立足身边事，书好数学情——一元二次方程在利率问题中的应用

北京教育科学研究院 丁明怡

北京市陈经纶中学分校 曲 静

北京市朝阳区教师发展学院 张 东

一、教学内容分析

（一）内容分析

本节课是“23．1实际问题与一元二次方程”的第一节课，在数学知识的应用、思想方法的渗透、核心素养的培养等方面有着很重要的示范和引领作用。教学中以课本为参考，以结构化、情境化、活动化为原则创设真实情境，讨论如何用一元二次方程解决实际问题。

（二）学情分析

学生已经学习了一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程（组）解法及其应用；一元二次方程的解法；对列代数式、建立数学模型、寻找实际问题中的等量（不等）关系有一定的经历和经验，具备了一定的总结归纳的能力，但还是有一部分学生反馈，在解决实际问题时不能找出各要素之间的关系，建立正确的数学模型有很大困难。因此笔者在教学中以学生的认知为前提，在情境中提出问题、理解问题、解决问题，让真实情境与数学问题相结合，从而让学生经历数学建模的基本过程，发展学生的核心素养。

（三）教学目标

（1）能根据借款问题中的数量关系，列出一元二次方程，并知道要根据问题的实际意义，检验结果是否合理；（2）经历将借款问题抽象为数学问题，并建立一元二次方程模型解决利率问题的探究过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，发展模型观念；（3）感受用一元二次方程模型描述“利率问题”数量关系，感受数学与现实生活的密切联系，体会如何用数学语言表达现实世界，培养勇于探究的精神；（4）从数学角度体会加强网络金融管理的必要性，渗透社会主义核心价值观。

（四）教学重难点

重点：建立一元二次方程模型解决“利率”问题；难点：理解题意，建立正确的数学模型解决问题。

二、教学过程

（一）借助情境，发现问题

情境引入：

网络借贷是互联网经济下新生的借贷模式，由于其简单的审核、高速的放款吸引了不少年轻人借贷，可最终还是有人付出了沉重的代价。广州某高校大二的学生小金就深受其害，3个月的时间，她借的2000元钱在精心设计之下，利滚利竟变成了总欠款达11万多。

2017年12月小金因为急需用钱，在网络上查找到一家自称专门为在校学生提供借贷的网络APP平台L。平台L称贷款的周利率是30%，但是采取借一押一的方式，就是如果一周内还不上借的2000元，欠款就变成4000元。小金当时认为自己有兼职工作，一周能还上欠款及利息，但事实是没有还上。于是小金在平台L的介绍下又通过别的APP平台借钱，用借来的钱还平台L的款，但还钱时只能先还欠的利息，利息还完后才能还本金。3个月后，虽然小金已经还了2万多但是总欠款额已经达到了11万多。无奈之下小金只能告诉父母，让父母帮助来解决问题。

教师追问：上面的案例中，很显然小金掉进了网络金融陷阱了，在现实中类似小金这样的案例很多。你觉得一般情况下借款后需要偿还的还款总额与哪些因素有关？

师生活动：学生思考并发表自己的看法，教师肯定学生分析的原因，并逐渐引导学生总结提炼成数学因素。

学生1：与利率的多少有关。

学生2：与贷款总额和贷款的时长也有关。

学生3：还与计算利息的方式有关，比方说是单利计算还是复利计算，是不是需要“利滚利”。

学生4：与还款的方式也有关，还要看是向谁借的钱，如果不是正规渠道可能还有一些额外的条件。

教师：同学们说得都很好，概括起来实际还款总额一般与借款本金、借款期限、借款利率和还款方式等因素有关。当然以上只是一种理想化的数学分析，影响实际还款总额的因素可能还有很多。

设计意图：（1）创设真实的情境，引发学生对于现实问题的思考；

（2）分析影响还款总额的因素，引导学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析现实世界，进而用数学语言表达现实世界。

（二）分析问题，理解题意

教师提问：如果平台没有要求小金“借一押一”，借款本金只是2000元，按照上述周利率30%计算，其间没有提前还款的情况下，“利滚利”两周后小金要还款总额是多少？

师生活动：教师出示情境，学生先独立思考然后回答上面的问题。

学生1：借款利息＝本金×利率×借款时间，因为是按照周利率计算，所以两周后小金的还款总额是本金加利息，即3380元；

学生2：两周后总还款额是3380元，首先在第一周后利息是600元，还款总额是2600元，因为是“利滚利”即“复利”，所以在第二周时借款本金就变成了2600元，即第一周的利息变成第二周本金的一部分，也会生成利息。所以两周后还款总额是3380元；

为了帮助学生理解每一周应还款总额的构成情况，教师做演示如下（见表1）：

表1 每周应还款总额的构成

设计意图：以现实情境为背景，拉近学生与实际问题的距离，激发学生探究的兴趣。以具体的借款金额、借款利率、借款时间为例，解释“利滚利”的意思，帮助学生解除理解上的困惑，加深对问题的理解，从而为后面建立一元二次方程模型做好铺垫。

教师追问：如果按照上述条件，小金在前三周里都没有还款，那么在第三周后小金的还款总额应是多少？

师生活动：学生思考并解决问题，师生达成共识。

设计意图：再一次感受题意，检验学生是否理解。

（三）提炼模型，解决问题

探究：小金毕业后就参加了工作，但试用期工资很少且不提前发放，所以日常开销就成了问题。她吸取上学时的教训，决定向爸爸借5000元钱。但爸爸为了激励小金，决定按月（不足一个月时按一个月计）复利计息（即“利滚利”），如果2个月试用期满后一次性还清本息，则小金需还给爸爸6050元。那么爸爸向小金收取的月利率是多少？

分析：设每月利率为x，用代数式表示，第一个月后的利息为______元，应还款总额为______元，第二个月后的利息为______元，应还款总额为______元。

师生活动：学生先独立思考然后组内讨论，分析问题并解决问题，按照分析的提示讨论完成代数式的表示部分，找到关系并列出方程，教师鼓励学生讲出自己的困惑，逐步让学生分析找出等量关系并列出方程。

解：设每月的利率是x

解得x1＝0．1，x2＝－0．12（不合题意，舍去）

答：每月的利率为0．1，即10%。

设计意图：学生根据理想化的模型用一元二次方程解决实际问题，并能根据实际意义，检验方程解的合理性，从而初步感知模型的建立过程。让学生感知数学建模是连接数学与现实的基本途径，从现实生活中或具体问题情境中抽象出数学问题，并用数学符号表示其中的数量关系和变化规律，也就是用数学语言表达现实世界。

问题1：如果按照上面的利率计算，经过三个月后小金一次性还完本息，那么她最终还给爸爸多少钱？

答：经过三个月后小金还给爸爸6655元。

师生活动：学生计算出3个月后的还款总额，感知如果不尽早还款，随着时间的推移；按上述方式还款的话，还款总额会非常大。教师让学生复盘还款总额的计算过程。

（四）类比探究，发现规律

问题2：如果借款本金为m元，每月的利率为x，按照“复利”计算，一次性还清本息且期间不还款，则经过n个月后还款总额为______元。

设计意图：本部分内容是探究的延伸内容，目的是让学生把问题思考更进一步，体会模型思想。因为涉及的模型超过了2次，所以这里没有要求学生列方程解决实际问题，只是要求学生列出代数式，用数学符号表示现实问题，体会模型的意义。

（五）思维拓展，提高能力

问题3：由于小金努力工作，在向爸爸借了5000元满一个月后拿到一笔奖金，小金非常高兴当天就还给爸爸2000元。又过了一个月后，小金又给了爸爸4800元作为还款。那么，如果按照“复利”计算，小金付给爸爸的平均月利率是多少？

师生活动：学生独立思考并给出解法，在讨论中学生争议比较大的是第二个月开始时的本金怎么表示，经过师生的共同讨论后，学生明白了该如何计算。

解：设平均月利率为x

解得x1＝0．2，x2＝－1．8（不合题意，舍去）

答：平均月利率为0．2，即20%。

设计意图：在探究的基础上设置不同层次的问题，对实际问题进行变式，加深学生对问题的理解，进一步用一元二次方程解决实际问题，从而也让学生感知“高利率”借款的可怕。

（六）小结反思，提升认识

教师与学生一起回顾本节课所探究内容，并提出下面的问题。

问题：本节课在探究“复利”借款问题时，都经历了怎样的过程？你有哪些收获和感悟？你对一元二次方程的作用有哪些体会？

学生1：经过这节课的学习，我发现借贷问题也可以变成数学问题来研究，可简单也可以复杂，并理解了其中的借款本金、借款利率、借款期限、还款方式等对最后还款额的影响，还有列方程可以解决一些实际问题。

学生2：通过这节课的学习，我体会到网络借贷陷阱的可怕，自己一定要保持清醒的头脑，在自己能力范围内理性消费。

学生3：我知道了该怎么列一元二次方程解“复利”问题，一定要清楚借款时的本金和利率是多少，还款方式是什么样的……

设计意图：通过思考、交流让学生对本节课内容进行回顾，培养学生归纳概括能力。教师可以从学生的总结中提炼本节课的一些核心关键词，如一元二次方程解决实际问题、列式、检验等。总结过程中，让学生积极主动参与，在研究情境问题中探究建立数学模型的过程，动手动脑，交流中感悟，研究中提升，培养模型观念等数学素养。

（七）作业及目标检测设计

小金将2万元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1万元用于教育投入，剩下的1万元及所得利息又全部按一年定期存入银行，若存款利率不变，到期后本金和利息一共1．32万元，则这种存款方式的年利率是多少？

设计意图：为了促进学生更好地理解利率问题，作业题保持了与课堂一致的情境，是课堂问题的续延，但在问题中加入了新的影响元素，思维力度各有不同，多层次多角度地拓展学生的思维。

三、反思

本节课依托问题情境，使学生经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程，形成模型观念。其中在创设问题情境方面具有以下四个特点。

一是情境的真实性。本节课以网络上比较热的网络贷款为大背景，以真实故事为情境，探讨利率问题，源于实际的案例激发了学生的学习兴趣，使学生充分感受到数学就在身边。

二是情境中问题的挑战性。创设情境后，教师并没有直接给出具体的数学问题，而是提出具有一定真实性、复杂性的思考问题“你觉得一般情况下还款总额与哪些因素有关？”通过这一问题，引导学生关注分析数据的规律性。

认识到在建立数学模型研究一个复杂问题时，通常可以先从影响此问题的有关因素入手进行分析，明确了影响因素后方能有的放矢，建构有关模型。这一问题，对于学生有一定挑战性，引起了学生的认知冲突，也给学生指明了数学建模的思考方向。

三是情境中问题的发展性。本节课围绕借款情境，教师提出一系列拓展性问题。从已知借款本金、借款利率、借款期限，求还款总额，到反过来已知借款本金、借款期限、还款总额，求借款利率；从具体数字规律，到一般字母规律；从一次性还款到提前部分还款，围绕一个情境，不断提出思维进阶性问题，让学生充分经历运用代数式、方程等模型解决问题的过程，体会不同模型的应用条件，增强学生建立模型表达数量关系、解决问题的能力，感悟“数学是认识、理解、表达真实世界的工具、方法和语言”。

四是情境的育人价值。本节课选取发生在校园里的真实案例为情境，让学生充分感知发生在身边的网络陷阱的可怕，它提醒自己时刻保持清醒头脑、辨别真伪、理性消费，不侥幸不贪小利，用自己的智慧和劳动换取自己想要的生活，从而也体会到了国家对网络管理的必要性与合理性。

核心素养是学生在认识真实世界、解决真实问题过程中所表现出的关键能力与必备品格。因此核心素养的培养离不开真实问题，让我们一起注重情境设计，让学生的核心素养在与真实问题有关的活动中逐步得到发展。