一道全国高中联赛题的解法赏析及溯源

王东海

1 真题呈现

（2022年全国数学联赛第10题） 给定正实数mm≥3.设正项等差数列an与正项等比数列bn满足：an的首项等于bn的公比，bn的首项等于an的公差，且am=bm，求am的最小值，并确定当am取最小值时a1与b1的比值.

分析：观察此题，应首先用尽量少的变量表示am，得到am的函数式，然后考虑使用导数法或均值不等式来求解am 最值.

2 解法探究

探求思路一 設出an和bn的公差和公比，用这两个变量去表示am.

4 结语

本题题目新颖，将数列与导数、均值不等式相结合，在知识的交汇处命题.处理时切入点较多，本文呈现了几种常见的解法，事实上还有其它解法，囿于篇幅，不一一介绍，希望能抛转引玉，同广大读者共同探讨解法.