Lp-Minkowski问题周期解的存在性

何瑞瑞,梁载涛

(安徽理工大学 数学与大数据学院,安徽 淮南 232001)

Lp-Minkowski问题属于凸几何分析,20世纪初凸几何分析刚刚成形,20世纪末飞速发展.数学家Firey将凸体中Minkowski线性组合延伸到对任意实数p>1的情况下凸体的Firey线性组合,此线性组合可以看成是Minkowski在Lp-空间中的一种推广[1].1993年Lutwak在Firey线性组合基础上,结合经典的Brunn-Minkowski理论,给出了Lp-混合体积、Lp-混合均质积分和Lp-表面积测度等概念以及对应的积分表达式,并提出了p>1时的Lp-Minkowski问题,文献中进一步研究了在Rn中凸体的Lp-表面积测度是球面Sn-1上的一个有限的Borel测度[2].当p=1时,Lp-Minkowski问题就是经典的Minkowski问题,经典的Minkowski问题已被解决[3-4].在解析上,它等价于Monge-Ampere方程正解的存在性

det(iju+eiju)=h(x)up-1

其中:h(x)是一个特定的函数,eij是在Sn-1里的标准黎曼度量.从这个角度可以看出,Lp-Minkowski问题涉及一个具有支撑函数的闭凸超曲面的存在性,它的倒数高斯曲率为h(x)up-1,其中h(x)是一个特定的函数.这个问题引起了很多专家们的探讨与研究,其中的维度有很多,最令人感兴趣的是二维的情况.这个问题可以简化为二阶微分方程的正周期解的存在性.

u″+u=h(t)up-1,

本文创新点在对p<1,函数h(x)>0的情况下,研究Lp-Minkowski问题中T-周期解的存在性.即研究Lp-Minkowski问题的一般形式,即为

(1)

其中:h>0是连续的T-周期函数,ρ=1-p,一定程度上扩大了p的取值范围.下面给出方程(1)正周期解的存在的充分条件.

1 主要结果

本文定义

CT={u|u∈C(,),u(t+T)=u(t)}

则

由于

存在

利用参考文献中的定理3.1[13],可以得到下面的引理1.1.

引理1.1 假设存在正的常数c0,c1和c2,其中:0

(A1)如果∀λ∈(0,1],则每个可能的T-周期解在方程

(2)

中满足下列不等式

c0

(A2)对于下面方程

其中:v满足c0

(A3)下面不等式成立

以上三个条件都满足,则方程(1)至少有一个T-周期解u.

在本文中,对于T-周期函数α,我们可以用一些特殊的符号表示函数中的一些特殊值

定理1.2 假设h(t)>0是连续T-周期函数,常数p<1和T<1.则方程(1)至少存在一个T-周期解u它的取值范围满足

(3)

证明假设T-周期函数u是方程(2)的一个解.对方程(2)进行积分,积分区间为[0,T]可得

已知h*>0,有

得到

(4)

(5)

利用Sobolev inequality[14],有

(6)

由式(5)、(6),可得

通过上述不等式,有

(7)

然后利用式(6)、(7)得到

(8)

(9)

其中:T<1假设函数u(t)在t1时是最大值,即得u′(t1)=0然后对方程(2)积分,积分区间为[t1,t],得到

其中:t∈[t1,t1+T],故得

(10)

根据式(9)、(10)可以得到

(11)

令c0,c1和c2都是正的常数

故可以得到方程(2)所有可能的正周期解u满足

c0

即引理1.1中的条件(A1)成立.下面方程

得到引理1.1中的条件(A2)和条件(A3)成立,引理1.1得证.利用引理1.1我们可以得到方程(1.1)中至少存在一个正的T-周期解u.

2 例 子

给出一个例子,例证所得上述结果的可行性.

考虑如下微分方程

(12)

显然h(t)=1+0.01sin(8πt)是连续T-周期函数,ρ=1-p=2.

证明通过式(12)可得

根据式(4)和ρ=1-p=2有

根据式(11)得到

令c0,c1和c2都是正的常数

可以得到方程(2)所有可能的T-周期解u满足

c0

即引理1.1中的条件(A1)成立.下面方程

得到引理1.1中的条件(A2)和条件(A3)成立.利用引理1.1我们可以得到方程(12)中至少存在一个正的T-周期解u.