2022年高考北京卷导数题的溯源、求解与推广

1题目呈现

题目 （2022年高考北京卷第20题）已知函数f（x）=exln（x+1）．

点评：本题第（2）问的高等数学背景也是凸函数的定义，由f″（x）>0知f（x）是凸函数，所以对任意的两个正实数x1 ，x2 ，总有fλ1x1+λ2x2≤λ1fx1+λ2fx2成立.根据变量x1 ，x2 的对称性，将其中一个（如x1 ）选为主元构造函数进行论证.第（3）问的背景是琴生不等式，第（2）问的结论为第（3）问作了铺垫，从二维到三维，变量增多了，但不变的是性质.［2］

参考文献

［1］ 张志刚.例談双元不等式证明中的减元策略［J］.数理化解题研究，2022（7），27—29.

［2］ 李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法［M］.中国科学技术大学出版社，2022.

本文为泰安市教育科学“十四五”规划2021年度课题“普通高中强科培优的“复圣样本”研究”（课题编号：TJK2021GHG148）的研究成果.