研学巧鉴典韵，素养深植情境——等腰三角形在确定生活中方向问题的应用

北京教育科学研究院 丁明怡

北京市兴华中学 张 蕊

北京市大兴区教师进修学校 鲍 静

一、内容分析

几何直观是初中阶段核心素养的主要表现之一。本节课重在落实如何“根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质，利用图形分析实际问题，探索解决实际问题的思路”。

本部分内容是前期所学知识的深化与拓展，是联系现实生活，培养学生应用意识和创新能力的良好纽带，具有重要的现实意义。

本节课是基于中国古典著作《淮南子·天文训》中的一段文字记载（见图1），在此基础上设计的一节应用课。其文化背景彰显了数学的魅力，与地理学科的结合，体现了数学作为基础学科的作用。

图1

二、学情分析

八年级学生的形象思维能力较强，喜欢通过观看图片或视频，小组合作交流，动手实验等方式进行数学学习。

学生在阅读实际背景下的文字材料，缺少专注力和提取主要信息的能力，从实际情境中抽象数学图形的意识和能力薄弱。本节课为文化背景下的一节数学应用课，文字语言较多，描述的活动比较抽象，学生缺少丰富的学习经验，因此本节课教师设计了演示视频和小组讨论等活动来辅助学习。

三、教学目标

（1）应用等腰三角形知识解决简单的实际问题。

（2）经历将实际问题抽象出几何模型并解决问题的过程。探索在实际情境中从数学的角度提出问题，运用多种学科知识解决问题的方法。

（3）感受数学的应用价值，培养合作交流、动手实践、反思质疑的学习习惯，发展几何直观能力。

四、教学重难点

教学重点：应用等腰三角形的知识解决实际问题。

教学难点：根据语言的描述准确画出几何图形。

五、教学过程

（一）创设情境，提出问题

教学内容：引入本节课的主题——利用“立杆验影”法确定平面内的方向。

问题1

（姜子艺同学）在刚刚结束的校运动会上，各班的方队和精彩纷呈的展示活动，展现了各班同学朝气蓬勃的精神面貌，令人印象深刻（见图2）。

图2

运动会结束后，我一直在思考一个问题，希望同学们帮助我想想该如何解决。各班同学在入场时，为了保证各班方队以“由北向南”的方向前进，都借用了操场上的指向南北方向的跑道线入场，如果在操场上没有跑道线的地方进行展示时，又该如何画出这条南北方向的直线呢？

学生活动：观看照片，回顾与交流生活中确定方向的方法。学生能想到的方法很多，比如观察太阳、北斗星的位置，观察建筑的朝向等。

教师活动：教师对学生的方法进行归纳，引出本节课的主题。

生活中有很多确定方向的方法，观察太阳所处的方向是人们熟知的一种辨别方向的方法。回顾前面的问题，如果站在操场上观察太阳来确定方向，我们并不能十分准确地确定操场上的东西或南北方向。今天这节课我们来学习一种新的确定平面内方向的方法——“立杆验影”法。

设计意图：选择熟悉的、贴近现实的、真实可信的情境和学生感兴趣的话题引入，利于降低学生的陌生感，激发学生的求知欲，深刻体会数学知识来源于生活。

（二）方法初探，解决问题

教学内容：完整经历应用“立杆验影”法确定平面内的方向的过程。

问题2

日出时太阳所处方向是____，杆的影子所指方向是____方向；日落时太阳所处方向是____，杆的影子所指方向是____方向。

学生活动：

（1）全班同学观看常乐同学课前拍摄的阳光下如何“立杆”的视频（见图3），了解“立杆”的方法，理解太阳、杆、杆的影子的关系。

图3

（2）学生思考生活中太阳日出和日落的方向，通过阅读和分析《淮南子·天文训》中的日出和日落的方向与节气的关系的相关记载，全班交流后解决用方位角表示日出和日落时太阳所处方向的问题。

《淮南子·天文训》一章中相关记载译文如下：

冬至时，太阳从东南方升起，向西南方落下，夏至时太阳从东北方升起，向西北方落下，春分和秋分时，太阳从正东升起，正西落下。

（3）利用太阳、杆、杆的影子的关系，全班交流后解决用方位角表示杆的影子的方向问题，学生板书作图。

设计意图：初步感受将实际生活问题转化为数学知识，培养学生在实际情境中提出和发现问题的能力。观看本班学生拍摄的演示视频，更加贴近学生的现实、感受此方法的真实可信，更利于学生从现实情境中学习数学知识与方法。

问题3

日出时，若在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着这根杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），点B处立第二根杆；日落时，沿着第二根杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立第三根杆，连接AB，BC和CA。

想一想：图中的几何图形是________，你判定的依据是____________________________________________。

师生活动：

（1）学生自主阅读并独立思考作图，再板书分享。

（2）教师组织全班交流讨论，确定图形的准确形状，如图4。在作图过程中，根据两次测量的距离都是十步，很容易确定图形的形状是等腰三角形。但是部分学生作图时没有考虑到日出与日落时杆的两条影子的夹角是一个锐角，导致所画三角形不准确，如图5所示。

图4

图5

设计意图：经历将实际问题抽象出几何图形的过程，锻炼学生的阅读能力和准确作图的能力，培养学生的空间观念和几何直观能力，养成实事求是的科学态度。

问题4

确定CA的中点D，你的方法是什么？

师生活动：教师提出问题，学生独立完成作图后全班分享（见图6）。

图6

设计意图：训练学生多种方法作图，鼓励学生从不同角度解决问题，提高作图能力和独立分析问题的能力。应用等腰三角形的性质证明所作点为中点时，提高学生的语言表达的能力。

问题5

如图7，若确定了直线DB表示的方向为东西方向，那么直线CA表示的是什么方向呢？为什么？

图7

图8

图9

师生活动：回顾课前引入的问题并交流，教师引导学生将数学知识中直线的垂直与生活中方向中的垂直相结合，进而解决问题。

设计意图：训练学生用数学的语言表达，锻炼独立思考和解决问题的能力。感受实际问题与数学问题的互相转化，体会方法中所蕴含的数学知识和思想方法。

（三）方法再探，深化理解

教学内容：小组合作进一步探究“立杆验影”法，从测量工具和测量时间两个方面设计改进方案。

问题6

回顾“立杆验影”法确定平面内方向的过程，我们应用了哪些数学知识解决的实际问题呢？

师生活动：

回顾“立杆验影”法解决问题的过程，并进行归纳和总结。

设计意图：总结方法，梳理思路，为后续进一步探究做准备。

问题7

在学习了“立杆验影”法之后，如果在操场上没有跑道线的地方画出南北方向的直线，你会自己选择哪些工具和时间呢？

师生活动：

（1）常乐同学在了解了“立杆验影”法之后，利用周末去体验了一下这个方法并录制了视频，课堂上与全班同学分享视频后，交流了他在操作过程中遇到的困难。

（2）全班同学围绕测量工具和时间的改进展开讨论。

（3）针对测量时间的改进问题，由于学生缺少相关的生活经验，教师给学生展示了一些不同时间时阳光下杆的影子的照片，引导学生归纳影子的角度的变化规律，进而设计改进方案。

参考：下面三幅图分别展示了同一天中三个时刻杆的影子。

设计意图：在对问题解决与数学思想深度理解的基础上，体会数学发现与探究的乐趣，对问题中蕴含的规律进一步进行探究，养成合作交流和质疑的学习习惯，锻炼学生语言表达的能力。

（四）总结反思，归纳提升

教学内容：对本节课所学的知识和学生的收获进行总结。

师生活动：

（1）教师首先引导学生从知识层面对本解课进行小结。

（2）有人说，数学素养是一个新时代公民应当具备的基本素养，你同意这种说法吗？教师引导学生谈谈对以上观点的理解。

（3）教师介绍“立杆验影”这种方法的出处，对学生进行“数学史”方面的教育。

设计意图：

从知识的应用、问题解决的过程、题目涉及的文化背景三个方面对本节课进行了梳理和总结。梳理知识的同时，归纳了解决问题的方法，提升了学生对数学学习的认识。

（五）布置作业，拓展提高

A层（巩固基础）

《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法，大意是：（题目略）

B层（课后实践）

继续完善“立杆验影”法改进方案，课后小组验证各组的方案。

设计意图：分层布置作业，让基础比较薄弱的学生巩固知识和方法的应用，有所收获。完善和检验本组的改进方案这项作业作为课堂学习的深化和延伸，承担着提升学生的学科素养的作用。如果由一个学生来完成会过于复杂，因此需要分工合作和多视角探究，从而真正发挥学生的创造力，提高他们的团队合作的能力。