基于Fortran语言的大学物理教学

吴魏霞 李福芸 张翱

摘  要：借助Fortran语言编程，结合Origin画图软件，对大学物理中的重要知识点——简谐振动的合成进行模拟研究，重点分析讨论了两个同方向同频率、同方向不同频率、相互垂直方向同频率及相互垂直方向不同频率的简谐振动的合成情况。通过与理论相比较，可以帮助学生加深理解不同条件下的简谐振动合成原理及规律。此外，还可将Fortran语言用于大学物理其他知识点的教学中，如受迫振动、光的干涉、光的衍射等，将抽象的知识直观化，以提高大学物理课程教学效果。

关键词：大学物理；简谐振动合成；Fortran语言；Origin软件

中图分类号：TP39；G642   文献标识码：A   文章编号：2096-4706（2023）14-0189-05

College Physics Teaching Based on Fortran Language

—Taking the Synthesis of Simple Harmonic Vibration as an Example

WU Weixia， LI Fuyun， ZHANG Ao

（School of Basic Education， Beijing Institute of Graphic Communication， Beijing  102600， China）

Abstract： Based on Fortran language programming and Origin drawing software， the synthesis of simple harmonic vibration which is an important knowledge module in college physics is simulated and studied. The synthesis situation of two simple harmonic vibrations in four cases are emphatically analyzed and discussed， including the same frequency in the same direction， the different frequencies in the same direction， the same frequency in the perpendicular direction each other and the different frequencies in the perpendicular direction each other. By comparing with theory， the principle and law of synthesis of simple harmonic vibration under different conditions are more clearly defined for students. In addition， Fortran language can also be used in the teaching of other knowledge points of college physics to visualize abstract knowledge， such as forced vibration， light interference and diffraction. This can improve the teaching effect of college physics courses.

Keywords： college physics; synthesis of simple harmonic vibration; Fortran language; Origin software

0  引  言

振动是自然界中常见的运动形式之一，而简谐振动是最基本、最简单的振动形式。简谐振动的合成是大学物理课程中的重要知识点之一，对简谐振动合成的学习不仅可以帮助学生理解和分析机械运动范围内各种复杂振动的本质，而且对分析力学、电学、光学等领域中的其他复杂振动本质也有着重要的实际指导意义。

简谐振动的合成情况复杂多样，其理论也比较抽象，单纯的理论学习很难使学生深刻理解其合成原理和规律。但如果借助计算机编程等信息技术手段来研究，就可以将抽象的理论直观形象化，从而帮助学生加深理解，提高教学效果[1-6]。Fortran语言是一款具有强大计算功能的计算机语言，在数值、科学和工程计算领域发挥着重要作用。本文介绍将Fortran语言与Origin软件相结合，来模拟研究四种基本情况下的简谐振动的合成，即同方向同频率、同方向不同频率、相互垂直方向同频率及相互垂直方向不同频率下的简谐振动的合成，以帮助学生加深理解简谐振动的合成原理及规律，提高簡谐振动合成知识点的教学效果。

1  同方向同频率简谐振动的合成

这里以两个简谐振动为例来研究其合成情况。设一个质点同时参与了两个同方向的简谐振动，其振动方程可表示为：

（1）

（2）

其中A1、A2分别表示两个简谐振动的振幅，f1、f2分别表示它们的频率，φ1、φ2分别表示它们的初相位。则两个振动的合振动为：

（3）

当f1 = f2 = f时，则两个振动为同方向同频率的简谐振动。由（3）式可知，两个同方向同频率简谐振动合成后仍为简谐振动，其中合振动的振幅由下面式子决定：

（4）

下面用Fortran语言进行编程，并将运行数据导入Origin画图软件中，来模拟两个同方向同频率的简谐振动的合成。对应的程序语句如下：

real A1，A2，phi1，phi2，f1，f2，x1，x2，x，t

pi=3.1415926

open（1，file='1.dat'，status='unknown'）

A1=1.0

A2=1.0

f1=50.0

f2=50.0

phi1=0.0

phi2=0.0

do 1 t=0，1，0.0005

x1=A1*cos（2.*pi*f1*t+phi1）

x2=A2*cos（2.*pi*f2*t+phi2）

x=x1+x2

write（1，*）t，x1，x2，x

write（*，*）t，x1，x2，x

continue

close（1）

stop

end

这里取f1 = f2 = 10 Hz，调节两个简谐振动的幅度、初相位的值，将得到不同情况下的合成情况（如图1和图2所示）。

从图1和图2可以看出，两个同方向同频率的简谐振动合成后仍为简谐振动，合振动的频率与两个分振动的频率相同，而合振动的振幅与两个分振动的初相位差（或相位差）紧密相关。当两个分振动同相时，即初相位相等时，合振动的振幅等于两个分振动的振幅之和（A = A1 + A2），此时合振动振幅最大（如图1所示）；当它们反相时，即初相位相差π，合振动的振幅等于两个振动的振幅之差的绝对值（A = | A1 - A2 |），此时合振动振幅最小（如图2（a）所示）；其他情况下，合振动的振幅介于最大和最小之间（| A1 - A2 |＜A＜A1 + A2）（如图2（b）和2（c）所示）。这些结果和规律与式（4）相符。

2  同方向不同频率简谐振动的合成

如果一个质点参与的两个简谐振动是同方向的，但频率不同，则两个简谐振动的合成情况比两个同方向同频率的简谐振动的合成更为复杂。下面通过Fortran语言编程，并结合Origin画图软件，研究两个振动频率不同时的合成情况（如图3和图4所示）。这里，由于程序语句同1，只需将参数进行相应调节即可，故省略。

从上述模拟结果可以明显看出，两个同方向不同频率的简谐振动合成后不再是简谐振动，但一般情况下仍然是周期性运动（如频率比为整数时）。当两个振动的频率均较小时，合振动的主周期是两个分振动周期的最小公倍数。如图3（a）中，两个分振动的周期分别为T1 = 10/3 s，T2 = 10/5 s，则合振动的主周期为T = 10 s；而图3（b）中合振动的主周期为T = 1 s。当两个简谐振动的频率较大，且频率之差较小，满足f1 + f2?| f1 - f2 |时，合振动的振幅表现出有规律的周期性加强和减弱的变化，这种现象称为“拍”（如图4所示）。

对于“拍”现象，设两个简谐振动的振幅相等（A1 = A2 = A），初相位相等并均为零（φ1 = φ2 = 0）时，式（3）可化为：

（5）

从式（5）可看出，合振动仍为周期性运动，其振动频率为，而  为合振动的振幅，其变化频率为f = f2 - f1，称为拍频。如图4（a）中的拍频为f = 12 Hz - 10 Hz = 2 Hz，而图4（b）中的拍频为f = 53 Hz - 50 Hz = 3 Hz。

3  相互垂直同频率简谐振动的合成

上面研究的是两个同方向的简谐振动的合成情况，但如果两个振动的方向不同，如相互垂直，那么两个振动合成后又会有什么样的规律呢？下面来具体研究。设一个质点参与的两个简谐振动方向是相互垂直的，设分别为x、y方向，且频率相同，则两个振动的运动方程可写为：

x = A1cos （2πft + φ1）                   （6）

y = A2cos （2πft + φ2）                   （7）

消去t，可得到它们的合振动轨迹方程为：

（8）

可以看出，式（8）为一椭圆方程，其轨迹形状由两个振动的振幅A1和A2，及相位差Δφ = φ2 - φ1的值决定。当相位差Δφ = 0时，式（8）变为。说明此时合振动形成的轨迹是一条斜率为正且通过坐标原点的直线，其斜率等于两个分振动的振幅之比，即k = A2 / A1。当相位差Δφ = π时，，则合振动轨迹为一条斜率为负（k = -A2 /A1）且通过坐标原点的直线。当相位差Δφ = π/2时，式（8）变为：

（9）

此时，合振动轨迹为一正椭圆。当A1 = A2时，式（9）为一圆方程。当相位差Δφ取其他值时，合振动轨迹为一般化椭圆。下面通过Fortran语言编程，再结合Origin画图来研究不同情况下两个相互垂直、同频率的简谐振动的合成。对应的程序语句如下：

real A1，A2，phi1，phi2，f1，f2，x1，x2，x，t

pi=3.1415926

open（1，file='2.dat'，status='unknown'）

A1=1.0

A2=1.0

f1=10.0

f2=10.0

phi1=0.0

phi2=0.0

do 1 t=0，3，0.0001

x=A1*cos（2.*pi*f1*t+phi1）

y=A2*cos（2.*pi*f2*t+phi2）

write（1，*）x，y

write（*，*）x，y

1   continue

close（1）

end

stop

图5为相互垂直且同频率的两个简谐振动在不同相位差时的合成轨迹。可以看出，合成軌迹为椭圆或直线，且在一个周期内合成图形连续变化，经过一个整周期后，图形重复上个周期的变化规律。

4  相互垂直不同频率简谐振动的合成

与上述情况相比，如果两个相互垂直方向的简谐振动频率不相等时，合成情况与频率相等时相比更为复杂。当两个振动的频率比为一般非整数比时，其合成轨迹为不稳定的，且没有规律的图形。但如果频率比为整数比时，合成轨迹则为稳定的闭合图形，这些图形称为“李萨如图”。下面利用Fortran语言，再结合Origin画图来模拟不同频率比下在不同相位差时的李萨如图。这里，由于程序语句同3，只需将参数进行相应调节即可，故省略。图6（a）～（d）分别为x、y两个方向上的简谐振动的频率比为1：2、2：3、3：4、4：5时的李萨如图形。

可以看出，频率比越大，形成的李萨如图形的轨迹越复杂。但这些李萨如图形有一个共同的规律，即频率比等于两个垂直方向上的切点数比。设李萨如图形在x方向上有n个切点，在y方向上有m个切点，则fx ： fy = m：n。这里需要指出的是，李萨如图形的形状不仅与两个分振动的频率之比、振幅之比、相位差有关，而且还与两个分振动的初相位有关[7]。

5  结  论

本文借助Fortran语言编程，并结合Origin软件画图对大学物理中的重要知识点——简谐振动的合成进行了模拟研究，重点分析讨论了两个同方向同频率、同方向不同频率、垂直方向同频率及垂直方向不同频率几种基本情况下简谐振动的合成。通过将模拟结果与理论相比较，使学生更加明晰简谐振动合成原理及规律。此外，还可以将Fortran语言和Origin软件应用扩展到大学物理中的其他知识点教学中，如受迫振动、光的干涉、光的衍射的模拟等，帮助学生对抽象化的理论知识进行直观化的理解，这对大学物理的教学效果将会起到积极的促进作用。

参考文献：

[1] 吴涛，刘阳，王世芳.基于Jupyter lab简谐振动及其合成与分解人机交互式教学模式的探索 [J].大学物理，2022，41（8）：59-64.

[2] 何云存，任涛.基于Vpython的简谐振动合成可视化研究 [J].物理通报，2022（1）：30-33.

[3] 刘会玲，王小克，牛海波，等.Matlab在绘制两相互垂直斜锯齿振动与简谐振动合成运动轨迹图形的应用 [J].物理与工程，2019，29（1）：110-115.

[4] 周焯勇，祝昆，贾时美.基于Labview的相互垂直简谐振动合成研究 [J].物理通报，2018（11）：95-98.

[5] 苏玉霞.基于MATLAB的简谐振动合成模拟分析 [J].现代信息科技，2018，2（2）：93-96.

[6] 刘鑫，赵里昂，于文晶，等.Mathematica在普通物理教学中的应用 [J].物理与工程，2017，27（2）：51-55.

[7] 章礼华，程绪铎.利萨如图形与相位关系的讨论 [J].安庆师范学院学报：自然科学版，2001（4）：60-62.

作者简介：吴魏霞（1978—），女，汉族，河北邯郸人，副教授，博士，研究方向：物理教学和理论物理；李福芸（1968—），女，汉族，河北保定人，副教授，硕士，研究方向：物理教学；张翱（1979—），男，汉族，山西大同人，讲师，博士，研究方向：物理教学和光学。