一类时滞造血模型周期解的指数稳定性

李 华,龙志文

(1.安徽理工大学 数学与大数据学院, 安徽 淮南 232001; 2.湖南人文科技学院 数学与金融学院, 湖南 娄底 417000 )

Mackey和Glass在文献[1]中提出了如下非线性时滞微分方程

(1)

众所周知,现实世界中,环境的变化如:天气、繁殖、食物供应、资源可用性等季节性因素对生态系统的动力学起着重要作用[7-14].又由于生态系统在波动环境中的选择性与在稳定环境中的选择性不同,特别地,周期性变化的环境对模型的动力学影响十分重要[15-16].因此,在生物种群模型中,考虑生物参数的周期性是合理且有意义的.

基于上述讨论,我们进一步考虑如下非自治造血模型

(2)

其中:n是一个正常数.我们综合运用Brouwer不动点定理,研究模型(2)正周期解的存在性,然后通过运用一些新颖的数学分析技巧和方法进一步研究该周期解的指数稳定性.

为建立本文的主要结果,对模型(2)的生物参数做如下假设:(H1)c(t),d(t),τ(t)是正的连续ω-周期函数.

本文中给出一些记号,对于有界函数f∈C(R,R+),记f+和f-为

其中:R+=[0,+∞),C=C([-τ+,0],R)是连续函数空间,定义C+=C([-τ+,0],R+).

根据模型(2)的生物学解释,实际应用只有正解才有意义,因此,当-τ+≤s≤0时,我们赋予模型(2)如下的初始条件:

x(s)=ψ(s),ψ∈C+,ψ(0)>0

1 预备知识

本小节将给出如下一些基本定义和引理.首先,类似于文献[2]中的引理3.1,我们可以得到如下结果:

引理1[2]假设(H1)成立,存在两个正常数Q2

那么,对于ψ∈C0={ψ|ψ∈C+,Q2<ψ(s)

Q2

进一步,模型(2)每一个解的存在区间为[t0,+∞).

定义1 设x*(t)是模型(2)的周期解.对于模型(2)的任意解x(t),如果存在正数ε,使得

|x(t)-x*(t)|=O(e-εt),t≥0

则称x*(t)是指数稳定的.

h(n)|x-y|,

其中:α是位于x和y之间的数,且

(3)

2 主要结果

本小节将建立模型(2)ω-周期解的存在性及指数稳定性.

定理1 在引理1的条件下,进一步假设如下条件成立:

-c-+d+h(n)<0

(4)

其中:h(n)的定义如式(3),则模型(2)存在一个唯一的ω-周期解x*(t)且是指数稳定的.

证明首先,根据式(4)可知,存在一个正常数μ满足

-c-+d+h(n)≤-μ<0

(5)

Ω={ψ(s)∈C+:|ψ(s)|≤M1,|ψ′(s)|≤M2,-τ+≤s≤0}

易见,Ω是一个紧凸集.

定义一个从Ω到C的映射Γ:

Γ:ψ(s)→x(s+ω,ψ)

其中:x(t)=x(t,ψ)为模型(2)的解,其初始条件为

x(s)=ψ(s), -τ+≤s≤0

下面将证明ΓΩ⊆Ω,即证,如果ψ∈Ω,那么x∈Ω.定义如下辅助函数

容易看出|x(t)|≤K1(t).

下证对所有的t>0,都有K1(t)≤M1.假设存在时刻t1使得

|x(t1)|=K1(t1)=M1,且|x(t)|≤M1,t

(6)

根据式(3)、(5)和式(6)可得

D+|x(t)||t=t1≤-c-|x(t1)|+

-c-|x(t1)|+d+h(n)|x(t1-τ(t1))|+d+≤

[-c-+d+h(n)]K1(t1)+d+≤

-μK1(t1)+d+=-μM1+d+<0

因此,对于所有的t>t1,有|x(t)|≤K1(t)≤M1.

另一方面,通过直接计算可知|x′(s+ω)|≤M2,因而有ΓΩ⊆Ω.根据Brouwer不动点定理,可知存在ψ*∈Ω,使得Γψ*=ψ*,因此

x(t,ψ*)=x(t,Γψ*)

即

x(t,ψ*)=x(t+ω,ψ*)

综上所述,模型(2)存在一个ω-周期解.

下面证明该周期解的指数稳定性.

假设x*(t)为模型(2)的ω-周期解,x(t)为模型(2)的任一解,设

z(t)=x(t)-x*(t)

(7)

则有

(8)

根据式(4)以及连续性理论可知,存在一个足够小的数ε>0,使得

-c-+ε+eετ+d+h(n)<0

(9)

构造如下Lyapunov函数

我们断言K2(t)是有界的,进而V(t)也是有界的.实际上,对于任意t2>0,有如下两种情况成立:

情形Ⅰ:|V(t2)|0,对于任意的t∈(t2,t2+σ),有|V(t)|

情形Ⅱ:|V(t2)|=K2(t2),由式(3)、式(8)和式(9),我们有

D+|V(t)||t=t2=sign{V(t2)}εeεt2z(t2)+

[-c-+ε]|V(t2)|+eεt2d+h(n)|x(t2-τ(t2))-

x*(t2-τ(t2))|≤[-c-+ε]|V(t2)|+

{[-c-+ε]+eετ+d+h(n)}K2(t2)<0

这说明存在一个σ1>0,当t∈(t2,t2+σ1)时,有V(t)≤V(t2).因此,当t∈(t2,t2+σ1)时,K2(t)=K2(t2).

总之,对于任意的t>0,我们有K2(t)=K2(0),这意味着|V(t)|≤K2(0),因此

|x(t)-x*(t)|=O(e-εt),t>0

(10)

所以模型(2)的ω-周期解x*(t)是指数稳定的.证毕.

注记2 在文献[2]中,作者借助于对角线法则研究了一类具有非光滑造血模型概周期解的存在性和指数稳定性问题,由于周期解是概周期解的特殊情形,其同样蕴含了周期动力学的相关判据.通过比较发现,本文方法与文献[2]中的方法是完全不同的.因此,本文所建立的结果是新颖的.

3 数值仿真

本小节将用一个例子来说明所得结果的有效性.

例1 考虑如下时滞造血模型:

(11)

当n=2时,有

-c-+ε+2eετ+d+≈-7+0.01+2×1.023 6×2.5=-1.872<0

图时,模型(11)具有指数稳定的周期解Figure 1 When model(11)has a exponential stability periodic solution

图2 n=2时,模型(11)具有指数稳定的周期解Figure 2 When n=2, model(11)has a exponential stability periodic solution

4 结 语

本文利用Brouwer不动点定理证明了一类非自治时滞造血模型周期解的存在性,并运用一种新的分析方法,得到了所研究模型正周期解指数稳定性的充分判据.推广了文献中的相关结果.