纯粹与简约的方法处理”的“复杂性与组织性”操作方法[2]；桑福德·昆特（Sanford Kwinter）借助分形几何空间层级结构的缩放关系，提出将空间主观情景转变为客观对象的动态拓扑形成可度量、管理和掌握构形操作[3]。随着埃森曼（Peter Eisenman）、米拉莱斯（Enric Miralles）、里伯斯金（Daniel Libeskind）、伊东丰雄（Toyo Ito）等建筑师大量实践案例的诞生以及相关理论的递进，建筑从传统的线性组织方式走向更加复杂的非线性耦合模式，为建筑创作提供了新方法与工具。本文通过探讨分形几何与其他3 种几何之间关于镶嵌、叠动、层流的操作，解析三者在空间构图、界面组织和结构关系中的耦合方式及在形式层级建构的作用机制，构建并丰富复杂有序的形式生成方法。

1 镶嵌式组合

在以欧氏几何为生成图解的设计过程中，镶嵌方法并不鲜见，通常以嵌套和嵌入两种方式介入空间的层次性塑造。如勒·柯布西耶（Le Corbusier）运用空间嵌套创造狭长与开阔反转体验，阿道夫·路斯（Adolf Loos）运用空间嵌入丰富垂直与水平方向的视觉层次。然而，当形式生成过程中代表欧氏几何的正交网格转变为分形几何的缩放网络，镶嵌从单一操作转变为有组织的系列空间操作——各种尺度空间有序且灵动地嵌套或嵌入，促使空间呈现不同尺度层级，并形成不同于欧氏几何空间的微观尺度认知与复杂视觉体验（表1）。

表1 欧氏正交网格与分形网格比较分析

1.1 缩尺嵌套

尺度缩放作为分形几何的操作方法，与轴线网格的结合使其从设计初期便涵盖不同尺度空间的组织关系与感官体验，如平面构成以对角线缩尺的方式建立空间内外的递进关系而模糊边界、立面造型，以由下而上的图形缩尺替代垂直线集塑造体量轻盈感（表2）。日本在21 世纪兴起的“超级扁平”（Super Flat）3）[4]建筑实践，在布局上借由缩尺轴网控制空间序列组织，再以空间嵌套在叠合区域形成尺度枢纽中心，从而前置结构及构件设计，使形式在生成过程逐步向使用者尺度转变。其中，SANNA 事务所的项目最具代表性，其简单明快的空间延续现代建筑的操作方法，缩尺的操作使形式图解在初期已涵盖对结构、材料、色彩及光影的思考并贯彻至落成，使人在建筑内部停留或穿行无法感知整体形式而聚焦于每个空间的陈设布置，而外部连续平滑的完形界面却可辨别其整体性。妹岛和世（Kazuyo Sejima）设计的阿尔梅勒剧院中心（Almere Theatre and Cultural Centre）以欧氏几何方形作为完整体量，在其内部以水平十字沿海边缩尺分划区域，以此借由尺度的变化阐述3 种关系——在功能上，由大空间剧院向小空间工作室渗透；在感知上，由城市建筑群向自然海岸过渡，在体验上由专业表演向即兴创作扩散，后者更是通过庭院的嵌套混淆行走的主次路线，使人在建筑中自由漫步；在建构层面上，为了使每个尺度空间大部分界面保持一致，其在结构设计中采用隐藏构造、去结构主次性及装饰性的策略，提升人对空间陈设、色彩、光影的敏感性（图1）。平田晃久（Akihisa Hirata）设计的树屋（Tree-ness House）则在剖面设计中运用T 字形尺度缩放切分方形体量以打破楼层平行划分，其将窗构件作为三维空间与阳台、楼梯、花园空间相嵌套，一方面改变构件在室内外的二维性阅读，另一方面营造出纵向延伸性、消解体量在街区中的厚重感（图2）。

1 阿尔梅勒剧院超平空间的3种关系，底图左引自参考文献[5]，中引自参考文献[6]，右引自参考文献[7]

2 树屋T字立体构成关系，底图引自www.archdaily.com

表2 缩尺嵌套操作方法解析

1.2 循序嵌入

另一种关于轴线的分形几何尺度缩放操作主要以图形螺旋缩放控制空间单元嵌入的秩序，构建多角度边界、多层次体量、持续向外延展的建筑形式。相较于以欧氏几何为主体的层状轴线结构干涉单元在不同方向的嵌入，其以图形螺旋地缩放构成角度偏差，循序嵌入单元形成空间层层向心微缩关系（表3）。在以三角形为母题的形式设计中，赖特（Frank Lloyd Wright）设计的帕尔默住宅（Palmer House）以3 条边建立3 套层状结构作为不同尺度单元嵌入参考线，通过开放交接处并配合异型家具制造3 种界面并置的微缩关系；隈研吾（Kengo Kuma）设计的森林展馆（Forest for Living Model）整体形式看似无序，但通过结构拆解可发现，其以三角形螺旋式迭代网络为单元嵌入依据并构成结构上的稳定性，单元间呈15°、30°、60°夹角的榫卯结构，形成非均等的空间序列，从而增加多尺度的并置界面；后者图形向心螺旋的轴线关系随着单元分别在不同角度与层级嵌入，与之相交的空间脱离原单元的同时生成新秩序，最终呈现离心形式（图3）。卒姆托（Peter Zumthor）设计的德国汉诺威世界博览会瑞士馆（Swiss Sound Box）更加清晰地呈现出形式操作过程中序列的变化，其平面源于正方形螺旋缩放网格控制另两种尺度的正方形单元嵌入，后两者相叠加后，交叠空间在被线性等分后并入或独立于原有秩序，形成多个中心点并置的松散体量以制造山林穿行的意境（图4）。通过对轴线网格的缩尺嵌套、循序嵌入操作，形成以多边形缩放替代层状结构，从视觉上影响边界感知的新方式；由尺度层级归类独立单元，将其中涉略的结构、材料、色彩与光影前置设计，从使用者角度营造各尺度单元的特定感知，而使原为过程稿的形式图解贯彻至建筑落成。

3 森林展馆螺旋构成与帕尔默住宅层状构成比较，左上实景图引自参考文献[8]，左下模型图引自 www.kkaa.co.jp

4 共鸣箱空间构成拆解

表3 循序嵌入操作方法解析

2 叠动式关联

随着非欧几何在建筑实践中的运用，相关界面组织由静态模数控制衍生至动态图形关联，并以叠动的方式参与界面序列建构。作为一种操作方法，叠法并非简单地复制。柯林·罗（Colin Rowe）提出运用多尺度界面并置呈现透明性拓展空间深度[10]，埃森曼主张基地考古与尺度缩放，通过多尺度界面堆叠重构历史线索以丰富空间内涵[11]；在三维曲面网络中，叠法增加动态属性构成叠动式关联操作，由曲率控制界面间的错动或交错关系，模糊水平面之间的层次性及柔化垂直面在转角交接的刻板性，进而产生不稳定运动势能，形成既互惠又冲突的空间状态（表4）。

表4 欧氏塑性与非欧弹性界面组织比较分析

2.1 错动堆叠

堆叠（stack）作为水平界面的组织手法，以自相似的图形叠加构成某种序列关系，并不受时间与空间限制，形成蒙太奇的空间剪接体验。在以分形几何为主体的堆叠操作中，图形尺度跟随水平界面的高度缩放以此产生的间隙空间，以逐级渐变的立面视觉层次替代硬性垂直面，从视觉上拉近人与建筑之间的尺度差异（表5）。错动即在错位的基础上借助曲率组织垂直界面，形成动态的立面韵律并以连续角度变化化解界面夹角冲突的矛盾，如RCR 事务所设计的贝尔洛克酒庄（Bell-lloc Winery）以铝板间隔地沿着倾斜山体的断面和道路曲线排列并延续至建筑内部，通过顶部与一侧铝板错动的缝隙引入光线，形成同一材料在外部以实体界面感知山势起伏而在内部以虚体光影体验洞穴神秘的两种氛围（图5）。米拉莱斯在形式操作中将两种手法耦合，其早年作品基本以三角形组合确定曲率使各尺度单元沿其错动并在不同高度的水平面堆叠，以威尼斯建筑学院（Venice Shool of Architecture）设计方案为例，其将场地范围内钟楼的视线与边线建立曲率控制关系，在建筑各尺度单元层级堆叠中通过错动产生垂直方向的间隙，进而与城市的广场与街区空间相互渗透（图6）。与汉诺威世博会荷兰馆（Dutch Pavilion for EXPO 2000）的堆叠操作相比，其空间单元至构件在垂直向的尺度缩放存在三角形稳定性的结构考究，向上延伸空间，同时以建构性与表现主义划清界限（图7）。

5 贝尔洛克酒庄内外错动的界面虚实变化，引自参考文献[12]

6 米拉莱斯的曲面错动线索：牛角包曲率计算与威尼斯建筑学院方案设计比较，底图a引自参考文献[13]，总平面b引自参考文献[14]

7 汉诺威荷兰馆（左）与威尼斯建筑学院（右）堆叠操作对比，模型图左上引自参考文献[14-15]

表5 错动堆叠操作方法解析

2.2 交错并置

并置作为另一种界面序列的操作手法，主要运用于垂直界面的组织。在以分形几何为主体的并置操作中，同一尺度单元作为一类秩序，通过并置产生层级“互文性”（intertextual）[16]形成多重阅读——凭借图形的自相似性建立跨层级的非连续性关联。交错通常用于转角界面的空间层次建构，以欧氏几何为主体的交错处理通过转角处局部削切形成虚空间增加X、Y 轴的阅读性，而非欧几何的凹凸曲面通过交错形成两种鱼眼透视——以曲面膨胀放大转角形成视觉聚焦或以曲面挤压微缩转角而开阔视野（表6）。两种方法耦合操作在米拉莱斯设计的苏格兰议会大厦（Scottish Parliament）有所呈现，其利用船型（或树叶、鱼型）4）[17]曲面交错在端部与中部空间制造鱼眼透视，以多尺度并置的方式形成从宏观至微观空间收缩与开朗的交替关系：整体上从亚瑟古迹（Arthur's Seat）俯视，多尺度船型单元沿各角度向下聚集；从广场眺望，抽象的峭壁的斧型格栅与石材饰面沿山体轮廓之字形向下舒展；而在建筑庭院内仰视，空间挤压后膨胀、斧型材质缩放形成富有层次的人工峭壁游观体验（图8）。中观上，厅由排架与格栅、异型天窗与柱两种界面构成，前者结合凹空间制造向心聚焦氛围暗示议会功能；后者单元轮廓为凸空间包容各个方向人群，天窗与柱以停留与走动区域的持续变化勾勒出交流空间[18]（图9）。微观上，楼梯交通界面以偏转的台阶与平台、错位的栏杆与窗框在垂直界面上构成互惠且矛盾的层级转换空间，即站在中部平台压低的平台尽收上下楼层视野但亦是相互独立的景象（图10）。对界面组织的错动堆叠、交错并置处理，可凭曲率逐步偏转其序列，以抽象自然山水与城市脉络的动态韵律，通过柔性衔接替代界面硬性植入，消解空间尺度落差的不适，突出的建构性使建筑游离于人工与自然之间。

8 整体界面：聚集、舒展、缩放的3种序列关系，底图引自参考文献[13]

9 厅界面：凹、凸界面的交错并置对比，底图左引自参考文献[13]，中引自www.archdaily.com，右引自www.archive2021.parliament.scot/visitandlearn/15807.aspx

10 交通界面：构件交错并置的互惠与冲突，底图左引自参考文献[13]

表6 交错并置操作方法解析

3 层流式操作

当设计借助于计算机运算模拟，形式的数字化生成过程便是一种图解方法[19]。拓扑几何空间连续性与分形几何结构层次性经数字化耦合，形成依据点集矩阵抽象提取场地线索、再映射至空间的层流5）式操作方法。其突破以莫比乌斯环（Mobiusband）、克莱因瓶（Klein Bottle）为表征的形式设计探索，从建构层面生成不可预知的空间形式（表7）。斯坦·艾伦（Stan Allen）提出以点、线矢量化流体运动的设计方法[20]；比尔·希利尔（Bill Hillier）将建筑视为层级逐级分岔的非线性系统，主张以拓扑深度提炼形式组构（Configuration）关系进行优化设计[21]。两者均以层为构形焦点进行层流式操作，使形式结构生成由固体向流体关系转变[22]，其中，点阵随力流偏移引发图形形变而铰链架构则反映形式生成过程的尺度迭代次数。其替代以几何完形为伊始的结构设计，将后者抽象为隐喻的轮廓、图案元素置于空间、结构及构件中，从操作层面改变基于多米诺体系的形式生成方法。

表7 层流式操作：形式的生成逻辑转变

3.1 网壳扭曲

在以几何完形展开的网壳结构设计中，19 世纪至 20 世纪初受限于图形的力学与材料施工约束使其通常运用于大跨度结构设计；20 世纪末期，随着钢构、木构、膜结构在工艺上的更新并通过结构分形分散受力、减轻材料重量使其突破形式瓶颈而应用于多类型建筑；进入21 世纪后，3D 打印等技术的突破增强了非线性建造量化施工可行性，意象构思借助于计算机点阵受力模拟再进行图形拓扑，通过图形受力扭曲生成不可预知的网壳形式（表8）。扎哈·哈迪德事务所设计的阿卜杜拉国王石油研究中心（King Abdullah Petroleum Studies and Research Center），以点阵抽象气流运动轨迹作为塑性依据，相较于阿布扎比卢浮宫（Louvre Abu Dhabi）的屋顶分形网壳结构与墙体脱离，前者通过模拟中庭加压通风使点阵分别受力位移，对应的六边体集群经过计算机拓扑呈现三维形变和分形，再以各个单元内点阵在微观尺度的力流拓扑优化其内部的风环境及细部构件，从美学感性升华至利用、扭转不利条件环境生成形式的功能理性，使结构体系向复杂的生物构造转变（图11）。

11 阿布扎比卢浮宫（上）与阿卜杜拉国王石油研究中心（下）网壳分形与网壳扭曲比较，底图来源：www.jeannouvel.com/www.zaha-hadid.com

表8 网壳扭曲操作方法解析

3.2 折板缠绕

在20 世纪末期的线性拓扑设计中，里伯斯金以带有隐喻的造型、解体后重组的构成使其结构有别于其他折板结构对场地地形、轮廓的折叠处理，其将形式缠绕的方向、尺度缩放的程度等一系列动作融入对城市演变历史的思考，通过折法重构历史片段关联性，形式生成过程深度参与到城市和建筑的关系中[23]（表9）。在日本鱼津市的“外线”（Outside Line）构筑物设计中，其将折板以不同尺度向上收缩抽象太阳和地平线的距离变化规律，并与地下森林博物馆轴线对位，以连接线的方式介于建筑与自然之间；在德国波茨坦广场（Potsdamer Platz）设计方案中，与库哈斯理性分隔的柏林墙方案不同，其按历史重要节点分类街区、建筑和景观构筑将其抽象为10 种宽度、高度、厚度折线并沿“共鸣板”缠绕，以同一空间多种折痕、同一折痕分散不同界面表达对场地各历史时期断层的反思；从柏林犹太人纪念馆（Jewish Museum Berlin）的多角度互缠至荷兰大屠杀纪念馆（Dutch Holocaust Memorial of Names）的平行缠绕，其将V &A螺旋体从折板结构发展为兼容各类形式的操作手法，通过折法与缠法前置结构设计回应城市或建筑的过往，并以结构、构件、材料肌理3 种尺度呈现，结合三者的历史交叉与并行关系选择旋转或平行的缠绕方式（图12）。里伯斯金的建筑实践提供有别于网壳扭曲的拓扑几何与分形几何耦合思路，其延续埃森曼的基地考古操作并发展至建构的每个动作，使意志融入形式生成过程而非借助于几何图形呈现，如其所述“建筑图纸既是对未来可能性的前瞻性展示，也是对特定历史的恢复，它证明了它的意图”[24]（图13）。

12 鸟津外线装置、波茨坦广场设计方案、V&A博物馆设计方案，引自www.libeskind.com

13 V&A螺旋体的多尺度折板缠绕操作，底图引自www.libeskind.com

表9 折板缠绕操作方法解析

4 结语

设计并非仿造可见的事物，而是创造出不可见的形式。借助计算机算法生形使分形几何的形式生成方法由局部至整体的线性构成走向非线性关联与组构，也使建筑形态更趋近于复杂的自然生态结构。文章对分形几何与欧氏几何、非欧几里得几何、拓扑几何3 种耦合方法进行了探讨，其根源是对建筑形式生成逻辑的批判性思辨。通过解析镶嵌、叠动、层流的3 种操作方法，类比当代形式设计思路在空间轴线、界面、结构3 个层面的转变，论述缩尺嵌套、循序嵌入、错动堆叠、交错并置、网壳扭曲及折板缠绕6 种手法中的几何形式特征与构成规律，建立复杂有序的形式生成方法，为在空间的诗性层面上操作提供更广阔的选择性（图14）。

14 几何与几何之间耦合的18种操作方法

注释

1）非欧几里得几何（Non-Euclidean Geometry）：广义上泛指一切和欧几里得几何不同的几何学；狭义上是指罗氏几何或黎曼几何；通常定义的非欧几何是指罗氏几何和黎曼几何二者。为了区别拓扑几何空间操作，文章是指狭义上非欧几里得几何。

2）十人组中艾莉森·史密森将毯式建筑定义为匿名集体（anonymous collective）的缩影，在匿名集体中，功能来丰富结构，个体通过一种新的、无序的秩序获得新的行动自由，这种秩序基于相互关联、紧密编织的模式并具有增长、缩小和变化的可能性，详见参考文献[1]。

3）超级扁平（Super Flat）：村上隆（Takashi Murakami）提出：“无限平坦的地平线都是宽广无边的空间”“‘高级’和‘低级’终将平坦地并列在一起”等平级思想。其体现日本亚文化中，信息化社会使用计算机表现形式和新组织的存在状态。五十岚太郎将其引入建筑学范畴，并解析1960年代出生的日本建筑师实践作品特征，归纳为两个特征：（1）以立面设计为核心；（2）层次结构的解体，不区分表面和内部且不依据空间与结构优劣设计排布，详见参考文献[4]。

4）米拉莱斯在其一系列方案草图中绘制了树叶、船和鱼3种意象，均用来代表苏格兰的自然与海洋文化，详见参考文献[17]。

5）层流，在物理学中为流体的一种流动状态——分层流动，文中所指空间在拓扑几何与分形几何耦合操作中呈现一种层级流动规律。