对一道椭圆联考题的解法与延伸探究

朱彬　胡晓静

1 试题呈现

题目 （2023届江西省“新八校”高三上學期第一次联考理数第20题） 已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）经过点A（1，[KF（]2[KF）]/2），点F（1，0）为椭圆C的右焦点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F（1，0）作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线l1、l2，直线l1、l2与椭圆相交于四点为A1、A2、B1、B2，求四边形A1A2B1B2的面积S的最小值.

2 解法探究

首先看第（1）小题的解法.利用待定系数法，设椭圆C的焦距为2c（0＜c＜a），则1/a2+2/4b2=1，c=1，b2=a2-c2，联立上式解得a2=2，b2=1，故椭圆的方程为x2/2+y2=1.

结语：我们平时的解题过程中，要适时地将问题推广延伸为一般性的结论用于解决相关问题.久而久之，就能逐步培养学生灵活多变的思维品质，培养其探索精神和创新意识，从而真正把对能力的培养落到实处，提高其数学核心素养.