突出关键能力注重方法对策——坐标系与参数方程考向探析

■陕西省汉中市西乡县第二中学 陈 刚

坐标系与参数方程为高考选考内容之一,题量、考查难度都相对稳定。近几年高考全国卷坐标系与参数方程考查的问题主要有:极坐标方程、参数方程与普通方程的互化;求曲线的轨迹方程;利用极坐标方程、参数方程解决交点问题、距离问题、最值问题等。试题分设两问,第一问考查内容多为极坐标方程、参数方程与普通方程的互化或求曲线的轨迹方程,第二问考查内容多为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中极径和极角的几何意义解决问题,内容涉及交点、距离、面积、弦长等问题。在解决此类问题的过程中,需要注意数形结合、转化与化归等数学思想的应用。整体来讲,考查难度定位中等偏易,是考生容易突破的一道题目。本文结合实例探析2023 年高考全国卷坐标系与参数方程的考向、常考题型及解题方法。主要目的是帮助同学们把握高考脉搏,提高复习备考效果和效率。

题型一、求曲线的极坐标方程

总结：求曲线的极坐标方程的一般步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点。(2)由曲线上的点所满足的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式。(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程。

题型二、极坐标方程、参数方程与普通方程的互化

(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;

总结：(1)直角坐标方程与极坐标方程的互化:如果将极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴重合,则同一个点可具备极坐标（ρ,θ）和直角坐标（x,y）,那么两种坐标间的转化公式为(2)参数方程与直角坐标方程的互化——消参法,消去参数的方法一般有三种:①代入消参。利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数。②整体消参。根据参数方程本身的结构特点,灵活地选用一些代数方法从整体上消去参数。③三角消参。利用三角恒等式消去参数,如平方消参等。但要注意将参数方程化为普通方程时取值范围要保持一致,防止变量x和y取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围确定函数f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围。另外,确定曲线的参数方程时,一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围,必要时通过限制参数的范围去掉多余的解。

题型三、极坐标方程的应用(如距离问题、最值问题)

例3在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ。

(1)求直线l的极坐标方程和曲线C1的直角坐标方程;

总结：(1)用极坐标系解决问题时,要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决。(2)用极坐标方程解决有关距离问题时,通常利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的。(3)用极坐标方程解决有关最值问题时,往往通过极坐标方程引入三角函数,利用三角函数模型求解最值,这比在直角坐标系中求最值的运算量小。另外,还要注意数形结合的应用,即充分利用ρ和θ的几何意义。

题型四、参数方程的应用(如距离问题、最值问题)

(1)若直线l与曲线C没有公共点,求t的取值范围;

在解决与坐标系和参数方程有关的问题时,从坐标系和参数方程本身从发,选取适当的方法往往可以取得事半功倍的效果。另外,坐标系和参数方程虽然是选考内容,但如果能够将它们和普通方程有机联系,相互补充,在解决与圆锥曲线有关的高考小题和解答题时,也可以优化解题思路、发散思维,从而简化计算过程,减少运算量,提高解题的效率。