基于数学文化视角的情境设计与实践——数学模型在探究“漏壶计时”问题中的应用

北京教育学院 贾小宇

北京市景山学校 洪 晔

北京教育学院 伍春兰

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，“数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分”“数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。数学教育承载着落实立德树人根本任务、实施素质教育的功能”。义务教育数学课程标准的理念强调“实施促进学生发展的教学活动”“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者”。通过创设真实情境，引导学生“发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题”，逐步形成核心素养。我们以上述观点为创设数学文化视角情境的依据，深入挖掘教材中具有文化背景的素材，让学生在动手制作的情境中，真切感受到我国古代科技和文明的成果，经历运用数学建模思想解决问题的完整过程，积累数学活动经验，提升应用意识和模型观念。

一、教学背景分析

（一）内容分析

以“漏壶计时”为主题的数学探究活动，改编自义务教育教科书（人民教育出版社）数学八年级下册“一次函数”一章的课后习题8（图1）。我们设计了“漏壶计时”问题的探究情境，内容包括课前学习漏壶的相关知识、学生自己动手制作漏壶、探究漏壶如何更加精准计时、改进自己制作的漏壶。活动以学生自己制作漏壶为情境，使学生经历数学建模的完整过程。

图1 人民教育出版社数学八年级下册的一道习题

图2

图3

图4

（二）学情分析

“漏壶计时”数学探究活动，是在学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、不等式的解法及一次函数图象和性质的基础上，适合一次函数实际应用的探究活动。

通过访谈的形式，了解学生是否听说过数学建模，对于利用数学模型解决问题的过程是否熟悉。受访的学生中50%表示：自己之前曾在书中或是网络上看到过数学建模的信息和相关比赛，但没有参与过，希望数学建模解决的问题是和自己生活实际相关，并且能够全程参与设计。90%的学生表示不了解数学建模的过程。

另外，通过前期调研可以看出，学生对一次函数章节的知识掌握较好，具备了利用数学模型解决问题的知识基础。但数学活动经验不是很丰富，而且计算机操作水平也有限。

（三）教学目标

（1）能从制作漏壶的过程中发现问题、提出问题；经历建立模型、求解、检验的全过程；

（2）能分析出漏壶制作过程中影响计时精准性的因素，建立漏壶中水面高度与时间关系的函数模型；

（3）能够体会数学的应用价值，增强模型观念、创新意识，通过小组学习提升合作交流能力以及参与实践活动的动手能力。

（四）教学重、难点

教学重点：通过建立漏壶水位与时间的函数关系，经历并初步感知数学建模的完整过程。

教学难点：分析影响因素之间的量化关系，并建立符合实际观测值的模型。

二、教学过程

（一）创设情境，提出问题

背景：在参观国家博物馆时，学生了解了中国古代的计时工具——漏刻。从最早的漏刻，到最常用的“一刻之漏”（每漏完一壶水的时间为一刻，大约14．4分钟），再到由四个铜壶构成的滴漏，更精确地记录一天十二个时辰。通过参观，学生知道了漏刻计时的原理，但对漏壶是否真能准确报时还是存有疑惑。学习完一次函数后，受义务教育教科书（人民教育出版社）数学八年级下册“一次函数”一章的一道习题的启发，师生决定自制漏壶探究其中的奥秘。

学生先从网络中查找并观看了介绍中国古代计时工具的视频，以及阅读了关于漏壶的文字材料，清楚了漏壶的工作原理，了解到标记水面随时间下降高度是泄水型漏壶计时的关键。于是学生分组制作泄水型漏壶，并着手探究。

活动1：创设情境，提出问题

各组学生分享自制漏壶及探究的过程，展示计时方法。

甲组利用一个圆柱形的透明塑料瓶，制作了一个简单的泄水型漏壶（瓶高20cm，瓶底直径约10cm）。用针穿透瓶底，在底部形成一个直径大约1毫秒的小洞。接下来，通过注水实验，在塑料瓶上标记刻度线，表示水面高度与时间之间的关系。先封住小孔，将水倒入瓶中，使最初水面高度距离瓶底为8．6cm。下面是每隔30秒钟记录的水在瓶中的水位高度：

表1 每隔30秒水在瓶中的水位高度

利用这组数据，甲组学生在瓶身上标记了水位线，每条水位线之间的间隔表示30秒钟的时差，总共可以记录2．5分钟的时间。

通过小组间对各自漏壶的计时展示，学生发现不同漏壶计时精准性之间存在差异，于是寻求误差产生的原因和改良方法。师生展开讨论：用了不同的瓶子做泄水型漏壶，刻度标记不同，谁记录得更准呢？

学生1：我认为瓶底的直径不同，导致刻度标记不同。

学生2：我认为小洞大小不同，导致刻度标记不同。

学生3：我认为注水量不同，导致刻度标记不同。

学生4：通过大家的分析，我认为瓶底直径比较小、洞口更小、注水多的漏壶计时更准。

教师将学生的想法加以提炼，归纳出有效问题：（1）使用自制的圆柱体泄水型漏壶，能否借助壶底到水面的高度来刻画时间？（2）影响计时精确度的主要因素是否为瓶底直径、漏水洞直径、漏壶蓄水量？

设计意图：学生以圆柱体泄水型漏壶为研究对象，获得了几组水面高度和泄水时间，通过展示交流，引发学生改进漏壶以减少误差的思考，聚焦研究问题。

（二）依托情境，抽象问题

将小组展示交流提出的问题细化，形成了下列三个活动（活动2－活动4）

表2 活动2和活动3问题细化表

活动4：选择模型，解决问题

分析：由于漏水速度理解为依赖时间的变量，且在制作漏壶的水杯标准统一、小孔孔径固定、初始蓄水量一定的情况下，通过描点拟合，寻找漏水速度与时间之间的函数关系v（t）。

表3

运用Excle的图表趋势线功能，拟合为一个一次函数v＝πr2（－0．72t＋3．72）。

学生在漏水速度不均匀的情况下建立了水面高度与时间关系式后，教师追问：如何检验结果的合理性？学生思考并举手发表自己的看法；教师给予点拨和肯定，同时介绍一些结果检验的方法。

设计意图：设计活动2和活动3的目的是使不同水平的学生有不同层次的发现，加深对问题数量关系的理解。活动4通过从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，发散学生思维，提高分析问题、解决问题的能力。其次，强调模型解的检验，促进模型的优化。另外，进一步感知用数学的语言描述世界。

（三）归纳概括，加深理解

活动5：归纳利用数学模型解决实际问题的一般步骤

定量资料用 M（Q25，Q75）表示，使用 Excel表格整理数据，SPSS19.0进行数据分析，不符合双变量正态分布采用Spearman秩相关分析，设定检验水准为α=0.05的双侧检验。

问题：通过前面的经验积累，你能否总结出解决实际问题的一般步骤？

学生思考后举手回答，教师在学生的归纳下进行完善，最终形成核心板书：

从真实情境提出问题、解决问题的过程：

设计意图：通过小结，归纳提升，帮助学生理清思路，形成解题思路。

（四）拓展延伸，提升能力

活动6：结合物理知识，建立非匀速漏水情况下水面高度与时间的函数表达式

问题：是否可以借助物理知识，对水位高度变化和漏水速度进行机理分析？

分析：通过查阅有关流体力学文献，引用小孔漏水速度以及水位高度关于时间的物理表达式：，y，其中h为初始液面高度，g为常量（g＝10N／kg），SA为漏壶内液体横截面积，SB为小孔横截面积。

设计意图：拓宽学生视野，为学优生创设跨学科及深度学习的机会。

（五）提炼总结，感悟收获

活动7：学生谈感悟

问题：通过本学时的学习，同学们都有哪些体会和感受？

学生畅所欲言，教师点评。

设计意图：通过小结，回顾建模全过程，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯。

（六）作业设计，优化模型

【实践性作业】改进自己设计的漏壶

【探究性作业】进一步验证活动3中学生的观察与猜想：随着壶底到水面高度y的减小，小孔水流速度也减小。如果要让小孔的水流速度恒定，漏壶应该做成什么形状呢？

三、反思

以“漏壶计时”为主题的数学教学活动来源于课本一道习题。原题目要求选出符合对应关系的函数图象，并注明了不考虑水量变化对压力的影响。题目中为何要强调这个限制条件？不考虑这个因素又如何？在古代人们是如何利用漏壶计时的？学生的好奇与困惑正是老师在备这道习题时容易忽视的。教师的目的是选出正确答案即可，而对于学生而言，他们想从这个问题中知道更多，包括数学知识与文化，数学思想与方法，数学与其他学科的联系等。显然，教师可对题目所包含的各种信息做进一步深入地挖掘。

因此在设计该主题数学教学活动时，我们考虑从不同视角解析“漏壶计时”问题：（1）从数学文化视角选材；（2）从漏壶制作和成品展示的角度创设情境；（3）从数学建模视角解决问题。

首先，学生通过在博物馆的参观和资料阅读，获得了比习题中更加丰富的关于漏壶知识，初步了解了漏壶和计时工具的发展历史，感受了数学与人类社会生活、数学与物理、天文等学科的紧密联系，从而激发了他们对“漏壶计时”原理的探究兴趣。接下来，在制作漏壶的亲身体验中，学生们学到了古人的智慧，积累了漏壶计时的操作经验，收集了许多关于漏壶水位和时间的相关数据，为进行建模活动做好了数学及跨学科知识的储备。

在课堂的小组介绍漏壶制作过程和成品展示活动中，学生将自己的作品进行了组间比较，自然提出哪种漏壶设计更能精确计时的问题，进入了预设的问题情境中。结合前期的准备工作，通过对教学情境的预设，建模各环节相关问题的提出、分析和解决，学生便进入用数学建模的思想来解决问题的情境中，由教师引导体验完整的建模过程。由此可见，设计符合学生经验的真实问题情境，有利于学生发现和提出问题，分析和解决问题，促进学生综合发展。

最后，教学设计中也有一些待完善之处。例如创设情境对于数学实验也有一定的挑战。由于在真实情境下进行模型的建立、求解和解的检验，需要必要的数据收集工作。在分析数据的过程中会涉及数据拟合技术。如何说明拟合的效果涉及了统计学的知识，对学生们来说比较陌生，因此在建模过程中教师需要做适当介绍和解释。

从数学文化角度创设真实情境，不但可以使学生经历数学建模的完整过程，感受数学的应用价值，培养实践能力，还能通过了解中国古代科学技术，增强学生的民族自豪感。