基于混沌粒子群算法的压电微纳平台迟滞模型参数辨别

赵一炘,须 颖,安 冬

(沈阳建筑大学机械工程学院,辽宁 沈阳 110168)

0 引言

压电陶瓷作为一种智能材料,经过多年的发展,已经在工业制造上获得了广泛的应用[1]。目前,以压电材料作为驱动元件的微纳定位平台已经在显微镜、纳米制造系统中广泛应用并取得了良好的效果[2]。我国目前在粗定位技术上已经比较成熟,但是在精确定位技术上仍然还有许多不足。因此,对压电微纳平台的深入研究,对我国精密运动控制以及精密仪器的工业制造具有重要意义。

压电微纳系统的驱动设备是压电陶瓷驱动器,其优势在于输出位移的高稳定性以及良好的重复性,能适应高纳米级动态分辨率的技术要求。然而,由于压电陶瓷的材料特性,驱动器的电压输入与位移输出间存在明显且较为复杂的迟滞非线性现象[3-4]。由于Bouc-Wen模型具有模拟各种迟滞行为的能力,被广泛应用于模拟具有迟滞特性的结构材料与系统中[5-7]。

可由于实际的迟滞回线通常是不对称的,而标准Bouc-Wen模型是近似中心对称模型,所以对迟滞曲线的描述并不完全准确。为了解决这个问题,文献[8]提出了一种归一化Bouc-Wen模型,利用对内部的迟滞变量进行归一化处理去消除冗余参数。文献[9]改变原模型的单变量形式,提出了一种新的多变量滞后Bouc-Wen模型。虽然他们都对Bouc-Wen模型进行了相应的改进,但仍然无法达到非常精确地对迟滞现象进行描述。本文通过增加一个迟滞非线性项,将原对称模型改为非对称模型,添加初值补偿因数,更加真实地对系统的初始情况进行反映。改进后的Bouc-Wen模型可更为准确地描述压电微纳平台的迟滞情况。

迟滞模型的精确程度决定了能否准确地对迟滞现象进行描述,迟滞模型的参数较多会使得辨识出来的参数精确度不高,所以要寻找简单有效的方法对迟滞模型的参数进行识别[10]。本文通过使用粒子群算法对改进后的迟滞模型进行参数识别。但由于传统粒子群算法,容易陷入局部极值。对多参数对象辨识时,会出现效率低、模型准确率差等问题。为解决此问题,本文引入混沌映射,选用Logistic混沌作为混沌粒子群优化算法中的惯性权重,来增强粒子群的优化能力,实现更为准确的迟滞曲线拟合。

1 压电微纳平台迟滞模型

1.1 平台原理与迟滞机理

压电微纳平台主要是由压电驱动器和机械结构平台两部分构成,主要利用压电陶瓷的逆压电效应。当电场作用于介质极化方向时,在一定的方向上会发生压力或变形,外加电场消失时变形和应力也会随之恢复,这一过程将电能转化为机械能。压电微纳平台能够引起位移变化正是利用了压电材料的逆压电效应。

在外加驱动电压的控制下,压电陶瓷的位移输出未达到理想的线性关系,表现为升压阶段与降压阶段曲线并不是斜率恒定的曲线,且输入与输出曲线不重合,存在明显的位移差,这种现象就称为压电陶瓷的迟滞现象。

1.2 Bouc-Wen迟滞模型

Bouc-Wen模型的数学表达式简单,模型参数数量不多,当对模型参数进行调整时能够得到各种迟滞环。这些迟滞环可以描述出大部分迟滞特性,因此在对迟滞特性进行拟合时常选用Bouc-Wen模型。Bouc-Wen模型是一种典型的由微分方程式所建立,来表示输出信号随输入信号的变化关系的模型。本文主要对Bouc-Wen模型进行研究。具有迟滞特性的压电陶瓷执行器可以用Bouc-Wen模型[11]表示为

(1)

式(1)中,h表示Bouc-Wen迟滞模型的迟滞部分,参数k0和k1为权重系数,A、B、C、n为Bouc-Wen迟滞模型的用于描述迟滞特性的参数,t为时间,用微分方程来表征输出位移y随输入电压u的变化关系。

虽然传统Bouc-Wen模型可详细描述出对称的迟滞现象,但是实际的迟滞回线通常是不对称的。所以本文根据压电微纳定位平台实际情况,对传统的Bouc-Wen模型进行改进。

2 改进Bouc-Wen迟滞模型参数辨识

2.1 改进Bouc-Wen迟滞模型

由于传统Bouc-Wen模型是近似中心对称模型,而实际系统所形成的迟滞曲线通常是不对称的。并且传统Bouc-Wen模型不能反映系统真实的初始情况,所以需要对标准Bouc-Wen模型进行改进。

改进的方法是在标准Bouc-Wen模型的基础上,首先增加一个迟滞非线性项φ,以便于将原对称模型改为非对称模型。然后增加一个初值补偿因数d,更加真实地对系统的初始情况进行反映。改进的Bouc-Wen模型如下:

(2)

式(2)中,h表示Bouc-Wen模型改进部分,迟滞特性参数分别为α、φ1、φ2、φ3、φ4,d为初值补偿因数。

为了验证改进Bouc-Wen模型可以有效地模拟压电微纳平台迟滞回线情况,采用频率为1 Hz的正弦波作为输入,采用粒子群算法分别对传统Bouc-Wen迟滞模型和改进Bouc-Wen模型进行参数辨识,得出电压与位移曲线。图1为标准Bouc-Wen迟滞模型拟合情况,图2为改进Bouc-Wen迟滞模型拟合情况。

图1 标准Bouc-Wen迟滞模型拟合情况

图2 改进Bouc-Wen迟滞模型拟合情况

从图1、图2中可以看出标准Bouc-Wen迟滞模型可以基本描述压电微纳定位平台的迟滞现象,但是拟合情况仍存有较大误差。改进后的Bouc-Wen迟滞模型则明显可以更好地模拟真实迟滞曲线,说明本文的改进Bouc-Wen模型比原模型对迟滞情况的描述更为精准。

2.2 粒子群算法

粒子群算法[12]是于1995年由计算机专家Ebberhar等提出的。粒子群算法的结构设计较为简单,不需要像遗传算法一样,对个体进行交叉和变异等操作,运算速度较快。粒子群算法是从随机初始值出发,经过不断搜索寻找最佳解。通过跟踪当前的局部最优预测值来确定全局最优解[13-14]。

基本的粒子群算法步骤如下:

1) 初始化粒子群:对粒子位置xi、速度vi、集群的大小N、最大迭代数G和学习因子c1、c2等粒子速度和位置进行初始化;

2) 计算适应度值:将每个粒子数据引入到Bouc-Wen模型中,经过计算后获得输出值,将数据带入到适应度函数中,算出适应度值;

3) 计算模型精度,判断其是否满足要求;

4) 对粒子的速度和位置进行更新;

5) 步骤循环:对上述步骤循环,直至种群适应度值满足模型的精度要求,或者达到最大迭代数,则退出循环。

在粒子群算法中,模型中粒子速度和位置如下:

(3)

式(3)中,pi是自身最佳的位置,p是整个种群的最佳位置,w为惯性权重,c1和c2为学习因子,r1和r2为[0,1]范围内的随机数,vi为粒子速度,xi为粒子位置,k为当前迭代次数,kmax为最大迭代次数,wmax为迭代开始时的惯性权重,wmin为迭代结束时的惯性权重。

2.3 混沌粒子群算法

粒子群算法在寻优过程中,极易陷入局部极值。对多参数对象辨识时,会出现效率低、模型准确率差等问题。其主要原因是基础的粒子群算法中的惯性权重和学习因子都是常量,不具有动态调节能力,无法随着迭代的进行而进行实时改变,从而导致算法容易陷入局部最优。为解决上述问题,本文通过利用混沌映射[15-16]的遍历性和随机性,实现粒子群算法的局部深搜索,增强其局部寻优能力。本文利用混沌粒子群优化算法进行模型的参数辨别,选用Logistic混沌作为混沌粒子群优化算法中的惯性权重,来增强粒子群的优化能力。

Logistic混沌映射[17]的非线性方程如下:

(4)

式(4)中,μ表示控制参数。μ为4时,Logistic混沌在[0,1]内随机分布。

2.4 改进Bouc-Wen迟滞模型的参数辨识方法

为了获取压电微纳平台迟滞回线,采用理想位移是幅值为10 V,频率为1 Hz的正弦信号激励压电微纳平台,得到压电微纳平台的各种数据并将其保存。获得数据后,接下来通过混沌粒子群算法对改进Bouc-Wen模型进行参数辨识。参数辨别流程如图3所示。

图3 参数辨别流程图

混沌粒子群算法步骤如下:

1) 初始化粒子群:对粒子位置xi、速度vi、集群的大小N、最大迭代数G和学习因子c1、c2等粒子速度和位置进行初始化。

2) 计算适应度值:本文的适应度函数基于实验数据与改进Bouc-Wen模型的建模数据来建立,公式为

(5)

3) 位置、速度更新:引入混沌粒子后0更新位置及速度为

(6)

式(6)中,μ表示控制参数,xi为粒子位置,k为迭代次数,vi为粒子速度,w为惯性权重,c1和c2为学习因子,r1和r2为[0,1]范围内的随机数,pi是自身最佳的位置,pg是整个种群的最佳位置。

4) 计算粒子更新后适应度:将更新后参数代入适应度函数中进行计算。

5) 步骤循环:判断是否满足迭代次数要求,未满足继续循环,满足要求则跳出循环。

最后将所有辨识出来的参数带入到改进Bouc-Wen模型中得到迟滞曲线,将其与实际测量出来的压电微纳平台的迟滞曲线进行比较。

3 实验验证

3.1 实验装置

为了验证混沌粒子群对改进Bouc-Wen模型参数辨识的有效性,建立了压电微纳平台的实验系统。实验系统主要由德国PI公司生产的P563.3CD型压电陶瓷驱动器PEA、压电放大器E-725、PEA内置电容式位移传感器和由Matlab的仿真系统组成。利用参考位移yd信号频率为1 Hz位移区域为±20的正弦波和方波来完成实验。

3.2 实验结果

改进的Bouc-Wen模型分别有权重系数k0和k1,迟滞性参数α、φ1、φ2、φ3、φ4以及初值补偿系数d。为了弥补传统粒子群算法的不足,使用混沌粒子群对改进的Bouc-Wen模型参数进行辨识。

以频率为1 Hz的正弦波和三角波为输入,使用最小二乘法(LS)、遗传算法(GA)粒子群(PSO)与混沌粒子群优化算法(CPSO)对改进Bouc-Wen模型进行参数辨识。正弦波输出位移滞后曲线和位移误差图如图4、图5所示,三角波输出位移滞后曲线和位移误差图如图6、图7所示,正弦波适应度曲线如图8所示。

图4 正弦波输出位移滞后曲线图

图5 正弦波误差对比图

图6 三角波输出位移滞后曲线图

图7 三角波误差对比图

图8 正弦波适应度曲线图

从图4和图6中可以看出,最小二乘法获得参数的拟合图偏差最大,遗传算法和粒子群算法辨识参数要优于最小二乘法。而混沌粒子群相较于其他三种算法辨识参数额数据拟合精度有较大提高。而图5和图7中显示的误差对比图也说明了混沌粒子群参数辨识的有效性。同时从图8可以看出,混沌粒子群算法在10代左右就达到了收敛,而粒子群算法在40代后才开始收敛,遗传算法在100代都没有到达收敛。而且混沌粒子群优化的平均误差和均方根误差都要小于其他算法,因此可说明混沌粒子群算法更加适用于改进Bouc-Wen模型的参数辨识。

表1所示为混沌粒子群算法辨识出的改进Bouc-Wen模型输如频率为1 Hz的正弦波与三角波参数。

表1 CPSO识别改进Bouc-Wen模型参数

表2所示为各种算法辨识参数优化下正弦波与三角波的辨识误差。为了判断数据的整体准确性和数据预测精密度,本文使用平均误差和均方根误差来确认预测数据的准确性。其中,平均误差表示所有值的随机误差的算数平均值,可以显示整体数据的准确性,而均方根误差对数据中特大和特小误差反应非常灵敏,所以,均方根误差能更好地反映出数据预测的精密度。实验数据表明,混沌粒子群能够更加准确地对改进Bouc-Wen模型的迟滞现象进行描述。

表2 辨识误差

由表1和表2可知,本文使用的CPSO算法在优化结果上均优于其他三种对比算法,在平均误差和和均方根误差都小于其他算法优化结果。综合来看本文算法在微纳米平台迟滞研究中参数辨识结果最优,进一步分析得出

1) 本文所使用混沌粒子优化群算法在10代左右达到收敛,而其他算法达到收敛的迭代次数远远高于混沌粒子群算法,说明本文引入混沌因子方法可有效避免模型出现局部极值问题,具有更快的收敛速度和更好的辨识精度。

2) 粒子群算法相比最小二乘法和遗传算法无论正弦波还是三角波误差都有较大程度降低。以正弦波为例,平均误差降低了0.061 μm和0.016 7 μm,均方根误差降低了0.068 2 μm和0.015 4 μm。说明选用粒子群算法为基础算法对改进Bouc-Wen模型进行参数辨别更为有效。

3) 本文所使用混沌粒子优化群算法比未进行改进的粒子群算法对实际迟滞曲线描述误差更小。以正弦波为例,平均误差降低了0.022 2 μm,均方根误差降低了0.024 6 μm。说明引入混沌因子后,模型学习因子具有动态调节能力,增强了模型局部寻优能力,提升了计算精度。

4 结论

由于传统Bouc-Wen模型无法准确描述压电微纳平台的迟滞现象,本文通过引入迟滞因子对传统Bouc-Wen模型进行改进,使用粒子群算法对其进行参数辨识,证明改进模型与真实迟滞曲线拟合情况更好。针对改进Bouc-Wen模型参数多、难以辨识的特点,使用了混沌粒子群优化算法对惯性权重、个体学习因子和社会学习因子进行改进,以此改善算法的收敛速度和整体优化能力。